В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение icon

В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение



НазваниеВ. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение
Дата конвертации22.07.2012
Размер110.64 Kb.
ТипДокументы


Давыдов В.А., Давыдов А.В.

Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга


Введение

Под преобразованием Гильберта-Хуанга (Hilbert-Huang transform – HHT) понимается эмпирический метод декомпозиции (EMD) нелинейных и нестационарных процессов и Гильбертов спектральный анализ (HSA). HHT представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует априорного функционального базиса. Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты вычисляются от производных фазовых функций Гильбертовым преобразованием функций базиса. Заключительный результат представляется в частотно-временном пространстве /1/.

EMD-HSA был предложен Норденом E. Хуангом в 1995 в США (NASA) для изучения поверхностных волн тайфунов, с обобщением на анализ произвольных временных рядов коллективом соавторов в 1998 г. /2/. В последующие годы, по мере расширения применения EMD-HAS для других отраслей науки и техники, вместо термина EMD-HAS был принят более короткий обобщенный термин преобразования HHT.

Традиционные методы анализа данных предназначены, как правило, для линейных и стационарных сигналов и систем, и только в последние десятилетия начали активно развиваться методы анализа нелинейных, но стационарных и детерминированных систем, и линейных, но нестационарных данных (вейвлетный анализ, распределение Wagner-Ville и др.)­. Между тем, большинство естественных материальных процессов, реальных физических систем и соответствующих этим процессам и системам данных в той или иной мере являются нелинейными и нестационарными, и при анализе данных используются определенные упрощения, особенно в отношении априорно устанавливаемого базиса анализа данных.

Необходимое условие корректного представления нелинейных и нестационарных данных заключается в том, чтобы иметь возможность формирования адаптивного базиса, функционально зависимого от содержания самих данных. Именно такой подход и реализуется в методе HHT, хотя на данный момент без соответствующих достаточно строгих математических обоснований. Хорошие результаты применения метода для решения многих практических задач позволяют надеяться, что за разработкой строгой теории метода дело не станет.

^ Эмпирический метод декомпозиции (EMD) сигналов

EMD (Empirical Mode Decomposition) - метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод». Метод представляет собой итерационную вычислительную процедуру разложения исходных данных (непрерывных или дискретных сигналов) на эмпирические моды или внутренние колебания (intrinsic mode functions, IMF).

Декомпозиция основана на предположении, что любые данные состоят из различных внутренних колебаний.
В любой момент времени данные могут иметь различные сосуществующие внутренние колебания, ­нанесенные одно на другое. Каждое колебание, линейное или нелинейное, представляет собой модовую функцию, которая имеет экстремумы и нулевые пересечения. Кроме того, колебание будет в определенной степени «симметрично» относительно локального среднего значения. Результат – конечные сложные данные.

Эмпирическая мода - это такая функция, которая обладает следующими свойствами:

1. Количество экстремумов функции (максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.

2. В любой точке функции среднее значение огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, должно быть нулевым.

IMF представляет собой колебательный режим, как часть простой гармонической функции, но вместо постоянной амплитуды и частоты, как в простой гармонике, у IMF могут быть переменная амплитуда и частота, как функции времени. Любую функцию и любой произвольный сигнал можно разделить на семейство функций IMFs, придерживаясь изложенной ниже методики.

Допустим, что имеется произвольный сигнал x(t). Сущность метода EMD заключается в последовательном вычислении функций эмпирических мод cj(t) и остатков rj(t) = rj-1(t) - cj(t), где j = 1, 2, 3, …, n при r0 = x(t). Результатом разложения будет представление сигнала в виде суммы модовых функций и конечного остатка:

x(t) = cj(t) + rn(t),

где n — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

Алгоритм вычисления эмпирических мод поясним рисунками из работы /3/.

На рис. 1 приводится форма тестового сигнала x(t) для примера выполнения EMD.



Рис. 1. Тестовый сигнал x(t) для EMD.

Операция 1.

Находим в сигнале x(t) все локальные экстремумы (максимумы и минимумы) процесса, между которыми сосредоточены все его данные (точки ti экстремумов по изменениям знака производной x(t) и значения x(ti) в этих точках).

Операция 2.

Кубическим (или каким либо другим) сплайном вычисляем верхнюю и нижнюю огибающие процесса (соответственно, по максимумам и минимумам), как это показано на рис. 2 (зеленый цвет), и определяем функцию средних значений m1(t) между огибающими (красный цвет). Разность между сигналом x(t) и функцией m1(t) принимаем за первое приближение к первой функции IMF, компоненту операции отсеивания (Sifting) – функцию h1(t):

h1(t) = x(t) – m1(t). (1)

.

Рис. 2. Огибающие и функция средних значений m1(t).

Операция 3.

Повторяем операции 1 и 2, принимая вместо x(t) функцию h1(t) и находим второе приближение к функции IMF - компоненту отсеивания h2(t), как показано на рис. 3:

h2(t) = h1(t) – m2(t), (2)



Рис. 3. Огибающие функции h1(t) и функция средних значений m2(t)

Последующие операции выполняются аналогично, т.е. действует алгоритм итераций нахождения первой функции IMF:

hk(t) = hk-1(t) – mk(t), (3)

На рис 4 и 5 приведены примеры последующих итераций.



Рис. 4. Огибающие функции h3(t) и функция средних значений m4(t)



Рис. 5. Огибающие функции h4(t) и функция средних значений m5(t)

По мере увеличения количества итераций функция mi(t), равно как и функция hi(t) стремится к неизменяемой форме. Критерием останова итераций являются два метода: S и SD.

Первый, более ранний метод SD (1998), использует в качестве критерия нормализованную квадратичную разность между двумя последовательными операциями отсеивания, определенную как



с остановом по установленному значению SDmin, что создает определенные трудности задания порога итераций под различные формы функций hi(t) в зависимости от их физической значимости для анализируемого процесса.

Второй метод S определяется как номер максимальной итерации, при которой число экстремумов и нулевых пересечений функции hS(t) не изменяется по сравнению с предыдущими итерациями. Опыт показывает, что для оптимальных отсеиваний диапазон S-номеров должен быть установлен между 4 и 8.

Последнее значение hk(t) итераций принимается за наиболее высокочастотную функцию с1(t) = hk(t) семейства IMFs, которая непосредственно входит в состав исходного сигнала x(t). Это позволяет вычесть с1(t) из состава сигнала и оставить в нем более низкочастотные составляющие (показано на рис. 6):

r1(t) = x(t) – c1(t). (4)



Рис. 6. Входные данные x(t) и функция r1(t)

Функция r1(t) обрабатывается как новые данные по аналогичной методике отсеивания с нахождением второй функции семества IMF – c2(t), после чего процесс продолжается:

r2(t) = r1(t) – c2(t), и т.д. (5)

Таким образом, достигается декомпозиция данных в n – эмпирическом приближении:

x(t) = cj(t) + rn(t) (6)



Рис. 7. Функции IMF тестового сигнала.

Процесс декомпозиции сигнала может быть остановлен по следующим критериям:

1. Компонент cn(t) или остаток rn(t) во всем интервале задания сигнала становятся несущественными по своим значениям или мощности по сравнению с сигналом.

2. Остаток rn(t) становится монотонной функцией, из которой больше не может быть извлечено функций IMFs.

Даже для данных с нулевым средним значением конечный остаток может отличаться от нуля. Если у данных есть тренд, заключительный остаток должен быть линией тренда. Чтобы применять метод EMD, центрировании данных не требуется, метод нуждается только в локализациях экстремумов. Нулевая линия для каждого компонента декомпозиции будет сформирована процессом отсеивания.

Компоненты EMD обычно физически значимы, поскольку ­характеристические параметры функций IMF определяются материальными данными.

Таким образом, входной сигнал x(t) в соответствии с выражением (6) раскладывается по базису, который, к сожалению, не определен аналитически, но удовлетворяет всем традиционным требованиям базиса. На основании проверки на модельных и опытных данных он является:

- законченным,

- сходящимся,

- ортогональным,

- единственным.

И, что самое главное – он является адаптивным1, так как получен непосредственно из анализируемых данных эмпирическим методом.

Ортогональность базиса легко может быть проверена скалярным произведением любых пар компонентов IMF. Сумма (6) всех компонентов IFM, включая остаток, должна реконструировать входной сигнал и может использоваться для определения ошибки декомпозиции. Как правило, наибольшие локальные ошибки наблюдаются на концевых участках входного массива данных. Для исключения таких ошибок на концах входного массива рекомендуется задавать начальные условия, т.е. продлевать массивы, например, затухающей высокочастотной гармоникой (3-5 периодов).

В качестве примера в работе /3/ приводится анализ данных девиации периода вращения Земли, которое происходит за счет влияния штормов и тайфунов, месячных вариаций мощности приливов, явления Эль-Ниньо и пр. факторов. Ниже, без комментариев, приводятся выборки из результатов данного анализа, демонстрирующие свойства базиса.



Рис. 8. Данные.



Рис. 9. IMFs.




Рис. 10. Данные и с12 IMF.




Рис. 11. Данные и сумма с10+с11+с12.



Рис. 12. Детализация данных и сумма с8+с9+с10+с11+с12.



Рис. 13. Детализация данных и сумма с7+с8+с9+с10+с11+с12

Спектральный анализ Гильберта (HAS)

IMF, определенные вышеприведенным способом, допускают вычисление физически значимых мгновенных частот, что дает возможность создать частотно-временное представление сигнала на основе преобразования Гильберта.

Для действительного сигнала s(t),преобразование Гильберта определяется главным значением (PV) интеграла

(7)

Это приводит к аналитическому сигналу

(8)

(9)

где a(t) и t)- соответственно, амплитуда и фаза сигнала во время t. Мгновенная частота может быть вычислена по формуле

(t) = d(t)/dt. (10)

Заметим, что вышеприведенные и амплитуда и мгновенная частота - функции времени. Мы надеемся создать частотно-временное представление сигнала с использованием преобразования Гильберта. Если бы это представление было правильно для произвольного сигнала, то у нас было бы частотно-временное представление с более высокой энергетической концентрацией, чем на кратковременном преобразовании Фурье и вейвлет-преобразовании. К сожалению,­ существенная трудность состоит в том, что у мгновенной частоты, полученной таким образом на произвольном сигнале, могут быть частотные величины, которые бессмысленны в физике. Эта задача досаждала исследователям много лет, потому что попытки преодолеть ее были основаны на классических методах Фурье и теории фильтров.

После выполнения преобразования Гильберта на каждой компоненте IMF первоначальные данные могут быть выражены как действительные в следующей форме:

(11)

Здесь, остаток rn был не учтен, поскольку это - или монотонная функция или постоянная.



Рис. 14.

На рис. 14 приведено сопоставление частотно-временного представления модельного сигнала в трех представлениях.

Литература.

  1. The Hilbert-Huang transform and its applications / editors, Norden E. Huang, Samuel S.P. Shen. - World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 5 Toh Tuck. Link, Singapore 596224

  2. Huang, N. E., Z. Shen, S. R. Long, M. C. Wu, H. H. Shih, Q. Zheng, N.-C. Yen, С. C. Tung, and H. H. Liu, 1998: The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proc. R. Soc. London, Ser. A, 454, 903-995.

  3. An Introduction to Hilbert-Huang Transform: A Plea for Adaptive Data Analysis. Norden E. Huang. Research Center for Adaptive Data Analysis. National Central University



Главный сайт автора ~ Преобразование Гильберта-Хуанга

О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.

Copyright © 2010 Davydov А.V.


1 Вместе с тем адаптивность преобразования требует уточнения понятия единственности базиса разложения. Проверка, проведенная автором на модельных сигналах с зашумлением, показала, что базисные функции разложения одного и того же достаточно сложного сигнала зависят от плотности распределения вероятностей наложенного шума и изменяются для различных реализаций шума.




Похожие:

В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconВведение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи

В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconВведение в преобразование Гильберта-Хуанга
Норден E. Хуанг. Исследовательский центр адаптивного анализа данных. Национальный Центральный Университет
В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconВ. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение
Гильбертов спектральный анализ (hsa) /1, 2, 3/. Hht в целом представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует...
В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconПреобразование гильберта-хуанга для обнаружения повреждений в строениях пластин

В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconВнутренние модовые функции
Преобразование Гильберта-Хуанга и эмпирическая модовая декомпозиция сигналов
В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconПреобразование гильберта-хуанга для обнаружения повреждений в строениях пластин
Гильберта-Huang, наряду с Лэмбовским распространением волны для тонких пластин. С использованием симметрий волны от разрывов методы...
В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconДокументы
1. /Введение в DELPHI/Alexs.rtf
2. /Введение...

В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconТема 24. Преобразование гильберта-хуанга судьба новой истины такова: в начале своего существования она всегда кажется ересью
У стадию Хуанг уже прошел. Вытирать об него ноги математики прекратили и скопом ринулись обосновывать новый метод. А практикам понравилось:...
В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconВадим Анатольевич Давыдов
Под преобразованием Гильберта-Хуанга понимается эмпирическая модовая декомпозиция (emd) сигналов и Гильбертов спектральный анализ...
В. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение iconДокументы
1. /dsp01-Введение в цифровую обработку сигналов.doc
2. /dsp02-Цифровые...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов