56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга icon

56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга



Название56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга
Дата конвертации22.07.2012
Размер73.57 Kb.
ТипДокументы
1. /Матан/ОбщаГ 2 (01-14,42).doc
2. /Матан/ОбщаГ 2 (15-23,27).doc
3. /Матан/ОбщаГ 2 (24-26,28-31,33,34).doc
4. /Матан/ОбщаГ 2 (32,37,39,40,51-55).doc
5. /Матан/ОбщаГ 2 (35,36,38,41, 43-50).doc
6. /Матан/ОбщаГ 2 (56-58, содерж-е).doc
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами
Опр.: фигур. F, орг граф функ.: заданн на [a;b] непрер и неотр f(X), x=a, x=b (a>b) и y=0, наз криволин трап. Теор
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга

56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга.

Запишем остаточный член rn(x) в ф-ле Тейлора в форме Лагранжа и в форме Коши: rn(x)=xn+1(f(n+1)(x))/(n+1)! (1), rn(x)=xn+1(1-)n(f(n+1)(x))/(n)! (2), 0<<1, 0<<1. 1) f(x)=ex, f(n+1)(x)=ex, запишем rn(x) в форме Лагранжа: rn(x)=xn+1ex/(n+1)!. Фикс-м произв-е H>0 и пусть x[-H,H], тогда rn(x)|x|n+1ex/(n+1)!|x|n+1e|x|/(n+1)!eHHn+1/(n+1)!0, n, т. е. rn(x), n. В силу произвол-ти H>0 получ., xR, rn(x), n, ex=(n=0,…,)xn/n!=1+x+x2/2!+…+… (3). Разложение (3) верно для xR. 2) f(x)=sinx, f(n+1)(x)=sin((x+(n+1))/2). Фикс-м произв-е H>0 и пусть x[-H,H]. Используя представление (1) в форме Лагранжа для rn(x), получим |rn(x)||x|n+1/(n+1)!Hn+1/(n+1)!0 при n, т. е. rn(x)0. В силу произвол-ти H>0 получ.
xR rn(x), n sinx=(n=0,…,)(-1)nx2n+1/(2n+1)!=x-x3/3!+…(4) xR. 3) f(x)=cosx, f(n+1)(x)=cos((x+(n+1))/2). Фикс-м произв-е H>0 и пусть x[-H,H]. Используя представление (1), получим |rn(x)||x|n+1/(n+1)!Hn+1/(n+1)!0 при n, т. е. rn(x)0. В силу произвол-ти H>0 получ. |rn(x)||x|n+1/(n+1)!Hn+1/(n+1)!0 при n, т. е. rn(x)0.

В силу произвол-ти H>0 получ. xR rn(x), n cosx=(n=0,…,)(-1)nx2n/(2n)!=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+…(5) xR. 4) f(x)=ln(1+x), x>-1, f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!/(1+x)n  f(n+1)(x)=(-1)n(n)!/(1+x)n+1. Пусть x[-1,1]: а) пусть x[0,1]. Запишем rn(x) в форме Лагранжа rn(x)=((-1)n(n)!/(1+x)n+1)xn+1/(n+1)!=((-1)n1/(1+x)n+1)xn+1/(n+1), 0<<1  |rn(x)|1/(n+1)0, n (в том числе и x=0); б) x(-1,0). Запишем rn(x) в форме Коши rn(x)=(-1)n(n!/(1+x)n+1)(1/n!)(1-)nxn+1=(-1)n((1-)n/(1+x)n)xn+1/(1+x), 0<<1, т. к. x>-1, то x>-, 1+x>1->0  (1-)/(1+x)(0,1), 1+x=1-|x|>1-|x|>0  1/(1+x)(0,1/(1-|x|))  |rn(x)||x|n+1/(1-|x|)0, n, при  фикс-ом x(-1,0). Т. о. ln(1+x)= (n=1,…,)(-1)n-1xn/n=x-x2/2+x3/3-x4/4+…(6). Разложение (6) верно x(-1,1]. Полагая в (6) x=1, получим ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+…. Заметим, что ряд, стоящий в правой части (6) расх-ся для x такого, что |x|>1. Замечание. Используя разложение от ф-ии ln(1+x), можно установить справ-ть след-ей ф-лы: n!=(n/e)ne/12(2n) (10), где =(n), 0<<1, т. о. n!~(n/e)n(2n), n. Ф-ла (10) - ф-ла Стирлинга.

57. Разложение в ряд Тейлора ф-ий (1+x)m, arctg(x).

1) f(x)=(1+x)m, m0, mN, f(n)(x)=m(m-1)…(m-n+1)(1+x)m-n nN, f(n+1)(x)=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)(m-n)(1+x)mm-n-1 nN. Запишем ряд Тейлора для f(x) 1+mx+m(m-1)x2/2!+…+m(m-1)…(m-n+1)xn/n!+…(7). Используя пр-к де Ламбера, можно показать, что ряд (7) сх-ся абс-но для x такого, что |x|<1 и расх-ся xR такого, что |x|>1  |x|<1. Запишем rn(x) в форме Коши: rn(x)=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)(m-n)(1+x)mm-n-1(1-)nxn+1/n!=((m-1)…((m-1)-n+1)xn/n!)(mx(1+x)m-1)((1-)n/(1+x)n), 0<<1. Выражение для 1-ой скобки предсавл. собой (n+1)-ый член ряда вида (7), в к-ром m заменено на (m-1). Т. к. ряд сх-ся, если |x|<1, то для  фикс. xR такого, что |x|<1, 1-ая скобка0, n. Оценим 2-ую скобку: a) m-1>0  |mx(1+x)m-1||mx|(1+|x|)m-1, б) m-1>0  |mx(1+x)m-1||mx|(1+|x|)m-1, т. е. |2-ая скобка|c(x), nN. Ранее было показано, что, если x>-1, то 0<(1-)n/(1+x)n<1, т. е. xR,|x|<1, rn(x)0, n 

(1+x)m=1+mx+m(m-1)x2/2!+…+m(m-1)…(m-n+1)xn/n!+…(8) |x|<1. 2) f(x)=arctg x. Пусть |x|1, 1/(1+x2)=(k=0,…,)(-1)kx2k=1-x2+x4-x6+…. Для  фикс. nN эту ф-лу можно записать в виде 1/(1+x2)=(k=0,…,n)(-1)kx2k+(k=n+1,…,)(-1)kx2k или в виде 1/(1+x2)=(k=0,…,n)(-1)kx2k+(-1)n+1x2n+2/(1+x2) xR, в частности для |x|1. Заменяя в последней ф-ле x на t и интегр-я полученное по [0;x], получим ∫(0,x)dt/(1+t2)=arctgx=(k=0,…,n)(-1)k(0,x)t2kdt+(-1)n+1(0,x)t2n+2dt/(1+t2) или arctg x=(k=0,…,n)(-1)kx2k+1/(2k+1)+(-1)n+1(0,x)t2n+2dt/(1+t2). Рассм-м ф-ию rn(x)=(-1)n+1(0,x)t2n+2dt/(1+t2). Заметим, что ф-ия rn(x) явл-ся нечетной  0x1, т. е. |rn(x)|=|∫(0,x)t2n+2dt/(1+t2)|+∫(0,x)t2n+2dt/(1+t2)∫(0,x)t2n+2dt=x2n+3/(2n+3)1/(2n+3), т. е. x[-1,1], nN имеем: |rn(x)|1/(2n+3)0, n, т. е. x[-1,1] rn(x)0, n. Т. о. верно arctg x=(n=0,…,)(-1)nx2n+1/(2n+1)=x-x3/3+x5/5-x7/7+…(9) |x|1. Полагая в (9) x=1, получим /4=1-1/3+1/5-1/7+…. Отметим, что прав. часть (9) расх-ся для |x|>1.

58. Дост. усл. разложимости ф-ии в ряд Тейлора. Понятие вещественно-аналит-ой ф-ии.

Пусть f(x) имеет на (-R;R) непр-е пр-е любого порядка. Пусть  const M>0 такая, что k=0,1,2,… x(-R,R): |f(k)(x)|M, тогда f(x) разлагается на (-R;R) в ряд Тейлора. В этом cлучае верно нер-во |rn(x)|=|xn+1f(n+1)(x)/(n+1)!|Rn+1M/(n+1)!0, n, (0,1). Замечание. Можно рассм-ть ст-е ряды и более общего вида (n=0,…,)an(x-x0)n (11), а также ряды Тейлора вида (n=0,…,)f(n)(x0)(x-x0)n/n! (12). В случае (11) x0-R0+R. Ф-ия f(x) наз-ся вещ-но-аналит-ой на (a,b), если для каждой (.) x0 из (a,b)  R>0 такое, что на (x0-R,x0+R) ф-ия f(x) м/б разложена в ряд Тейлора, т. е. f(x)=(n=0,…,)f(n)(x0)(x-x0)n/n!. Заметим, что не всякая ф-ия, имеющая на (a,b) непр-е пр-ые всех порядков, явл-ся вещ-но-аналит-ой на (a,b).

1) Ф-ии, заданные параметрически. Производные высших порядков обр-х ф-ий и ф-ий, зад-х парам-ки.

2) Понятие первооб-ой, ее общий вид. Понятие неопр-ого интеграла и его осн-е св-ва.

3) Интегр-ие подстановкой (т-ма, пример).

4) Интегр0ие по частям (т-ма, пример).

5) Понятие рац-ой дроби. Эл-ые дроби и их интегр-ие.

6) Интегр-ие рац-ых дробей. Правильные дроби. Т-ма о разложении прав-й дроби на элем-е дроби(без док-ва). Сущность метода неопр-ых коэф-ов.

7) Мн-ны т рац-ые ф-ии от нескольких переменных. Рац-ие ф-ии от ф-ий. Интегралы вида…

8) Подстановки Эйлера.

9) Интегр-ие биномиальных диффер-ов. Пример.

10) Интегр-ие some трансц-ых ф-ий. Инт-лы вида…

11) Инт-лы от трансц-ых ф-ий, вычисл-ые с помощью интегр-ия по частям. Неберущиеся интегралы.

12) Опр-ый инт-л Римана. Разб-е сег-та, изм-е разб-я, диам. разб-я. Интегр-е суммы, их пр-л.Интегр-ая ф-ия

13) Огр-ть интегр-ой ф-ии. Неинтегр-ть ф-ии Дирихле

14) Опр-е вер-х и ниж-х сумм Дарбу, их геом-я иллюстр-я. Леммы 1-3, следствие из леммы 2.

15) Лемма 4 о св-вах сумм Дарбу. и следствие из нее. Вер-е и ниж-е интегралы Дарбу. Леммы 5 и 6.

16) Опр-е пределов сумм Дарбу. Лемма Дарбу.

17) Т-ма о необ-м и дост-м усл-ии инт-ти огр-ой ф-ии.

18) Т-ма о необ-м и дост-м усл-ии инт-ти огр-ой ф-ии.

19) Интегр-ть непр-ой на от-ке ф-ии.

20) Интегр-ть монот-ой на от-ке ф-ии.

21) Т-ма об интегр-ти some разрывных ф-ий и сл-ие из нее.Кусочно-непр-я ф-ия и ее интегр-ть. Пример.

22) Т-мы об интегр-ти слож-х ф-ий (с док-ом и без него).

23) Св-ва опр-ых интегралов (1-5).

24) Св-ва опр-х инт-ов, связ-х с нер-вами.

25) Т-ма о среднем. Частный случай.

26) Опр-й инт-л как ф-ия верхнего предела, непр-ть и диффер-ть.

27) Вывод осн-ой ф-лы интегр-ого исчисл-я. Обобщенная первооб-я. Ф-ла Ньютона-Лейбница для нее.

28) Интегр-ие заменой перем-ой, по частям.

29) Опр-е простой плоской замк-ой, параметр-ой кривой. Простр-ые, спрям-е кривые. Длина дуги. Лемма. Св-ва.

30) Длина дуги кр-ой, параметр-ой с помощью непр-диф-ых ф-ий (т-ма, зам.) Ф-ла для дуги. Диффер-ал дуги.

31) Вер-я и ниж-я площади. Квадр-ая фигура, ее кр-ий.

32) Площадь кривол-ой трапеции и криволин-ого сек-ра.

33) Вер-й и ниж-й объемы. Куб-е тело. Объем тела вращ.

34) Теория числ-х рядов. Св-ва. Кр-ий Коши сх-ти ряда.

35) Т-ма о сх-ти полож-го ряда. Т-ма1 для сравнения.

36) Т-мы 2,3 для сравнения.

37) Пр-ки сх-ти Коши и Даламбера. Пр-к Раабе.

38) Интегр-й пр-к Коши-Маклорена. Пример.

39) Абс-но и усл-но сх-ся ряды.

40) Сочетат-е св-во сх-ся ряда. Частный случай.

41) Перем-е св-во абс-но сх-ся ряда. Т-ма Дирихле.

42) Т-ма Римана.

43) Умножение рядов. Т-ма Коши.

44) Пр-к Лейбница сх-ти знакочер-ся рядов. Оценка суммы.

45) Пр-к Дирихле-Абеля (с выводом тож-ва Абеля).

46) Функц-ая посл-ть, функц-й ряд. Виды сх-ти. Кр-й Коши.

47) Пр-к Вейерштрасса равн-ой сх-ти функц-ого ряда.

48) Пр-к Дирихле-Абеля равн-ой сх-ти функц-ого ряда.

49) Т-мы о предельном переходе в функц-х рядах и посл-ях. Непр-ть суммы ряда и предельной ф-ии функц-ой посл-ти.

50) Т-мы о почленном интегр-и функц-х посл-й и рядов.

51) Т-мы о почленном диффер-и функц-х посл-й и рядов.

52) Степ-е ряды. Т-ма Коши-Адамара. Об-ть сх-ти ст-го ряда

53) Непр-ть суммы ст-ого ряда внутри промеж-ка сх-ти.

54) Т-мы о почл-ом Интегр-и и диффер-и ст-ого ряда.

55) Разложение ф-ий в ст-е ряды Св-ва 1-4. Ряд Тейлора.

56) Разл-е в ряд Тейлора ф-ий ex,sinx, cosx, ln(1+x). Стирлинг

57) Разл-е в ряд Тейлора ф-ий (1+x)m и arctgx.

58) Дост-е усл-е разлож-ти ф-ии в ряд Тейлора. Вещ-но-аналит-ая ф-ия.



Похожие:

56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconНайдите производную функции: f(X)= 2e+cosx+. 1). 2e-sinx+
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(X)= 2–x+3x в его точке с абциссой Х = –1
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconПланы лекций 3 семестр 2 курса, 149-2, 149-3, 1В9 группы
Степенные ряды, радиус сходимости. Т. Абеля, формула для R, теорема о разл в р. Тейлора
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconВариант Продифференцируйте функции: а
Вычислить значение производной функции f(X) при указанном значении аргумента: а) f(X) = (2x2 – 3x + 1)sinx, f'(0) = ?; б) f(X) =,...
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconТема: Натуральный ряд чисел, его запись и свойства
Цели: знакомство с терминами «натуральный ряд чисел»; свойствами натурального ряда чисел
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconЕ. Б. Куандыков1, О. А. Круглун1, И. Н. Макаренко1, Н. Г. Макаренко2
Минимальное количество внутренних мод, сумма которых хорошо аппроксимирует исходный ряд с точностью до несущественных деталей, эквивалентна...
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconДокументы
1. /Info.txt
2. /Двигатель Стирлинга - прошлое,...

56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга icon3 уроках в неделю (102 урока за год)
Разложение квадратного трехчлена на множители, п. 4 Проверочная самостоятельная работа
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга icon«Алгебра 7»
Цель урока: закрепление и обобщение изучаемого материала, умений и навыков умножения одночлена на многочлен, разложение на множители...
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconРазложение чисел на простые множители
В разложении числа 2-4 простых делителей не более 11 и одно простой делитель не более 100
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconСоциально-экономическое развитие России в первой половине XIX в. Территория, население. Особенности развития
Разложение натурального хозяйства. Проникновение товарно-денежных отношений в деревню
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга iconУрок по теме «Разложение на множители» 7класс Немного теории
Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов