Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ icon

Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ



НазваниеВейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ
страница1/3
Дата конвертации29.07.2012
Размер438.22 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3




ВЕЙВЛЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

Тема 3. Вейвлетный кратномасштабный анализ

Кто-то ради насмешки спросил философа: "Если я сожгу тысячу мин дерева, сколько получится мин дыма?". "Взвесь, - сказал Демонакт, - золу, все остальное - дым".

Лукиан из Самосаты. Греческий писатель, II в.д.н.э.

Математики – мутация философов, утратившая способность отвечать на вопросы просто и понятно. Особый шик – ответить так, чтобы у тебя отвисла челюсть. И скрыться в теоретическом тумане от практического вопроса: почему же все-таки дыма получается больше дров?

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы, ХХ в.


Содержание

Введение.

1. Принцип кратномасштабного анализа. Дискретные ортогональные преобразования. Вейвлет Хаара. Свойства преобразования.

2. Математические основы кратномасштабного анализа. Исходные условия. Масштабирующая функция. Базисный вейвлет. Разложение функций на вейвлетные ряды. Вычисление вейвлетных рядов.

3. Быстрое вейвлет-преобразование. Принцип преобразования. Алгоритм Малла. Реконструкция сигналов. Пакетные вейвлеты.

4. Фильтры дуальной декомпозиции и реконструкции сигналов. Идеальные фильтры. Реальные фильтры. Сопряженные квадратурные фильтры.

5. Ортогональные и биортогональные вейвлеты. Коэффициенты вейвлета. Пример расчета. Вейвлет Добеши. Биортогональные вейвлеты.

6. Двумерные вейвлеты.

введение

В практике передачи информации часто требуется представить сигнал в виде совокупности его последовательных приближений. Например, при просмотре и передаче изображений с выборкой из некоторой базы данных можно сначала передать грубую его версию, а затем (при необходимости) последовательно ее уточнять. При сжатии изображений часто без потери качества можно убирать из изображения незначимые мелкомасштабные детали.

Произвольный информационный сигнал обычно рассматривается в виде суммы разнотипных составляющих: региональной функции тренда, циклических компонент с определенным периодом повторения, локальных особенностей (аномалий) разного порядка и флюктуаций (шумов) вокруг всех вышеперечисленных составляющих сигнала. Инструментом разделения (декомпозиции) сигналов на такие составляющие, анализа их порядка и реконструкции сигналов из определенных составляющих (или с исключением определенных составляющих, например шумов или малозначимых деталей) является кратномасштабный (многомасштабный) анализ (КМА).

КМА позволяет получить хорошее разрешение по времени (плохое по частоте) на высоких частотах и хорошее разрешение по частоте (плохое по времени) на низких частотах. Этот подход становится эффективным, если сигнал имеет короткие высокочастотные компоненты и протяженные низкочастотные компоненты.
Именно такие сигналы и встречаются чаще всего.

Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов, причем, чем больший масштаб имеет вейвлет, тем более широкая область сигнала будет оказывать влияние на результат свертки.

Понятие кратномасштабного анализа (Multiresolution analyses) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

^ 3.1. Принцип кратномасштабного анализа /2/.

Дискретные ортогональные преобразования. Непрерывное вейвлет-преобразование, равно как и его дискретный аналог с произвольным шагом по масштабу и сдвигу, обладает сильной избыточностью. Интуитивно понятно, что если какая-либо информация заключена в N отсчетах сигнала, то при любых преобразованиях сигнала для отображения этой информации без потерь в новом базисном пространстве должно быть необходимо и достаточно то же самое количество отсчетов N. С учетом принципа неопределенности Гейзенберга это означает, что для точного восстановления сигнала достаточно знать его вейвлет-преобразование на некоторой решетке частотно-временной области, густой в области высоких частот сигнала, и редкой в области низких частот. Идея КМА заключается в том, чтобы масштабировать вейвлет в некоторое постоянное число раз (например, 2), и при скольжении по сигналу сдвигать его во времени с шагом, равным интервалу носителя масштабированного вейвлета. Если обозначить количество масштабных строк индексом m, и принять N=2m, то при N=32 решетка вейвлетного спектра будет иметь всего m=5 масштабных строк с количеством отсчетов в первой строке 16, во второй 8, в третьей 4, в четвертой 2, и в пятой 1, с общим количеством отсчетов 32, как и в исходном сигнале. При этом все сдвиги одного масштаба будут попарно ортогональны (нет перекрытия сдвигов), равно как и вейвлеты разных масштабов в силу их нулевого первого момента.




Рис. 3.1.1.
Вейвлет Хаара. Простейшие методы КМА, без всякой теоретической базы, использовались при обработке числовых данных уже достаточно давно. Рассмотрим один из таких методов на практическом примере анализа гистограмм, который обычно выполняется функцией Хаара (Haar), в дальнейшем получившей название вейвлета Хаара (рис. 3.1.1).

Допустим, что мы анализируем определенную зависимость s(x) на интервале 0 ≤ х ≤ 1, показанную на рис. 3.1.2. Функция нецентрированная, и для использования вейвлет-преобразования с последующим восстановлением исходного сигнала требует применения как вейвлета, так и его скейлинг-функции. На основе базовых функций вейвлета и скайлинг-функции Наара, приведенных на рис. 3.1.1, записываем масштабированные функции:



Рис. 3.1.2.

m,k(x) = 2m/2 (2mx-k), (3.1.1)

m,k(x) = 2m/2 (2mx-k). (3.1.2)

Эти функции образуют нормированные взаимно ортогональные базисы пространства вейвлетных коэффициентов, на которые может быть разложен анализируемый сигнал. Ортогональность базисных функций является обязательным условием КМА, обеспечивающим возможность обратной реконструкции сигнала.

Для коротких и достаточно гладких кривых нет смысла устанавливать много уровней декомпозиции сигнала. Примем максимальное значение m, равным 4, при этом N=1/2m=16 с интервалом дискретизации данных, соответственно, x=1/N. В принципе, можно применять и задание исходного значения x с последующим определением количества уровней разложения.

При сдвиговой ортогональности прямоугольных базисных функций прямое преобразование (проекции сигнала на базис (3.1.1)) для непрерывных сигналов выполняется по формуле:

Сm,k =s(x)(2mx-k) dx. (3.1.3)

Значения коэффициентов при m=4:

Восстановление сигнала с четвертого уровня декомпозиции соответственно выполняется по формуле реконструкции:

sr(m,x) =Сm,k m,k(x), m=4, N=16. (3.1.4)

Восстановление исходной непрерывной функции сигнала s(x) скейлинг-функцией Хаара невозможно в силу того, что значение скейлинг-функции – константа шириной x, на которую умножается соответствующее значение С4,k и распространяется на весь интервал kx-(k+1)x (кривая sr(x) на рис. 3.1.2). Если выполнить перевод сигнала s(t) во временной ряд sdk, k=0…N-1, с осреднением по интервалам x, или с использованием (в общем случае произвольного вейвлета) его скейлин-функции:

sdk = 2m/2s(x)m,k (x) dx, (3.1.5)



то нетрудно убедиться, что sdk = sr(kx+x/2) (числовые отсчеты sdk на рис. 3.1.2 отнесены к середине интервалов x).

В принципе, гистограмма sdk может представлять собой непосредственные исходные дискретные данные (результаты измерений и т.п.). Сравнением выражений (3.1.5) и (3.1.3) нетрудно убедиться, что нулевой уровень разложения (m=mmax) может быть получен непосредственно из дискретных данных:

Сm,k =sdk/2m/2 . (3.1.3')




Рис. 3.1.3.
На следующем уровне разложения функции, при m=3, скейлинг-функция (3.1.1) расширяется по x в 2 раза (в нашем примере до 1/8), т.е. производится усреднение отсчетов по двум соседним интервалам исходной гистограммы. Количество коэффициентов соответственно в 2 раза уменьшается. Расчет коэффициентов С3,k может выполняться непосредственно по (3.1.3), реконструкция sr3(x)– по (3.1.4), при m=3, N=8. Тем самым аппроксимация исходного сигнала выполняется на более "грубом" уровне декомпозиции, на основании чего скейлинг-функции вейвлетов называют аппроксимирующими или масштабными функциями, а сами коэффициенты, выделенные скейлинг-функциями - аппроксимирующими.

Но при известных значениях коэффициентов С4,k предшествующего уровня следующий уровень может выполняться непосредственно по ним с учетом изменения нормировочного множителя в формуле скейлинг-функции (3.1.1). В общей форме:

Сm-1,k = (1/) (Сm,2k+ Сm,2k+1). (3.1.6)

С3,k = {2.665, 13.421, 13.706, 6.948, 20.037, 29.906, 14.538, 2.267}.

Кроме аппроксимирующих коэффициентов Cm-1,k из предшествующей гистограммы аппроксимации Cm,k могут быть выделены также коэффициенты изменения сигнала в пределах нового интервала усреднения, т.е. коэффициенты разности значений первой и второй половины интервала:

Dm-1,k = (1/)(Cm,2k - Cm,2k+1), (3.1.7)

которые называют детализирующими коэффициентами.

D3,k = {-1.571, -2.979, 2.769, -0.625, -5.024, 1.275, 4.853, 1.299}.




Рис. 3.1.4.
На рис. 3.1.4 показан график dr(3,x) детализирующих коэффициентов (m=3), приведенный к масштабу исходного сигнала по формуле (3.1.4) при m=3 и N=2m=8, по которому нетрудно понять их физическую сущность. Так как значения сигнала в интервале разложения 2t по m=3 представляют собой среднее значение сигналов в двух интервалах t разложения по m=4, которые они перекрывают, а детализирующий коэффициент (с учетом приведения к масштабу исходного сигнала) равен половине разности сигналов этих двух интервалов, то его значение есть не что иное, как флюктуация сигнала по m=4 относительно его аппроксимации по m=3. Если детализирующий коэффициент отрицателен, то эта флюктуация отрицательна относительно аппроксимированного значения в первой половине его интервала и положительна во второй, и наоборот. Т.е. соответствующие коэффициенты аппроксимации Сm-1,k и детализации Dm-1,k разделяют коэффициенты Cm,k предшествующего уровня декомпозиции сигнала на аппроксимированную (низкочастотную) и флюктуационную (высокочастотную) части.

Отсюда следует, что ряды коэффициенты Cm-1,k и Dm-1,k (количество точек 2m-1 в каждом ряде) содержат полную информацию, адекватную информации в Cm,k предшествующего уровня (количество точек 2m=2m-1+2m-1), что позволяют полностью восстановить значения коэффициентов более высокого уровня m:

Cm,2k = (1/) (Cm-1,k+ Dm-1,k), Cm,2k+1 = (1/) (Cm-1,k - Dm-1,k), (3.1.8)

а, следовательно, и восстановить исходный дискретный сигнал. Для восстановления значений в исходных интервалах при m=4, значение аппроксимирующего коэффициента на первой половине интервала при m=3 складывается с детализирующим коэффициентом, а на второй – вычитается. Для математического отображения этой операции введем функцию , форма которой приведена на рис. 3.1.1, и обеспечим ее сдвиг по координате синхронно со скейлинг-функцией. Эта функция является ортонормированным базисом разложения детализирующих коэффициентов. Именно она и получила название вейвлета (вейвлетной или детализирующей функции). С ее использованием уравнение (3.1.4) с входящими в него уравнениями (3.1.8) приводятся к следующей форме (с уровня m=3, 2m-1 =8):

sr(3, x) =C3,k 3,k(x) +D3,k 3,k(x). (3.1.9)

Как и значения коэффициентов Cm,k, значения детализирующих коэффициентов могут вычисляться непосредственно по формуле (3.1.3) с заменой скейлинг-функции на вейвлет-функцию.

Аналогичным образом операция разделения на аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты может быть продолжена над значениями коэффициентов C3,k по уровню m=2, с выделением коэффициентов аппроксимации C2,k и детализации D2,k, и далее по уровням m=1 и m=0. На последнем уровне m=0 получаем только 1 коэффициент аппроксимации C0 и детализации D0 по всему интервалу задания сигнала 0 ≤ х ≤ 1. Применяя последовательно, начиная с m=0, функцию "сборки" сигнала (3.1.9), получаем общую формулу реконструкции сигнала:

sr(x)=C0·0(x)+D0·0(x)+D1,k·1,k(x)+D2,k·2,k(x)+D3,k·3,k(x). (3.1.10)

Свойства преобразования. Отметим на этом примере характерные и очевидные особенности нового представления сигнала:

  • Общее количество коэффициентов разложения равно количеству отсчетов исходного сигнала (условие необходимости и достаточности сохранения в новом математическом представлении исходного объема информации).

  • Вейвлет и его скейлинг-функция должны иметь однозначную связь. Это определяется тем, что разложение сигнала может быть выполнено с использованием только скейлинг-функции, а детализирующие коэффициенты определяться по разности m и m+1 уровней аппроксимации, и наоборот.

  • Значение C0 представляет собой среднее значение исходного сигнала по интервалу его задания. Для центрированных сигналов это значение равно нулю. При выполнении разложения без скейлинг-функции (с вейвлетом в (3.1.2)) картина детальных особенностей нецентрированных сигналов остается без изменений, но полная реконструкция сигнала невозможна. Без значения C0·0(x) при полном разложении сигнал центрируется, при реконструкции с других масштабов декомпозиции искажается за счет отсутствия соответствующих коэффициентов Cm,k.

  • Увеличение масштабного значения m разложения соответствует возрастанию временного разрешения сигнала (1/2m). Коэффициенты вейвлет-преобразования вскрывают флюктуационную структуру сигнала на разных масштабах и в разных временных точках. В областях "гладких" значений сигнала коэффициенты детализации близки к нулевым и ими можно пренебречь, что позволяет осуществлять сжатие информации для хранения.

  • Реконструкция сигнала возможна с любого масштабного уровня декомпозиции, причем все особенности сигнала сохраняются без искажений с временным разрешением первого вейвлета (с минимальной шириной окна).

^ 3.2. МАТЕМАТИЧСКИЕ Основы кратномасштабного анализа /2, 3, 5, 14/.

Разложение сигнала на сумму аппроксимирующих и детализирующих составляющих производится с использованием ортогональных и биортогональных вейвлетов. На таких вейвлетах выполняется быстрое вейвлет-преобразование. При выполнении КМА пространство сигналов L2(R) представляется в виде системы вложенных подпространств Vm, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной.

Исходные условия ортогонального кратномасштабного анализа.

В качестве пространства сигналов будем рассматривать L2(R) – пространство функций s(t) с конечной энергией. В этом пространстве определено скалярное произведение и норма функций:

s(t), g(t) = s(t) g*(t), ||s(t)|| = .

Базисом в пространстве V  L2(R) называется такая система функций {vn(t)}, что любая функция v(t)  V единственным образом записывается в виде v(t) = cnvn(t). Базис называется ортонормированным, если vi(t), vj(t) = ij. В этом случае cn = v(t), vn(t).

Под кратномасштабным анализом понимается описание пространства L2(R) через иерархические вложенные подпространства Vm  L2(R), m = 0, ±1, ±2, …, которые не пересекаются и объединение которых в пределе дает L2(R). Система подпространств должна удовлетворять следующим условиям.

1. Условие вложенности: Vm  Vm+1.

Все пространство сигналов L2(R) в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней m декомпозиции сигнала:

… V-1  V0  V1  V2 … Vm  Vm+1 ….

"Размеры" подпространств непрерывно расширяются по мере роста значения m, а объединение всех подпространств в пределе дает пространство L2(R).

2. Условие полноты и плотности разбиения:

Vm = L2(R). (3.2.1)

3. Условие ортогональности подпространств:

Vm = {0}. (3.2.2)

4. Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

v(t)  Vm  v(t+1)  Vm.

5. Для любой функции v(t)Vm ее масштабное преобразование по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

v(t) Î Vm  v(2t) Î Vm+1, v(t) Î Vm  v(t/2) Î Vm-1 (3.2.3)

6. Для пространства V0 существует phi-функция (t) Î V0, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства V0:

0,k = (t-k), k Î I (k=0, ±1, ±2, ...). (3.2.4)

Функция (t) называется скейлинг-функцией (scaling function). Условие нормирования скейлинг-функции:

(t) dt = 1.

Из этих условий следует, что если подпространство V0 имеет ортонормированный базис 0,k, то и все остальные подпространства также имеют ортонормированные базисы, которые образуются масштабным преобразованием базиса 0,k:

m,k(t) = аm/2 (аmt-k), m, k Î I. (3.2.5)

Стандартное значение параметра 'а' в кратномасштабном анализе равно 2. Так, например, если 0,k(t)=1 на интервале [0,1) и 0,k(t)=0 вне этого интервала, то целочисленные сдвиги этой функции попарно ортогональны, и пространство V0 состоит из функций, имеющих постоянные значения на интервалах вида [k, k+1), V1 – из функций, постоянных на интервалах [k/2, (k+1)/2),  – из функций, постоянных на интервалах [2k, 2k+1), и т.д.

Если сигнал v(t) принадлежит пространству Vm, то одновременно он входит и в пространство Vm+1, и вместе с ним в этом пространстве находится и сигнал v(2t). Увеличение номера пространства позволяет изучать все более и более мелкие детали и особенности сигнала с более высокочастотными компонентами (как под микроскопом).




Рис. 3.2.1.
На рис. 3.2.1 чисто в условном виде показано разбиение пространства L2(R) на систему вложенных подпространств. Сигнал внутри каждого подпространства Vm (ограниченного на рисунке окружностью) представляет собой произвольный вектор числовых значений vm(t)Vm. Все подпространства не пересекаются и вложены друг в друга таким образом, что объем каждого последующего (меньшего по номеру) подпространства Vm-1, вложенного в подпространство Vm, при а=2 в два раза меньше объема подпространства Vm, при этом четные числовые отсчеты вектора vm(t)Vm входят в подпространство Vm-1, а нечетные отсчеты остаются в подпространстве, ограниченном границами [Vm-1, Vm) (отмечены на рисунке индексами Wm).

Все условия в совокупности позволяют разложить произвольный сигнал s(t) Î L2(R) по подпространствам Vm, т.е. на множество последовательных разномасштабных и ортогональных друг другу функций vm(t) Î Vm, объединение которых дает исходный сигнал s(t), или аппроксимирует сигнал с определенной точностью в зависимости от ограничения количества значений масштабирующего коэффициента m (и, соответственно, количества подпространств Vm). Функции vm(t) являются ортогональными проекциями сигнала s(t) на подпространства Vm. Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная m называется масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m мало, то функция vm(t) есть грубая аппроксимация s(t), в которой отсутствуют детали. При увеличении значений m точность аппроксимации повышается.

Кратность КМА, равную 2, в принципе, можно заменить любым целым числом, большим 1, но использование двоичной кратности оптимально и позволяет использовать быстрое вейвлет-преобразование. Выбор функции 0 также произволен, но желательно стремиться к тому, чтобы спектр функций подпространства V0 был сконцентрирован в интервале (-, ).

  1   2   3




Похожие:

Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconВейвлетные преобразования сигналов
Удаление шума и сжатие одномерных и двумерных сигналов. Параметры удаления шумов и сжатия сигналов. Изменение вейвлет-коэффициентов....
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconВейвлетные преобразования сигналов
Ни одна вещь не возникает и не уничтожается, но каждая составляется из смешения существующих вещей или выделяется из них
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconВейвлетные преобразования сигналов
Для "топоров" и ручеек широк. Лучше один раз научиться плавать, чем на каждой речушке искать брод
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconВейвлетные преобразования сигналов
В теории вейвлетов есть правило, которое поучительней самой теории попробуй, посмотри, и делай выводы
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconДокументы
1. /slsprog.doc
2. /tss01-Введение в теорию сигналов.doc
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconВ. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение
Гильбертов спектральный анализ (hsa) /1, 2, 3/. Hht в целом представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует...
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconТема дискретные преобразования сигналов нет ничего, сколь бы великим и изумительным оно не показалось с первого взгляда, на что мало-помалу не начинаешь смотреть с меньшим изумлением
...
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconВейвлетные преобразования сигналов
Комплексные вейвлеты. Комплексный вейвлет Гаусса. Комплексный вейвлет Морлета. Комплексный в-сплайновый вейвлет. Комплексный вейвлет...
Вейвлетные преобразования сигналов тема Вейвлетный кратномасштабный анализ iconДокументы
1. /dsp01-Введение в цифровую обработку сигналов.doc
2. /dsp02-Цифровые...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов