Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи icon

Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи



НазваниеВведение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи
страница1/2
Дата конвертации22.07.2012
Размер458.35 Kb.
ТипДокументы
  1   2


ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ В ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА-ХУАНГА И СВЯЗАННЫЕ С НИМ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Норден E. Хуанг

Перевод - В.Давыдов, Л.Суханова, А.Давыдов

Преобразование Гильберта-Хуанга (HHT) доказано опытным путем и основывается на методе анализа данных. Его базис разложения адаптивен так, чтобы производить физически значимые представления данных от нелинейных и нестационарных процессов. Адаптивность разложения имеет свою цену: это трудность теоретического обоснования устойчивого разложения. Эта глава является введением в основной метод, который ­сопровождается краткими описаниями свежих разработок, касающихся нормализованного преобразования Гильберта, доверительного предела для Гильбертова спектра, и статистического критерия значимости для существенной (собственной) функции (IMF). Обсуждаются математические ­проблемы, связанные с HHT. Эти проблемы включают: 1 - общий методе адаптивного анализа данных, 2 - метод распознавания нелинейных систем, 3 – проблемы прогноза в нестационарных процессах, которые тесно связанные с концевыми эффектами метода, основанного на разложении (EMD), 4 - сплайновые проблемы, центром которых является нахождение лучшего способа сплайновой реализации, сходимость EMD, и двумерное EMD, 5 –задачи оптимизации или лучшего выбора IMF и однозначность разложения EMD,­ 6 – проблемы аппроксимации включая точность Гильбертовой трансформации и квадратуры данных, и 7 - список смешанных математических вопросов относительно HHT.

1.1. Введение

Традиционные методы анализа данных полностью основаны на линейных и стационарных предположениях. Только в последние годы появились новые методы для анализа нестационарных и нелинейных данных. Например, вейвлетный анализ и распределение Wagner-Ville (Flandrin 1999; Grochenig 2001), были разработаны для линейных, но нестационарных данных. Дополнительно, различные нелинейные методы анализа временного ряда (см., например, Тонг 1990; Kantz и Schreiber 1997; Diks 1999), были предназначены для нелинейных, но стационарных и детерминированных систем. К сожалению, в большинстве реальных систем, как естественных, так и искусственных, полученные данные наиболее вероятно будут нелинейными и нестационарными. Анализ данных от таких систем является задачей об упрощении. Даже универсально принятая математическая парадигма должна избегать разложения данных по априорно установленному базису, поскольку вычисление свертки априорного базиса создает больше проблем, чем решений. Необходимое условие представления нелинейных и нестационарных данных состоит в том, чтобы иметь адаптивный базис. На априорно определенную функцию нельзя полагаться как на базис, независимо от того насколько сложной могла бы быть функция базиса. Несколько адаптивных методов доступны для анализа сигналов, такие получены Windrow и Steams (1985). Однако все методы, приведенные в их книге, предназначены для стационарных процессов.
Для нестационарных и нелинейных данных, где адаптация абсолютно необходима, неизвестны никакие доступные методы. Тогда как такой базис может быть определен? Каковы математические свойства и задачи функций базиса? Насколько может быть приближенным адаптивный метод для анализа данных? При адаптивных методах, задание базиса должно быть зависимым от данных, о posteriorirdefmed базис – это подход, полностью отличный от установленной математической парадигмы для анализа данных. Поэтому, заданное определение представляет сложную задачу математическому обществу. Даже несмотря на многообещающие новые методы, необходимо исследование данных от реальных систем. В недавно разработанном Хуангом и др. (1996, 1998, 1999) методе HHT, кажется, намечается решение этих проблем.

Состав HHT включает две части: эмпирический метод разложения (EMD) и спектральный анализ Гильберта (HSA). Этот метод потенциально жизнеспособен для нелинейного и нестационарного анализа данных, специально для частотно-энергетических временных представлений­. Это было проверено и полностью утверждено, но только опытным путем. Во всех изученных случаях HHT дал результаты, намного более четкие, чем традиционные методы анализа в частотно-энергетических временных представлениях. Дополнительно, HHT открыл подлинный физический смысл в большинстве рассмотренных данных. Этот сильный метод является полностью эмпирическим. Чтобы сделать метод более устойчивым и строгим должны быть решены многие математические задачи, связанные с HHT. В этом разделе некоторые из задач будут перечислены, в надежде на привлечение внимания математического общества к этой интересной, необходимой и критической области исследования. Некоторые из задач достаточно легкие и могли бы быть решены за следующие несколько лет; другие являются более трудными, и вероятно будут требовать намного большего усилия. Ввиду истории анализа Фурье, который был изобретен в 1807, но не полностью доказан до 1933 (Plancherel 1933), нужно ожидать, что будут требоваться существенное время и усилие. Прежде чем обсуждать математические задачи, сначала будет дано краткое введение в методологию HHT. Заинтересованные в подробностях должны консультироваться с Хуанг и др. (1998, 1999).

^ 1.2. Преобразование Гильберта-Хуанга

Разработка HHT была мотивирована потребностью подробно описать нелинейные искаженные волны, наряду с изменениями этих сигналов, которые естественно происходят в нестационарных процессах. Как известно, естественные физические процессы являются главным образом нелинейными и нестационарными, все же методы анализа данных имеют очень ограниченные возможности для того, чтобы исследовать данные от таких процессов. Известные методы доступны для линейных, но нестационарных, или нелинейных, но стационарных и статистически детерминированных процессов. Чтобы исследовать данные от реальных нелинейных, нестационарных и стохастических процессов необходимы новые подходы, поскольку нелинейные процессы нуждаются в специальном подходе. Прошлый подход наложения линейного строения на нелинейную систему не достаточен. Затем периодичность, подробная динамика в процессах от данных должна быть определена, потому что одна из типичных характеристик нелинейных процессов - их интраволновая частотная модуляция, которая указывает текущие частотные изменения в пределах одного цикла колебания. Как пример, будет исследована очень простая нелинейная система, заданная уравнением

d2x/dt2 + x + x3 =  cos t, (1.1)

где  - параметр, не обязательно маленький, и  - амплитуда периодической вынужденной функции с частотой . В (1.1), если бы параметр  был нулем, система была бы линейна, и решение было бы легко найдено. Однако, если  отлично от нуля, то система нелинейна. В прошлом любая система с таким параметром могла быть решена при использовании методов возмущения, при условии, что  << 1. Однако, если  не является небольшим по сравнению с единицей, то система становится очень нелинейной, появляются новые явления, такие как раздвоения, и последует хаос. Тогда методы возмущения будут не больше чем вариант; должны быть предприняты численные решения. Любой путь, а (1.1) представляет одну из самых простых нелинейных систем, также содержит все осложнения нелинейности. При перезаписи уравнения в немного отличной форме:

d2x/dt2 + x(1 + x2) =  cos t, (1.2)

его особенности могут быть лучше исследованы. Тогда количество в пределах круглой скобки может быть расценено как переменная постоянная скачка, или переменная длина маятника. Поскольку частота или период математического маятника зависят от длины, очевидно, что представленная система (1.2) должна измениться по частоте от локализации до локализации, и время от времени, даже в пределах одного цикла колебания. Как Хуанг и др. (1998) указали, это внутричастотное изменение - признак нелинейных систем. В прошлом, когда анализ был основан на линейном анализе Фурье, это внутриволновое частотное изменение не могло быть изображено, кроме как при обращении к гармоникам. Таким образом, любая нелинейно искаженная форма волны упоминается "как гармонические искажения". Искажения гармоник – искусственный математический результат, следующий из наложения линейного строения на нелинейную систему. У них может быть математическое значение, но не физическое отображение (Хуанг и др. 1999). Например, в случае водных волн, у таких гармонических составляющих нет ни одной из реальных физических характеристик действительной волны. Физически значимый способ – это описать систему в терминах мгновенной частоты, которая показывает модуляции внутри частоты волны.

Самый простой способ вычислить мгновенную частоту при использовании Гильбертовой трансформанты, через которую может быть определена (см., например, Тичмэрш 1950)комплексно сопряженная y(t) для любой действительной оценки функции x(t) класса Lp

(1.3)

в которой PV указывает главное значение сингулярного интеграла. С Гильбертовой трансформантой аналитический сигнал определяется как

z(t) = x(t) + j y(t) = a(t) exp(j(t)), (1.4)

где

a(t) =  , и (t) = аrgtan (y/x). (1.5)

Здесь, a(t) - мгновенное значение амплитуды, и (t) - фазовая функция, a мгновенная частота это

(t) = d(t)/dt. (1.6)

Описание Гильбертовой трансформанты с акцентом на его многие математические формальности может быть найдено в Hahn (1996). По существу, (1.3) определяет Гильбертову трансформанту как свертку x(t) с 1/t; поэтому в (1.3) подчеркиваются локальные свойства x(t). В (1.4) выражение в полярных координатах проясняет локальную природу этого представления: это лучшая локальная оценка амплитудной и фазово-переменной тригонометрической функции x(t). Даже с Гильбертовой трансформантой определение мгновенной частоты все еще включает значительное противоречие. Фактически, практическая мгновенная частота не может быть найдена через этот метод для произвольной функции. Прямое его применение, как отмечено Ханом (1996), только приведет к проблеме наличия частотных значений, которые могут быть как позитивными, так и негативными для любого данного набора данных. В результате прошлые применения Гильбертовой трансформанты ограничивались узкой полосой сигналов, которые являются узкополостными с теми же самыми номерами экстремумов и нулевыми пересечениями. Однако, фильтрование в частотном пространстве - линейная операция, и фильтрованные данные будут лишены их гармоник, и результатом будет искажение форм волны. Действительное преимущество Гильбертовой трансформации стало очевидным только после того, как Хуанг и др. (1998) представили эмпирический метод разложения.

^ 1.2.1. Эмпирический метод разложения (процесс отсеивания)

Как было обсуждено Хуэнгом и др. (1996, 1998, 1999), эмпирический метод разложения необходим для работы с данными от нестационарных и нелинейных процессов. В отличие от почти всех предыдущих методов, этот новый метод, обладающий интуицией, является прямым и адаптивным, с posteriori-определенным базисом на основе полученных данных. Разложение базируется на простом предположении, что любые данные состоят из разнообразных простых внутренних видов колебаний. Каждый встроенный вид, линейный или нелинейный, представляет собой простое колебание, которое будет иметь одинаковое число экстремумов и нулевых пересечений. Кроме того, колебания также будут симметричны относительно "локального среднего значения". В любой момент времени данные могут иметь много различных сосуществующих видов колебаний, наложенных одно на другое. Результат – конечные сложные данные. Каждое из этих колебаний представляется существенной функцией режима (intrinsic mode function - IMF) со следующим определением:

  1. В наборе данных число экстремумов и число нулевых пересечений должны быть равными или отличаться самое большее на единицу.

  2. В любой точке данных среднее значение огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, является нулем.

IMF представляет собой простой колебательный режим как аналог простой гармонической функции, но намного больше по параметрам: вместо постоянной амплитуды и частоты, как в простой гармонической составляющей, IMF может иметь переменную амплитуду и частоту, как функции времени. С вышеприведенным определением для IMF, любую функцию можно разложить следующим образом: взять результаты испытания, приведенные на рис. 1.1, идентифицировать все локальные экстремумы, а затем аппроксимировать все локальные максимумы кубической сплайновой линией, т.е. получить верхнюю огибающую данных.



Рис. 1.1. Тестовые данные.

Повторить эту процедуру для локальных минимумов, чтобы получить нижнюю огибающую. Верхние и нижние огибающие должны покрыть все данные между ними, как показано в рис. 1.2. Их среднее значение определяется как m1, также показанное на рис. 1.2, а разность между данными и m1 - первый компонент h1, показанный на рис. 1.3, т.е.:

h1 = x(t) – m1. (1.7)



Рис. 1.2. Данные - синие цвет, верхняя и нижняя огибающие - зеленый цвет,

среднее значение между огибающими - красный цвет.


Процедура поясняется в Хуанг и др. (1998).




Рис. 1.3. Данные - красный цвет, h1 - синий.


Идеально, h1 должен удовлетворить определению IMF, для построения вышеописанной h1 все преобразования должны быть выполнены симметрично, и иметь все положительные максимумы и все отрицательные минимумы. Однако, даже если настройка будет безупречна, пологий максимум на склоне может быть усилен, до установления локального экстремума при изменении локального нуля от прямоугольной к криволинейной системе координат. После первой операции отсеивания максимум может превратиться в локальный максимум. Новый экстремум генерирует с h1, это фактически показывает способ отсеивания на начальном этапе исследования. Фактически, с повторениями циклов, процесс отсеивания может восстанавливать сигналы, представляющие низкую амплитуду стоячей волны.




Рис. 1.4. Верхний - повторение отсеивающего шага с h1 и m2,

нижний - повторение отсеивающего шага с h2 и m3.

Процесс отсеивания удовлетворяет двум целям: устранить стоячие волны, и сделать изображение волны в разрезе более симметричным. Тогда как первая цель должна быть достигнута для Гильбертовой трансформанты и дает значение мгновенной частоты, вторая цель также должна быть достигнута для случаев, когда у соседних волновых амплитуд имеется слишком большое неравенство. Процесс отсеивания должен быть повторен несколько раз, в конце операции отсеивания он обязательно приведет извлеченный сигнал к IMF. В следующих операциях отсеивания h1 может быть обработан только как прото-IMF.



Рис. 1.5. Первый компонент IMF c1 после 12 шагов.

В следующем шаге h1 обрабатываются как данные, тогда:

h11 - h1 - m11. ( 1.8)

После повторения отсеивания этим способом (см. рис. 1.4) до k раз, h1k становится IMF, то есть

h1k = h1(k -1) – m1k , (1.9)

тогда, первая функция IMF (см. рис. 1.5) определяется как

c1 = h1k (1.10)

Здесь должно быть принято критическое решение остановки. Исторически использовались два различных критерия. Первый использовался Хуангом и др. (1998). Этот критерий остановки определяется при использовании критерия сходимости типа Коши. Критерий требует нормализованной квадратичной разности между двумя последовательными операциями отсеивания, определенными как

, (1.11)

и должен быть небольшим. Если эта квадратичная разность, SDk меньше, чем предопределенное значение, процесс отсеивания будет остановлен. Это определение кажется строгим, но очень трудно осуществимым на практике. Должны быть решены два критических вопроса: во-первых, необходим ответ на вопрос насколько небольшим должен быть SDk, но в тоже время быть достаточным. Во-вторых, этот критерий не зависит от определения IMFs. Квадратичная разность могла бы быть небольшой, но ничто не гарантирует, что функции будут, например, иметь те же числа нулевых пересечений и экстремумов. Эти недостатки подсказали Хуангу и др. (1999, 2003) предложить второй вариант, основанный на согласовании числа нулевых пересечений и экстремумов. Определенно, S-число предвыбирается. Процесс отсеивания остановится только после S последовательного времени, когда число нулевых пересечений и экстремумов сохраняется постоянным и равны, или отличаются не большее, чем на один. У второго варианта есть своя собственная затруднительность: как выбрать число S. Очевидно, любой выбор является специальным, и точное выравнивание необходимо.

На последнем этапе изучения этого не ограничивается временем отсеивания Хуанг и др. (2003) использовал различные способы выбора S - чисел, чтобы сформировать множество множеств IMF, из которых уверенно были получены средние значения множеств. Кроме того, через сравнения индивидуальных множеств со средним значением Хуанг и др. установили эмпирический ориентир. Для оптимальных отсеиваний диапазон S-чисел должен быть установлен между 4 и 8. Больше подробностей будет приведено позже.

Теперь предположите, что критерий остановки был выбран, и что первый IMF с1 был найден. В целом, с1 должен содержать самый мелкий масштаб или самый короткий компонент периода сигнала. Из этого следует, что с1 может быть выделенным от остальной части данных

r1 = x(t) – c1. (1.12)



Рис. 1.6. Исходные данные(синий цвет) и остаток r1.

Так как остаток r1 все еще содержит более длинные разновидности периода в данных, как показано в рис. 1.6, он обрабатывается, как новые данные, и подвергается такому же процессу отсеивания, как и предыдущий. Эта процедура может быть повторена со всем последовательным rj и дает результат

r2 = r1 – c1, r3 = r2 – c2, … и т.д. (1.13)

Процесс отсеивания может быть окончательно остановлен при любом из следующих предопределенных критериев: когда каждый компонент cn или остаток rn становятся настолько маленьким, что это - меньше чем предопределенная величина результата, или когда остаток rn становится монотонной функцией, из которой больше не может быть извлечено IMFs. Даже для данных с нулевым средним значением, конечный остаток все еще может отличаться от нуля. Если у данных есть тенденция, окончательный остаток должен быть той же тенденцией. При подведении итогов (1.12) и (1.13), мы наконец получаем следующее:

(1.14)

Таким образом, достигается разложение данных в n – эмпирическом приближении, а полученный остаток rn, может быть либо средним значением, либо постоянной величиной. Как обсуждено здесь, чтобы применить метод EMD, средняя или нулевая ссылка не требуется; метод EMD нуждается только в локализациях локальных экстремумов. Нулевая ссылка для каждого компонента будет сгенерирована с процессом отсеивания. Без потребности в нулевой ссылке, у EMD есть непредвиденный уход от неприятного шага удаления средних значений для большого числа членов в данных с ненулевым средним значением.

Компоненты EMD обычно физически значимы, поскольку характеристические масштабы определяются физическими данными. Чтобы понять эту точку, считайте распределение данных во времени, показанное на рис. 1.7, которые измеряют отклонение периода вращения от постоянного цикла 24 часа. Среднее значение и стандартное отклонение IMFs, приведенные на рис. 1.8, были получены после использования различного S-числа для отсеивания. Результаты отсеивания весьма устойчивы относительно выбора критериев остановки, как обозначено низкими значениями стандартного отклонения; таким образом, эти результаты IMF физически значимы. Первый компонент представляет очень короткий период возмущения, вызванного крупномасштабными возмущениями угловой скорости Земли; это возмущение могло быть измерено только после 1990-ых при использовании Глобальной спутниковой навигации.




Рис. 1.7. Распределение данных во времени.



Рис. 1.8. Верхний - средний IMF для девяти различных отсеиваний.

Нижний - стандартное отклонение IMF для девяти различных отсеиваний.



Рис. 1.9. Средний ежегодный цикл и его огибающая.

Каждый пик огибающей совпадает с явлением Эль-Ниньо.

Второй компонент представляет ежемесячные приливы, восьмой компонент - ежегодные периодические изменения. Фактически, график ежегодного изменения на рис. 1.9 показывает, что inter-armual изменения фактически совпадают с явлениями Эль-Ниньо. Во время явления Эль-Ниньо подогревается экваториальная вода в Тихом океане, и это нагревание передает большую энергию в атмосферу. Это в свою очередь, заставляет атмосферу быть более активной. Следующее увеличение момента количества движения заставляет угловую скорость Земли замедлиться. Это даже удивительно, величины стандартного отклонения различных отсеиваний были необычно большими в течение 1965 - 1970, и 1990 - 1995, периодов, идентифицированных NОАА как периоды аномалии для явлений Эль-Ниньо.

Этот пример установил физические значения компонентов IMF для любого действительного колебания. Даже более основательные, последние работы Flandrin et al. (2004), Flandrin и Goncalves (2004), Wu и Huang (2004) установили статистические значения компонентов IMF. Таким образом, теперь можно проверить данные IMF, содержат ли они существенную информацию или только искажения.

  1   2




Похожие:

Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconВведение в преобразование Гильберта-Хуанга
Норден E. Хуанг. Исследовательский центр адаптивного анализа данных. Национальный Центральный Университет
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconВ. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение
Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты...
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconПреобразование гильберта-хуанга для обнаружения повреждений в строениях пластин

Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconВнутренние модовые функции
Преобразование Гильберта-Хуанга и эмпирическая модовая декомпозиция сигналов
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconB-сплайн база эмпирического метода декомпозиции сигналов машинный перевод
Математические результаты на emd включают Эйлеровы сплайны, как встроенные функции режима, преобразование Гильберта b-сплайнов, и...
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconПреобразование гильберта-хуанга для обнаружения повреждений в строениях пластин
Гильберта-Huang, наряду с Лэмбовским распространением волны для тонких пластин. С использованием симметрий волны от разрывов методы...
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconТема 24. Преобразование гильберта-хуанга судьба новой истины такова: в начале своего существования она всегда кажется ересью
У стадию Хуанг уже прошел. Вытирать об него ноги математики прекратили и скопом ринулись обосновывать новый метод. А практикам понравилось:...
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconВ. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение
Гильбертов спектральный анализ (hsa) /1, 2, 3/. Hht в целом представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует...
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconЧастично редактированный машинный перевод
Обработка на базе bpnn для ликвидации концевых эффектов преобразования Гильберта-Хуанга
Введение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи iconДокументы
1. /dsp01-Введение в цифровую обработку сигналов.doc
2. /dsp02-Цифровые...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов