Тема 13. Многомерные сигналы и системы icon

Тема 13. Многомерные сигналы и системы



НазваниеТема 13. Многомерные сигналы и системы
страница1/2
Дата конвертации22.07.2012
Размер331.22 Kb.
ТипРеферат
  1   2




СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 13. МНОГОМЕРНЫЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ.

Когда ты смотришь в бездну, бездна смотрит в тебя.

Фридрих Ницше. Немецкий философ-моралист, ХIХ в.

Человек и бездна – две бесконечномерных системы в разных функциональных пространствах с одной точкой пересечения. И лучше держаться от этой точки подальше.

Эрик Трубов. Русский геофизик-оптимист, ХХ в.

Содержание

Введение.

1. Двумерные и многомерные сигналы. Двумерный единичный импульс. Двумерный линейный импульс. Двумерная единичная ступенька. Экспоненциальная последовательность. Разделимые последовательности. Конечные последовательности. Периодические последовательности.

2. Двумерные системы. Базовые операции. Линейные системы. Инвариантность к сдвигу. Импульсный отклик. Двумерная свертка. Разделимые системы. Устойчивость систем. Специальные двумерные системы.

3. Частотные характеристики сигналов и систем. Частотный отклик системы. Импульсный отклик системы. Свойства двумерного преобразования Фурье.

4. Дискретизация двумерных сигналов. Прямоугольный растр дискретизации. Дискретные преобразования Фурье. Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Произвольный растр дискретизации. Двумерное интегральное преобразование Фурье. Преобразование Фурье дискретного сигнала. Интерполяция дискретных сигналов. Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации.

5. Частотный анализ многомерных сигналов. Периодические последовательности. Конечные последовательности. Многомерные последовательности.

Введение.

Обработка многомерных сигналов, используя в частных случаях методы обработки одномерных сигналов, имеет и существенные особенности. Это объясняется тремя факторами. Во-первых, математические методы описания многомерных систем далеки от совершенства и завершенности. Во-вторых, при решении многомерных задач используется значительно больший объем данных. И в третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы и, соответственно, значительно большей гибкостью. Так, например, при дискретизации информации в одномерном случае устанавливается только частота отсчетов, а в многомерном не только частота, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы разлагаются на множители только в частном случае, а, следовательно, многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерных задач.

Ниже будут рассматриваться сигналы и системы с размерностью два и более, при этом основное внимание будет уделяться двумерным задачам, имеющим широкое распространение в геофизической практике. Повышение размерности выше двух не приводит к качественным отличиям от двумерных случаев, кроме повышения сложности вычислений.


Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме – многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются только в чисто теоретических исследованиях. Даже двумерных данных, непрерывных (аналоговых) по обоим аргументам практически не существует. С учетом этого ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

13.1. Двумерные и многомерные сигналы [9].




Рис. 13.1.1.
Понятие многомерного сигнала. Многомерные сигналы представляют собой функции P независимых переменных при P>1. В общем случае, сигнал может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Понятия непрерывности и дискретности аналогичны одномерным сигналам. Что касается смешанного сигнала, то это многомерный сигнал, который описывается функцией некоторого количества непрерывных и некоторого количества дискретных переменных. Пример смешанного двумерного сигнала: ансамбль непрерывных сигналов, изменяющихся во времени (t - вторая переменная), снимаемых с набора сейсмических приемников сейсмотрассы (номера датчиков - первая переменная).

В общем случае, двумерный непрерывный сигнал представляет собой функцию, значения которой зависят от двух независимых переменных (аргументов, координат):

s(x,y) = sin(x2+y2), -< x,y <(13.1.1)

График функции (в пределах одного периода) приведен на рис. 13.1.1.

Двумерный дискретный сигнал (цифровой массив) - это функция, определенная на совокупности пар числовых значений координат с определенным шагом дискретизации x и y. В общем случае, при различной физической размерности аргументов x и y, значения x и y не равны друг другу:

sn,m = s(nx,my), -< n,m <. (13.1.1')

Элемент последовательности sn,m представляет собой отсчет двумерной функции s в координатной точке (x=nx,y=my), где значения x и y – независимые переменные (аргументы) функции. Для числовых массивов значения шага дискретизации по аргументам также могут приниматься равными 1 (независимо от размерности) и использоваться аргументация s(n,m)  sn,m. Результаты геофизических съемок какого-либо одного геофизического параметра по поверхности земли относятся к двумерным функциям: дискретным - если это отсчеты в отдельных точках по определенной координатной сети (x,y), или смешанным - если это непрерывная регистрация данных по профилям (например - мощности экспозиционной дозы гамма излучения горных пород при аэросъемке). Но в настоящее время геофизические съемки относятся даже не к двумерным, а к многомерным функциям, так как регистрируется, как правило, сразу несколько физических параметров геологических сред. Так, например, при спектрометрической съемке естественной радиоактивности горных пород регистрируется содержание в горных породах урана, тория и калия, в гравиразведке - трехкоординатный вектор силы тяжести, и т.п. Если на какой-либо площади проведена съемка нескольких видов геофизики, то их результаты также могут рассматриваться в совокупности, как многомерная функция физических параметров данной геологической среды.

По определениям (13.1.1) двумерные функции и сигналы, равно как и многомерные, имеют бесконечную протяженность по координатам. На практике мы всегда имеем дело с конечными координатами наших данных. Учитывая это, будем считать, что значения наших сигналов за пределами определенных координат равны нулю.

Отметим некоторые двумерные последовательности (функции, сигналы), имеющие специальные названия.




Рис. 13.1.2.
Двумерный единичный импульс (nx,my) = n,m или единичный отсчет:

n,m = 1, при n = m = 0.

= 0, при n0, m0.

n,m = nm,

где n, m - одномерные единичные импульсы (импульсы Кронекера) по координатам n и m. Стилизованное графическое представление двумерного единичного импульса приведено на рис. 13.1.2.

Произвольное расположение двумерного единичного импульса по координатам n1, m1 соответственно записывается в виде: ((n-n1)x,(m-m1)y) = n-n1,m-m1. Попутно напомним, что математическая запись импульса Кронекера обозначает не единичный отсчет, а функцию, определяющую место положения единичного отсчета и нулевые значения по остальным координатам (аргументам).




Рис. 13.1.3.
Двумерный линейный импульс представляет собой последовательность единичных отсчетов по одной координате: s(n,m) = (n) или s(n,m) = (m).

На рис. 13.1.3 приведены два двумерных линейных импульса, первый - по координате m = 0: s(n,m) = (m), и второй импульс по координате n = 2: s(n,m) = (n-2).

Очевидно, что для P-мерных случаев точно таким же образом могут быть определены P-мерные единичные импульсы, P-мерные линейные импульсы, P-мерные площадные импульсы и т.д., хотя понятие импульса, заимствованное из теории одномерных сигналов, здесь несколько не к месту.




Рис. 13.1.4.
Двумерная единичная ступенька u(n,m), представленная на рис. 13.1.4, определяется выражением:

u(n,m) = 1, при n0 и m0,

= 0, в остальных случаях.

u(n,m) = u(n) u(m),

где u(j) представляют собой единичные ступеньки соответственно по координатам n и m: u(j)=1 при j0, u(j)=0 при j<0. Двумерная единичная ступенька отлична от нуля в одном квадранте (n,m)- плоскости.

Экспоненциальная последовательность: s(n,m) = anbm, -< n,m <, где а и b в общем случае комплексные числа. При а = exp(j1), b = exp(j2), |а|=1, |b|=1:

s(n,m) = exp(jn1+jm2) = cos(n1+m2)+jsin(n1+m2).

Экспоненциальные последовательности, как и в одномерном случае, являются собственными функциями двумерных линейных систем, инвариантных к сдвигу.

Разделимые последовательности. Разделимой называют последовательность, которую можно представить в виде произведения одномерных последовательностей. Так, для двумерной разделимой последовательности:

s(n,m) = s(n) s(m).

Разделение возможно для немногих практических сигналов. Однако любое двумерное множество с конечным числом ненулевых отсчетов разлагается на конечную сумму разделимых последовательностей:

s(n,m) =sin(n) sim(m),

где N- число ненулевых строк или столбцов массива. В крайнем случае, для этого достаточно выразить s(n,m) в виде суммы отдельных строк:

s(n,m) =  s(n,i) (m-i). (13.1.2)




Рис. 13.1.5.
Конечные последовательности. Важным классом сигналов являются последовательности конечной протяженности, для которых сигнал равен нулю вне определенной области, называемой опорной областью сигнала. На рис.13.1.5 условно представлена двумерная последовательность конечной протяженности, значения которой отличны от нулевых только внутри ограниченной прямоугольной области -3n2, -2m. Опорная область сигнала может быть произвольной формы и выходить за пределы сигнала, частично включая нулевые отсчеты. Отсчеты за пределами опорной области считаются равными нулю.




Рис. 13.1.6.
Периодические последовательности. Двумерные последовательности могут быть периодическими, регулярно повторяющимися в пространстве. Последовательность, удовлетворяющая условиям:

s(n,m+M) = s(n,m),

s(n+N,m) = s(n,m), (13.1.3)

обладает периодичностью в двух направлениях, по n и по m. Значения М и N называют интервалами периодичности сигнала соответственно по координатам m и n (горизонтальными и вертикальными интервалами периодичности). Прямоугольная форма области периода (пример на рис.13.1.6) наиболее удобна при обработке данных, но не является единственно возможной.

Для двумерных последовательностей условия (13.1.3) могут рассматриваться как частный случай общих условий периодичности:

s(n+N1, m+M1) = s(n,m), (13.1.4)

s(n+N2, m+M2) = s(n,m),

D = N1M2 - N2M1 0.




Рис. 13.1.7.
Упорядоченные пары (N1,M1) и (N2,M2) представляют собой смещения от отсчетов одного периода к соответствующим отсчетам других периодов и могут рассматриваться как векторы N и M, которые образуют области периодов в форме параллелограмма. Линейная независимость векторов обеспечивается при ненулевом определителе D, а количество отсчетов в пределах периода равно |D|. Пример периодической последовательности с векторами (4,4) и (3,-5) приведен на рис. 13.1.7.

Понятие периодичности можно обобщить на многомерные сигналы. P-мерный сигнал s() будет представлять собой P-мерную периодическую последовательность, если существует P линейно независимых P-мерных целочисленных N-векторов периодичности, с которыми выполняется условие:

s() = s(+), i = 1,2,3, ... ,P.

Столбцы векторов ^ Ni образуют матрицу периодичности N размером P х P. Векторы периодичности матрицы линейно независимы при наличии у матрицы ненулевого определителя. Абсолютное значение определителя равно числу отсчетов в периоде. Последовательность s() прямоугольно периодична для случаев диагональной матрицы N. Если функция s() периодична с матрицей периодичности N, то для любого целочисленного вектора Р имеет место s(+) = s(), и матрица PN также будет матрицей периодичности для s(). Отсюда следует, что любая многомерная периодическая последовательность имеет не единственную матрицу периодичности.

^ 13.2. Двумерные системы.

Системы осуществляют преобразование сигналов. Формализованная система - это оператор (операция) отображения входного сигнала на выходной: z(x,y) = Т[s(x,y)].

Базовыми операциями в системах, комбинациями которых осуществляются преобразования, являются операции скалярного умножения, сдвига и сложения:

z(n,m) = c s(n,m),

z(n,m) = s(n-N,m-M),

z(n,m) = s(n,m)+u(n,m).

Используя базовые операции, любую двумерную последовательность можно разложить на сумму взвешенных двумерных единичных импульсов:

s(n,m) =s(i,j) (n-i,m-j). (13.2.1)

Обобщением скалярного умножения является пространственное маскирование:

z(n,m) = cn,m s(n,m). (13.2.2)

Правая часть равенства (13.2.2) представляет собой поэлементное произведение входного сигнала на совокупность чисел сn,m.

Кроме линейных операций в системах используются также безынерционные нелинейные преобразования с независимым нелинейным воздействием на значения отсчетов входной последовательности. Пример операции - возведение в квадрат:

zn,m = (sn,m)2.

Линейные системы. Система считается линейной при выполнении двух условий:

1. Пропорциональное изменение входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала.

2. Суммарный сигнал двух входных последовательностей дает суммарный сигнал двух соответствующих выходных последовательностей.

Другими словами, если оператор Т[s(x,y)] описывает линейную систему и имеет место z(x,y) = Т[s(x,y)], q(x,y) = Т[u(x,y)], то Т[as(x,y)+bu(x,y)] = az(x,y)+bq(x,y). Линейные системы подчиняются принципу суперпозиции сигналов.

В выражении (13.2.1) значения s(i,j) можно рассматривать как скалярные множители для соответствующих единичных импульсов. Применяя оператор преобразования Т[.] к левой и правой части (13.2.1), получаем:

Т[s(n,m)] = у(n,m) = s(i,j) T[n-i,m-j)],

z(n,m) = s(i,j) hij(n,m), (13.2.3)

где hij(n,m) - отклик системы в точке (n,m) на единичный импульс в точке (i,j). Если импульсный отклик hij(n,m) определен для всех точек (i,j), то отклик системы на произвольный многомерный сигнал, как и для одномерных систем, находится с помощью суперпозиции.

Инвариантность к сдвигу. Система инвариантна к сдвигу, если сдвиг входной последовательности приводит к такому же сдвигу выходной последовательности:

Т[s(n-N,m-M)] = z(n-N,m-M).

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами системы. Так, пространственное маскирование линейно, но не инвариантно к сдвигу, а безынерционные операторы нелинейны, но инвариантны к сдвигу.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только систем, широко распространенных при решении практических задач - линейных и инвариантных к сдвигу (ЛИС-системы).

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс, как следует из выражения (13.2.3), описывается выражением:

hij(n,m) = T[(n-ni,m-mj)].

Для частного случая i = j = 0 имеем:

ho(n,m) = T[(n,m)].

Используя принцип инвариантности к сдвигу, получим:

hij(n,m) = ho(n-i,m-j) = h(n-i,m-j), (13.2.4)

т.e. импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат.

Двумерная свертка. Подставляя (13.2.4) в выражение (13.2.3), получаем:

z(n,m) = i j s(i,j) h(n-i,m-j). (13.2.5)

Двумерная дискретная свертка (13.2.5), является аналогом одномерной дискретной свертки. При замене переменных n-i = k, m-j = l, получим:

z(n,m) = kl h(k,l) s(n-k,m-l), (13.2.5')

т.е. двумерная свертка коммутативна, как и одномерная. В такой же мере она обладает свойством ассоциативности по отношению к последовательности операций свертки нескольких функций (результат не зависит от порядка свертки) и свойством дистрибутивности по отношению к операции свертки с суммой функций (результат аналогичен сумме сверток с каждой функцией). Эти свойства определяют и основное свойство двумерных (и многомерных) линейных систем при их параллельном и/или последовательном соединении – результирующая система также является линейной.

Для упрощения символьного аппарата двумерную свертку обозначают индексом (**):

z(n,m) = h(k,l) ** s(n-k,m-l).

При обобщении этого выражения на многомерные системы, в векторной форме:

z()= h() ** s(-).

Разделимые системы. Если импульсный отклик системы может быть разделен:

h(k,l) = h(k) h(l), (13.2.6)

то выражение (13.2.5') принимает вид:

z(n,m) = k h(k) l h(l) s(n-k,m-l), (13.2.7)

или: z(n,m) = k h(k) g(n-k,m), g(n-k,m) = l h(l) s(n,m-l).

Массив g(n,m) вычисляется одномерной сверткой столбцов массива s(n,m) при n = const (сечения массива по координатам n) с откликом h(l), с последующим вычислением выходного массива z(n,m) одномерной сверткой строк g(n,m) при m = const с откликом h(k). Результат не изменится, если сначала выполнять свертку по строкам, а затем по столбцам. Система с откликом вида (13.2.6) называется разделимой. Отметим, что в разделимой системе входной и выходной сигнал не обязаны быть разделимыми.

Аналогичные разделимые системы могут существовать и в многомерном варианте.

Устойчивость систем. Интерес для практики представляют только устойчивые системы, обеспечивающие определенный конечный результат системной операции на конечные входные сигналы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика: k l |h(k,l)| < .

Специальные двумерные системы. На практике используются также системы с несколькими входами и/или выходами.

Допустим, система имеет i-входы и j-выходы, линейна и инвариантна к сдвигу по переменной t. Если на i-вход системы поступает одномерный единичный импульс i(t) при нулевых сигналах на остальных входах, то j-выходные сигналы будут импульсным откликом системы hij(t). При известном полном ансамбле значений hij для всех i-входов, для произвольной комбинации входных сигналов si(t) сигнал на j-выходе будет определяться выражением:

zj(t) = i k hij(k) si(t-k). (13.2.8)

^ 13.3. Частотные характеристики сигналов и систем.

Частотный отклик системы. Допустим, что двумерная ЛИС-система имеет импульсный отклик h(kx,ly). Подадим на вход системы сигнал вида комплексной синусоиды:

s(n,m) = exp(jnxx+jmyy),

где x и y – значения частоты сигнала соответственно по координатам x и y. Принимая x = 1, y = 1 и выполняя двумерную свертку (13.2.5), получаем:

z(n,m) =  h(k,l) exp[jx(n-k)+jy(m-l)] =

= exp(jnx+jmy)   h(k,l) exp(-jkx-jly) = H(x,y) exp(jnx+jmy).

H(x,y) =   h(k,l) exp(-jkx-jly). (13.3.1)

Таким образом, выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же значениями частоты, что и у входного сигнала, с изменением амплитуды и фазы за счет комплексного множителя H(x,y), который носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы. Для дискретных сигналов частотный отклик периодичен с периодом 2 по обеим частотным переменным:

H(x+2k,y+2l) = H(x,y).

Пример расчета частотного отклика системы.

Определить частотную характеристику системы с импульсным откликом:

h(0,0) = 0.25, h(0,1) = 0.125, h(1,0) = 0.125, h(1,1) = 0.0625.

Частотный отклик:

H(x,y) =h(n,m)exp(-jnx-jmy) = 0.25+0.125[exp(-jx)+exp(jx)+exp(-y)+exp(jy)]+

+0.0625[exp(-jx-jy)+exp(-jx+jy)+exp(jx-jy)+exp(jx+jy)] = 0.25(1+cos x)(1+cos y).

Система является примером двумерного фильтра нижних частот. Частотный отклик системы на плоскости (x,y), приведенный на рис. 13.3.1, имеет осевую симметрию с коэффициентом передачи 1 в центре (x=0, y=0) со спадом до нуля при x= и y=.




Рис. 13.3.1. Частотная характеристика ФНЧ.
При разделимости импульсного отклика частотный отклик многомерных систем также является разделимой функцией:

h(k,l)= q(k)g(l) Q(x)G(y)= H(x,y)

Q(x) = k q(k) exp(-jkx).

G(y) = l g(l) exp(-jly).

Импульсный отклик системы. Выражение (13.3.1) описывает разложение функции Н(x,y) в двумерный рад Фурье с коэффициентами разложения в виде отсчетов импульсного отклика h(k,l), т.е. прямое преобразование Фурье. Очевидно, что обратным преобразованием Фурье с интегрированием в пределах одного периода из частотного отклика H(x,y) можно получить импульсный отклик системы:

h(k,l) = H(x,y) exp(jkx+jly) dxdy. (13.3.2)

Пример расчета импульсного отклика фильтра.

Определить импульсный отклик идеального фильтра низких частот с прямоугольной частотной характеристикой вида: H(x,y) = 1 при |x|a<, |y|b<; H(x,y) = 0 в остальных случаях.

Импульсный отклик: h(k,l) = exp(jkx+jly) dx dy.

Система разделима: h(k,l)=  exp(jkx) dx  exp(jly) dy= .

  1   2




Похожие:

Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconДокументы
1. /slsprog.doc
2. /tss01-Введение в теорию сигналов.doc
Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconТема 15. Модулированные сигналы мир создан ради богов и людей
Все создается с какой-то целью. Придется разобраться, для чего же созданы модулированные сигналы. И почему на них не обратили внимание...
Тема 13. Многомерные сигналы и системы icon71. многомерные колебательные системы
Положение устойчивого равновесия с координатами является положением минимума потенциальной энергии как центра потенциальной ямы
Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconЗанятие 7 Графический технический анализ
При появлении нескольких фигур, дающих одинаковые сигналы, надежность этих сигналов увеличивается. Если сигналы при формировании...
Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconТема : Кодирование чисел. Системы счисления
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления...
Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconТема : Кодирование чисел. Системы счисления
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления...
Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconТема: Базы данных Информационные системы
Информационные системы позволяют хранить большие объемы данных, осуществлять в них быстрый поиск, вносить изменения, выполнять всевозможные...
Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconСигналы и линейные системы
Нет ничего более противного разуму и постоянству природы, чем случайность. Сам бог не может знать того, что произойдет случайно....
Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconТема Системы счисления, Четность 8 часов

Тема 13. Многомерные сигналы и системы iconТема 16. Аналитические сигналы нуль и единица от Бога, все остальное дело рук человеческих
И в этом остальном немалый вклад математиков. У них есть мания упрощения вычислений путем изобретения все новых и новых величин....
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов