В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение icon

В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение



НазваниеВ. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение
Дата конвертации22.07.2012
Размер150.5 Kb.
ТипДокументы


Давыдов В.А., Давыдов А.В.

Очистка сигналов от шумов

при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга


Введение

Под преобразованием Гильберта-Хуанга (Hilbert-Huang transform, HHT) понимается совокупность эмпирического метода декомпозиции (EMD) нелинейных и нестационарных сигналов (процессов) и Гильбертов спектральный анализ (HSA) /1, 2, 3/. HHT в целом представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует априорного функционального базиса. Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания EMD.

Большинство естественных материальных процессов, реальных физических систем и соответствующих этим процессам и системам данных в той или иной мере являются нелинейными и нестационарными. Это относится и к естественным шумовым процессам, сопровождающим регистрацию какой-либо полезной информации, и к шумам самой измерительной аппаратуры, особенно высокочувствительной, и к шумам передачи данных по каналам связи.

Необходимое условие корректного представления нелинейных и нестационарных данных заключается в том, чтобы иметь возможность формирования адаптивного базиса разложения сигналов, функционально зависимого от содержания самих данных. Такой подход и реализуется в методе EMD, хотя на данный момент без соответствующих достаточно строгих математических обоснований.

^ Эмпирический метод декомпозиции (EMD)

Эмпирическая декомпозиция сигналов, предложенная Н.Хуангом, основана на предположении, что любые данные состоят из различных режимов ­(процессов) колебаний. В любой момент времени данные могут содержать различные сосуществующие режимы колебаний. Любой режим, линейный или нелинейный, стационарный или нестационарный, представляет простое колебание, которое имеет экстремумы и нулевые пересечения. Кроме того, колебание будет в определенной степени «симметрично» относительно локального среднего значения. Результат – конечные сложные данные.

Каждый из этих колебательных режимов может быть представлен «существенной функцией» (intrinsic mode function - IMF) со ­следующим определением:

  1. Число экстремумов и число нулевых пересечений функции должны быть равными или отличаться самое большее на 1.

  2. В любой точке функции среднее значение огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, должно быть нулевым.




Рис. 1.

IMF представляет собой колебательный режим, как часть простой гармонической функции, но вместо постоянной амплитуды и частоты, как в простой гармонике, у IMF могут быть переменная амплитуда и частота, как функции времени. Любую функцию и любой произвольный сигнал можно разделить на семейство функций IMF, придерживаясь изложенной ниже методики. Для наглядности методику реализации EMD рассмотрим на примере разложения цифрового массива сигнала y(k), представленного на рис.1. Сигнал смоделирован суммой трех нестационарных по амплитуде гармоник различной частоты на интервале отсчетов по k от 0 до 200, и продлен на начальном и конечном участках на интервалы tp=4 для задания начальных и конечных условий преобразования и устранения ошибок преобразования на концевых интервалах обрабатываемого массива данных.

Алгоритм эмпирической декомпозиции сигнала складывается из следующих операций его преобразования.




Рис. 2.
Операция 1. Идентифицируем по координатам и амплитудам все локальные экстремумы (максимумы и минимумы) сигнала (рис. 2). Группируем раздельно массивы векторов координат (номеров отсчетов) хmax(k) и соответствующих амплитудных значений уmax(k) максимумов, и аналогичные массивы векторов xmin(k) и ymin(k) минимумов всех выделенных экстремумов.




Рис. 3.
Операция 2. Кубическим (или каким либо другим) сплайном вычисляем верхнюю и нижнюю огибающие сигнала по выделенным максимумам и минимумам, как это показано на рис. 3 (красный и синий цвет соответственно). Определяем функцию средних значений m1(k) между огибающими (черный цвет) и находим первое приближение к первой функции IMF:

h1(k) = y(k) – m1(k). (1)

Операция 3. Повторяем операции 1 и 2, принимая вместо y(k) функцию h1(k), и находим второе приближение к первой функции IMF – функцию h2(k).

h2(k) = h1(k) – m2(k). (2)




Рис. 4.
Аналогично находим третье и последующие приближения к первой функции IMF. По мере увеличения количества итераций функция mi(k), равно как и функция hi(k), стремится к неизменяемой форме. С учетом этого, естественным критерием останова итераций является задание определенного предела по нормализованной квадратичной разности между двумя последовательными операциями приближения, определяемой как

 k |hi-1(k) - hi-1(k)|2 / k hi-1(k)2. (3)

Пример изменения значений  в процессе итераций приведен на рис. 4. При пороге  = 0.0001 количество итераций, как правило, не превышает 6-8 и обеспечивает точность обратной реконструкции сигнала не хуже 0.1% по относительной среднеквадратической погрешности. Останов итераций может производиться и заданием ограничения по максимальному количеству итераций (обычно в режиме "ИЛИ" с порогом по .




Рис. 5.
Последнее значение hi(k) итераций принимается за наиболее высокочастотную функцию с1(k) = hi(k) семейства IMF, которая непосредственно входит в состав исходного сигнала y(k). Это позволяет вычесть с1(k) из состава сигнала и оставить в нем более низкочастотные составляющие (показано на рис. 5):

r1(k) = y(k) – c1(k). (4)

Функция r1(k) обрабатывается как новые данные по аналогичной методике с нахождением второй функции IMF – c2(k), после чего процесс продолжается:

r2(k) = r1(k) – c2(k), и т.д. (5)

Таким образом, достигается декомпозиция сигнала в n – эмпирическом приближении:

x(k) = cj(k) + rn(k) (6)

Процесс декомпозиции сигнала может быть остановлен по следующим критериям:

  1. Компонент cj(k) или остаток rn(k) во всем интервале задания сигнала становятся несущественными по своим значениям или мощности по сравнению с сигналом.

  2. Остаток rn(k) становится монотонной функцией, из которой больше не может быть извлечено функций IMF.

  3. Так как в конечном итоге суммирование всех функций IMF (реконструкция сигнала) должно давать исходный сигнал, то можно останавливать разложение заданием относительной погрешности среднеквадратической реконструкции (без учета остатка rn(k)) .

  4. По мере увеличения количества функций IMF относительная среднеквадратическая погрешность реконструкции достаточно сложных и протяженных сигналов уменьшается, но, как правило, имеет определенный минимум. По-видимому, это определяется попытками алгоритма разложить остаток на функции, частично компенсирующие друг друга. Соответственно, останов программы может выполняться, если следующая выделенная функция IMF увеличивает погрешность реконструкции.

Даже для данных с нулевым средним значением конечный остаток может отличаться от нуля. Если у данных есть тренд, заключительный остаток должен быть линией тренда. Нулевая линия для каждого компонента декомпозиции формируется в процессе итераций. Компоненты EMD практических сигналов обычно физически значимы, поскольку ­характеристические параметры функций IMF определяются материальными данными.

На рис. 6 приведен пример полной декомпозиции сигнала с остановом по критерию 2. На верхнем графике рисунка приведен входной сигнал преобразования (красным) и сигнал обратной реконструкции суммированием функций разложения ci (c1-c5).




Рис. 6.
Таким образом, входной сигнал y(k) в соответствии с выражением (6) раскладывается по базису, который, к сожалению, не определен аналитически, но удовлетворяет всем традиционным требованиям базиса. На основании проверки на модельных и опытных данных он является: 1) законченным, 2) сходящимся, 3) ортогональным, 4) единственным. И, что самое главное – он является адаптивным, так как получен непосредственно из анализируемых данных эмпирическим методом.

К сожалению, эмпирический процесс разложения сигнала, в силу своей адаптивности, практически неуправляем, по крайней мере, в настоящее время. Даже монотональная составляющая сигнала при определенном влиянии дестабилизирующих факторов (шумов, импульсных помех и т.п.) может при разложении разделиться на две или три рядом расположенные функции IMF. Конечно, при суммировании этих функций такая монотональная составляющая будет выделена полностью, но это потребует от пользователя определенных априорных знаний о составе сигналов.

^ EMD шумовых сигналов

Шумы, сопровождающие полезную информацию в сигнале, в принципе, не относятся к типу колебательных в прямом смысле этого понятия. Но в то же время они полностью удовлетворяют приведенным выше определениям функций IMF. При распределении во всем частотном диапазоне входного сигнала и выполнении EMD, они в определенной степени распределяются по всем функциям IMF. Так как информация в главном частотном диапазоне дискретных сигналов обычно является низкочастотной, то шумы «отсеиваются», в основном, в высокочастотные функций IMF. Но в эти функции могут "просачиваться" и высокочастотные спектральные составляющие информационной части сигнала в зависимости от их положения в главном частотном диапазоне. Соответственно, на первый план выдвигается задача формирования определенных критериев отбора только шумовых функций IMF (для исключения их при последующей реконструкции сигнала) и влияния на этот отбор как статистических и спектральных характеристик самих шумов, так и спектрального состава полезной информации в сигнале.

Для начала рассмотрим характер EMD собственно шумового сигнала – «белого шума». Белый шум является стационарным случайным процессом q(t), автокорреляционная функция которого описывается дельта - функцией Дирака и, соответственно, спектральная плотность мощности шумов не зависит от частоты и имеет постоянное значение Wq(f) = 2, равное дисперсии значений q(t). По существу, это идеализированный случайный процесс с бесконечной энергией. Но в случае постоянства спектральной плотности мощности случайного процесса в конечном диапазоне частот это существенно упрощает анализ сигналов. Многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях техники рассматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов много меньше эффективной ширины спектра шумов и спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала.




Рис. 7. Гистограмма шумов
Понятие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса, а, следовательно, под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения. На рис. 7. Приведена гистограмма единичной реализации модельного «белого шума» y(k) в системе Mathcad (5000 отсчетов) с равномерным распределением отсчетов от -0.55 до +0.55 и дисперсией 0.1. Спектральную плотность мощности модельной реализации шума можно посмотреть на рис. 11.



Рис. 8.




Рис. 9.
На рис. 8 приведен результат EMD модели y(k) шума на первых 750 отсчетах. Шумовой сигнал данной реализации был разложен на 12 функций IMF, первые девять из которых приведены на рисунке (4 последних функции в увеличенном масштабе). Останов процесса декомпозиции выполнен по минимуму погрешности реконструкции без учета остатка, процесс снижения погрешности при увеличении количества функций IMF приведен на рис. 9. Количество функций IMF в различных реализациях случайного сигнала изменяется от 8 до 14. Останов итераций при вычислении каждой функции IMF был установлен по относительному расхождению между последовательными итерациями с порогом 0.01%, при этом количество итераций для первых функций IFM достигает 30 и, как правило, постепенно снижается. Погрешность реконструкции с учетом остатка практически равна нулю. Вычислением скалярного произведения любых двух функций IMF можно убедиться в их взаимной ортогональности.

На рис. 10-А приведены гистограммы первых четырех IMF в сопоставлении с гистограммой входного сигнала y(k). Как следует из этих графиков, EMD существенно изменяет плотности распределения выходных функций. Распределение первой IMF становится двумодальным с прогибом вниз на малых (близких к нулевым) амплитудах. Это объясняется тем, что для рядом расположенных однополярных импульсов при EMD выделяются экстремумы импульсов большей амплитуды, которые и отсеиваются в первую функцию IMF. При вычитании этой функции из входного сигнала распределение оставшейся части шумов становится близким к гауссовому с нулевым средним значением и резким сокращением рядом расположенных однополярных импульсов. На отборе всех последующих IMF этот фактор уже не сказывается, и они имеют распределение, близкое к гауссовому, а рядом расположенные однополярные импульсы воспринимаются, как более низкочастотные составляющие шума. Статистика последовательной реконструкции шумового сигнала частично показана на рис. 10-В.



Рис. 10.

Проверка процесса EMD на шумовых сигналах с другими законами распределения (Гаусса, Пуассона и пр.) показала, что качественный характер процесса остается практически неизменным.

На рис. 11 приведены спектры плотности мощности сигнала y(k) и первых семи функций IMF в главном частотном диапазоне сигнала 0- (5000 отсчетов шума с k = 1, отсчеты по спектру 0-2500 с шагом  = /2500).



Рис. 11.

По рис. 11 видно, что процесс EMD обладает вполне определенной частотной избирательностью на каждом уровне EMD. Но говорить о каких-либо частотных передаточных функциях EMD, по-видимому, будет некорректным, так как любая частотная составляющая i исходного сигнала в процессе EMD может быть расщеплена по амплитуде и фазе на составляющие разных уровней функций IMF. Это можно видеть на рис. 12, где приведены графики модулей «эквивалентных» частотных передаточных характеристик разложения для первых пяти функций IFM, полученные осреднением отношения спектров функций к спектру исходного сигнала. Для получения достаточно гладких «эквивалентных» передаточных функций входной белый шум реализовался массивом из 30000 отсчетов, а сглаживание отношения спектров выполнялось в скользящем временном окне 2000 отсчетов.



Рис. 12.

На рис. 13 приведены графики последовательного суммирования коэффициентов «эквивалентных» передаточных функций, которые показывают процесс последовательного перекрытия всего частотного диапазона входного сигнала.



Рис. 13.

Обратным преобразованием Фурье по спектрам мощности могут быть вычислены нормированные автокорреляционные функции семейства IMF, первые 5 из которых приведены на рис. 14. Как следует из графиков, статистическая независимость отсчетов в какой-то мере сохраняется только для первой IMF. Но даже в ней появляется отрицательная (знакопеременная) корреляция между последовательными отсчетами. Во всех остальных функциях четко прослеживается появление затухающей косинусоидальной зависимости между отсчетами с последовательным увеличением интервала корреляции по мере увеличения номера IMF.



Рис. 14.

^ Очистка сигналов от шумов

Судя по «эффективным» передаточным функциям IFM, метод EMD в операции очистки сигналов от шумов существенно уступает прямой полосовой и вейвлетной фильтрации, если граничная полоса частот полезной информации известна.

Исследования на математических моделях показали, что полезная информация в зашумленном сигнале полностью уходит из первой функции IFM, если его максимальные частотные составляющие не превышают 0.16 частоты Найквиста, из первых двух функций IMF при частотах не более 0.08 частоты Найквиста, из первых трех функций IMF при частотах не более 0.04 частоты Найквиста, и т.д. При этом реконструкция сигнала с исключением шумовых IMF обеспечивает уменьшение дисперсии шумов в 2.5-3.5 раза при исключении первой IMF, в 5-6 раз при исключении двух первых IMF, в 8-11 раз при исключении трех первых шумовых IMF, и т.д., в зависимости от конкретной реализации шума и типа плотности распределения шумов. Следовательно, при регистрации данных для последующего анализа с применением EMD необходимо обеспечит, как минимум, десятикратный запас по интервалу дискретизации данных (двадцать отсчетов на периоде самой высокочастотной составляющей сигнала).

Попутно заметим, что при четкой локализации сигнала в каких-либо функциях IMF наряду с высокочастотными шумовыми IMF из реконструкции могут исключаться и последующие низкочастотные шумовые IMF, и остаточный тренд (аналогия полосовой фильтрации).

На рис. 15 приведен пример декомпозиции модельной суммы синусоидальных колебаний на составляющие, где шумы входного сигнала четко отделились в первую и вторую функцию IFM. Реконструкция сигнала из С36 составляющих восстанавливает модельный сигнал (без шумов) с относительной среднеквадратической погрешностью не более 1%. Обратим внимание на задание начальных условий декомпозиции (интервалы 0 - tp и K-tp – K). Для исключения искажений функций IFM на концевых интервалах значение интервала tp рекомендуется задавать не менее 1-2 периодов самых низкочастотных колебаний, а сигнал на этих интервалах формировать какой-либо функцией прогнозирования (например, в Mathcad функция – predict).



Рис. 15.

Отношение мощности шумов к мощности сигнала существенно влияет на результаты декомпозиции. Как правило, увеличение мощности шумов вызывает «дробление» и искажение монотональных функций IFM, т.к. низкочастотные составляющие шума нарушают процесс отсеивания EMD и при достаточно большой мощности шумов, соизмеримой с мощностью полезной сигнальной информации, на отдельных временных интервалах «вытесняют» из соответствующих масштабных функций IFM главные частоты на IFM более низкого уровня. Для исключения этого явления можно рекомендовать предварительную очистку сигнала от шумов типовыми методами.

Для четкого выделения шумов в первые функции IFM и расширения использования рабочего частотного диапазона полезной информации в главном частотном интервале сигнала требуется введение определенной степени управления в процесс EMD, что может быть выполнено внешним заданием первой функции средних значений m1(k), например, путем сглаживания сигнала какой-либо весовой функцией в скользящем временном окне, или непосредственным заданием функции h1(k) c использованием быстрого преобразования Фурье БПФ (y(k) → Y(f) → Вырезка спектра шума H1(f) → h1(k)).



Рис. 16.

На рис. 16 приведен пример формы зашумленного импульса ЛЧМ (линейная частотная модуляция) и модуль его спектра в главном частотном диапазоне. Информативная часть импульса занимает практически половину частотного диапазона. Стандартное EMD сигнала приведено на рис. 17 и довольно сильно искажено шумами на высокочастотных уровнях IFM.



Рис. 17.

На рис. 18 приведена декомпозиция того же сигнала, выполненная с вычислением начального значения h1(k) через БПФ (обратное БПФ интервала H1()). При этом шумы отделяются в первую функцию IFM, а форма других функций существенно нормализуется.



Рис. 18.

При достаточно уверенном разделении спектральных составляющих сложного сигнала аналогичная операция формирования функций h1(k) может применяться и на других уровнях декомпозиции сигнала, что дает возможность создавать алгоритмы в определенной степени управляемой EMD. Последнее становится особенно необходимым, если анализируются семейства сигналов, в которых изучается изменение какого-либо одного процесса из совокупности процессов IFM от влияния (изменения) каких-либо параметров или дестабилизирующих факторов, и, соответственно, «просачивание» в этот процесс данных из других процессов, а равно и «утечка» информации из изучаемого процесса в соседние функции IFM, являются весьма нежелательными. Пример такой управляемой декомпозиции в сопоставлении со стандартной приведен на рис. 19.



Рис. 19.


Литература.

  1. The Hilbert-Huang transform and its applications / editors, Norden E. Huang, Samuel S.P. Shen. - World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 5 Toh Tuck Link, Singapore 596224

  2. Huang, N. E., Z. Shen, S. R. Long, M. C. Wu, H. H. Shih, Q. Zheng, N.-C. Yen, С. C. Tung, and H. H. Liu, 1998: The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proc. R. Soc. London, Ser. A, 454, 903-995.

  3. An Introduction to Hilbert-Huang Transform: A Plea for Adaptive Data Analysis. Norden E. Huang. Research Center for Adaptive Data Analysis. National Central University.



10.07.09.




Похожие:

В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВейвлетные преобразования сигналов
Удаление шума и сжатие одномерных и двумерных сигналов. Параметры удаления шумов и сжатия сигналов. Изменение вейвлет-коэффициентов....
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВ. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов методом эмпирической модовой декомпозиции в диалоговом режиме Введение
...
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconУменьшение краевых эффектов при выполнении эмпирической модовой декомпозиции сигналов преобразования Гильберта-Хуанга
Предлагается уменьшать искажения методом краевой коррекции огибающих при вычислении модовых функций. Это позволяет стандартизовать...
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВ. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение
Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты...
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВадим Анатольевич Давыдов
Под преобразованием Гильберта-Хуанга понимается эмпирическая модовая декомпозиция (emd) сигналов и Гильбертов спектральный анализ...
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВадим Анатольевич Давыдов
На примерах обработки геофизических данных показано, что модовая декомпозиция сигналов обеспечивает устойчивую адаптивную очистку...
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВнутренние модовые функции
Преобразование Гильберта-Хуанга и эмпирическая модовая декомпозиция сигналов
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconЧастично редактированный машинный перевод
Обработка на базе bpnn для ликвидации концевых эффектов преобразования Гильберта-Хуанга
В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВведение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи

В. А., Давыдов А. В. Очистка сигналов от шумов при выполнении преобразования Гильберта-Хуанга Введение iconВведение в преобразование Гильберта-Хуанга
Норден E. Хуанг. Исследовательский центр адаптивного анализа данных. Национальный Центральный Университет
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов