Вадим Анатольевич Давыдов icon

Вадим Анатольевич Давыдов



НазваниеВадим Анатольевич Давыдов
Дата конвертации22.07.2012
Размер195.23 Kb.
ТипДокументы


Вадим Анатольевич Давыдов, davydov@mizarpro.com

Анатолий Васильевич Давыдов, davpro@yandex.ru


Управление эмпирической модовой декомпозицией сигналов

при анализе и обработке геофизических данных

Введение

Большинство естественных процессов являются нелинейными и нестационарными. Для обработки и анализа таких процессов необходимо иметь возможность формирования базиса преобразований, функционально зависимого от содержания данных. Такой подход реализуется в методе HHT (Hilbert-Huang transform). Под преобразованием Гильберта-Хуанга понимается эмпирическая модовая декомпозиция (EMD) сигналов и Гильбертов спектральный анализ (HSA). Метод был предложен Норденом Хуангом в 1995 с обобщением на анализ произвольных числовых рядов коллективом соавторов в 1998 г. /1,2/.

Однако адаптивность формирования базиса для ряда задач анализа создает определенные трудности. В работе рассматриваются возможности управления процессом эмпирической модовой декомпозиции при анализе геофизических данных. Для управления процессом декомпозиции используется оперативная информация по спектральному составу сигналов и внутренних модовых функций преобразования.

^ 1. Эмпирическая модовая декомпозиция (EMD)

Mетод EMD основан на предположении, что любые данные состоят из различных колебательных процессов, которые в определенной степени «симметричны» относительно локального среднего значения, а, следовательно, имеет экстремумы и нулевые пересечения. Такие процессы могут быть представлены функциями внутренних мод (intrinsic mode function - IMF) со ­следующим определением: 1) число экстремумов функций должно быть равно числу нулевых пересечений с точностью до единицы; 2) в любой точке функций среднее значение огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, должно быть нулевым. IMF представляют собой взаимно ортогональные колебательные процессы с переменными амплитудами и частотами, как функциями времени. Любой произвольный сигнал можно разделить на конечное сходящееся семейство функций внутренних мод.

Алгоритм EMD сигнала складывается из следующих операций.

^ 1. Фиксируются все локальные экстремумы сигнала y(k).

2. Вычисляются верхняя и нижняя огибающие экстремумов и определяется функция средних значений m1(k) между огибающими, как первое приближение к функции IMF:

h1(k) = y(k) - m1(k). (1.1)

3.
Операции 1 и 2 повторяются над функцией h1(k) и находится второе приближение к IMF:

h2(k) = h1 – m2(k). (1.2)

Аналогично находятся третье и последующие приближения к первой функции моды IMF. По мере увеличения количества m итераций функция hm(k), стремится к неизменяемой форме. Останов процесса задается по минимуму нормализованной квадратичной разности между двумя последовательными итерациями или по количеству итераций (порядка 6-8). Последнее значение hm(k) итераций принимается за первую, самую высокочастотную функцию моды с1(k) = hm(k) семейства IMF. Если вычесть с1(k) из состава сигнала, то в нем останутся низкочастотные составляющие:

r1(k) = y(k) – c1(k). (1.3)

Функция r1(k) обрабатывается аналогично с нахождением второй модовой функции IMF – c2(k) и остатка r2(k), после чего процесс продолжается. Остановка декомпозиции сигнала производится при максимальном «выпрямлении» остатка, т.е. превращения его в тренд сигнала по интервалу задания с числом экстремумов (минимумов и максимумов) не более 3. Тем самым достигается декомпозиция сигнала в n – модовом эмпирическом приближении в сумме с остатком rn+1(k):

 y(k) = cn(k) + rn+1(k). (1.4)

В соответствии с выражением (1.4) сигнал y(k) раскладывается по адаптивному базису, полученному из анализируемых данных. Компоненты EMD практических данных обычно физически значимы и отображают различные физические процессы, сформировавшие сигнал. Базис разложения не определен аналитически, но удовлетворяет всем требованиям базиса. На основании проверки на модельных и опытных данных он является: законченным и сходящимся (сумма всех функций IMF и остатка равна исходному сигналу и не зависит от критериев останова итераций); ортогональным (все IMF и остаток ортогональны друг другу).

Эмпирический процесс разложения сигнала в силу своей адаптивности неуправляем, по крайней мере, в настоящей форме. Даже монотональная локальная составляющая сигнала при определенном влиянии дестабилизирующих факторов (шумов, импульсных помех и т.п.) может при декомпозиции разделиться на две или три последовательные функции IMF. Конечно, при суммировании этих функций такая локальная составляющая может быть выделена, но это потребует от пользователя определенных априорных знаний о составе сигналов. Было бы желательно, чтобы априорные данные о составе сигнала, а равно и другие дополнительные данные о сигнале, полученные до начала или в процессе выполнения EMD, использовались для управления процессом формирования базиса разложения с целью направленного выделения таких локальных составляющих.

Задачу создания управляемой (operated) эмпирической модовой декомпозиции (OEMD) разделим на две части: 1) oчистка сигналов от статистических шумов и флюктуаций; 2) распределение локальных колебательных процессов по уровням IMF.

Разделение вызвано тем, что результаты практически всех методов геофизических исследований природных сред отличаются большими уровнями естественных шумов и статистических флюктуаций измеряемых величин. Очистка от шумов и сглаживание (регуляризация) данных относится к типовой задаче первичной обработки и подготовки данных к интерпретации.

Что касается второй задачи, то она является естественным продолжением первой задачи применительно к методам активной геофизики (сейсмические, акустические, электромагнитные и т.п.), имеющими дело с сигналами определенной периодичности. Для решения этой задачи необходимо разработать метод управления процессом EMD, позволяющий целенаправленно изменять формирование IMF на всех уровнях разложения таким образом, чтобы получать адекватное представление о процессах в анализируемых данных.

^ 2. Частотное управление эмпирической модовой декомпозицией сигналов

Зададим (рис. 2.1 - А) математическую модель зашумленного сигнала fn с локальными нестационарными сигналами f1n – f4n, которые в сумме образуют полезную информацию f0n. Мощность шумов соизмерима с мощностью локальных сигналов.



Рис. 2.1.

Локальные сигналы представляет собой радиоимпульсы с несущими частотами -, два первых из которых амплитудно-модулированы. Белый шум постоянной мощности распределен по всему частотному диапазону сигнала. Модуль спектра сигнала fn приведен на рис. 2.2. Для перевода функций в частотную область используется быстрое преобразование Фурье (БПФ).




Рис. 2.2.
В принципе, когда сигнал не зашумлен и в спектре сигнала хорошо выделяются все частотные составляющие, нет необходимости в применении EMD, разделение сигналов может быть выполнено полосовыми фильтрами. Однако при наличии шумов в спектре сигнала можно уверенно идентифицировать только главные несущие частоты, а все нестационарности сигнала и боковые модуляционные частоты маскируются шумом.

На результаты EMD также влияет отношение мощности шумов к мощности сигнала. Шум вызывает «дробление» и искажение даже монотональных функций IMF, т.к. нарушает процесс отсеивания EMD и на отдельных временных интервалах «вытесняет» из соответствующих масштабных функций IMF главные частоты на соседние IMF, о чем свидетельствует EMD сигнала fn на рис. 2.1 - B.

Разделение сигналов в различные IMF можно выполнить с использованием оперативной информации о спектре сигнала и спектрах выделяемых IMF.

С учетом следования уровней IMF от высоких частот к низким, на первый уровень в IMF-1 отделяются высокочастотные шумы сигнала за пределами высоких частот полезной информации, что будет подробно рассмотрено ниже. На второй уровень в IMF-2 в принятой нами модели сигнала необходимо отделить сигнал f1. Для этого низкочастотным фильтром с граничной частотой среза c2 ниже частот радиоимпульса f1 (рис. 2.2) отфильтруем все частоты сигнала в интервале 0-c2 и используем результат в качестве начальной функции m1(k) в уравнении (1.1). Аналогично, на следующий уровень IMF может быть отсеян радиоимпульс f2, и т.д.

На модельном сигнале оценку качества разделения сигналов можно проводить вычислением коэффициента взаимной корреляции () между информационными функциями и их IMF-образами или угла расхождения векторов (vectors divergence angle - VDA)  = argcos  этих функций. Наиболее удобным для сравнения различных вариантов можно считать параметр VDA, который имеет линейный характер изменения своих значений от 0о при полном совпадении функций до 90о при их полной ортогональности (нулевой корреляции).

В этом и заключается сущность частотного управления процессом EMD (метод OEMD), эффективность которого исследуем ниже.

^ 3. Очистка периодических сигналов от шумов и флюктуаций




Рис. 3.1.
Шумы не относятся к типу колебательных в прямом смысле этого понятия, но удовлетворяют определениям функций IMF. При распределении спектра шумов по всему частотному диапазону сигнала частотные составляющие шумов распределяются по всем функциям IMF. Пример отсева шумового сигнала по уровням IMF в главном частотном диапазоне приведен на рис. 3.1.

Если в спектре сигнала хорошо выражена или априорно известна самая высокая частота max информационной составляющей, то прямой способ очистки сигнала – вырезание высокочастотных шумов из спектра сигнала от этой границы (c1 модели сигнала, рис. 2.2) до частоты Найквиста N с переводом во временную область в качестве первой функции IMF-1. При использовании для очистки OEMD, с учетом частоты сигнала f1 и частотной избирательности EMD (рис. 3.1) для той же операции требуется 4-х кратный последовательный отсев шумов с суммированием результатов отсева в одну функцию IMF-1.




Рис. 3.2.
Для сравнительной оценки качества очистки модельного сигнала от шумов при известных частотных границах локального сигнала f1 (включая модуляционные частоты) выполним выделение сигнала в интервале c2-c1 полосовой фильтрацией (ПФ) и методом OEMD (в IMF-2) и вычислим параметр VDA между выделенными сигналами и функцией f1. Результаты операции приведены на рис. 3.2. Качество очистки от шумов обоих методов практически одинаково.

Но амплитудные, частотные или фазовые изменения информационных частот эквивалентны их модуляции и появлению у главных пиков несущих частот боковых частот, которые могут не выделяться на спектре, а их отсечка приведет к частичной потере информации.

Рассмотрим еще один параметр, непосредственно влияющий на процесс OEMD – ширину переходной зоны (ПЗ) фильтра tb.

Применительно к ВЧ-фильтрам для выделения шумов ширина ПЗ является отрицательным фактором. При расширении значения ПЗ влево от c1 на рис. 2.2 в отсекаемые шумы начинают попадать и исключаться из анализа модуляционные частоты сигнала f1. При использовании OEMD характер влияния ПЗ изменяется на прямо противоположный. При расширении ПЗ вправо от c1 часть шумов из зоны ПЗ начинает оставаться в интервале сигнала f1 и параметр VDA начинает увеличиваться, но все модуляционные частоты в сигнале f1 сохраняются. Этот фактор начинает играть положительную роль, если ширина боковой полосы сигнала f1 априорно неизвестна и при установке границы c1 НЧ-фильтра может быть допущена ошибка.




Рис. 3.3.
На рис. 3.3 приведены зависимости параметра VDA для модельного сигнала f1 от ширины переходной зоны НЧ-фильтра (по уровням 0.9-0.1) при разных установках границы среза фильтра в интервале от c1 – верхней границы модуляционных частот, до f1 – несущей частоты сигнала f1.

При установке границы среза НЧ-фильтра OEMD в пределах модуляционных частот выделяемого сигнала при ширине ПЗ, много меньшей ширины боковой полосы модуляционных частот, параметр VDA за счет потери части модуляционных частот возрастает по отношению к минимально возможному (при границе по c1). Но при увеличении ширины ПЗ параметр VDA начинает уменьшаться (уменьшаются потери боковых частот) и достигает определенного минимума (при полном включении боковых частот в состав выделяемого сигнала), близкого к абсолютному минимуму, после чего начинает снова увеличиваться за счет включения в состав сигнала все большей доли шумовых частот. Для полного включения всех боковых частот в состав выделяемого сигнала значение ПЗ должно быть таким, чтобы коэффициент передачи НЧ-фильтра на границе боковых частот был не ниже 0.707 (ширина ПЗ по уровням 0.9-0.1 порядка двух значений ширины верхних боковых частот сигнала, c1-f1). Широкие зоны минимумов VDA по зависимости от ширины переходных зон делают процесс OEMD устойчивым к ошибкам установки границ и ширины переходных зон.

Отсюда следует простая логика установки НЧ-фильтров OEMD для очистки от шумов. Граница среза фильтра устанавливается непосредственно после пика максимальной частоты очищаемого от шумов сигнала, который обычно хорошо фиксируется по спектру сигнала или известен по априорным данным. Ширина переходной зоны устанавливается по априорным данным или по ожидаемым амплитудно-частотным нестационарностям сигнала.




Рис. 3.4.
На рис. 3.4 приводятся модули спектров 4-х последовательно отсеянных OEMD функций IMF-1 (c1=0.65 rad, ПЗ 0.075 rad, функции IMF-1c и 1d в увеличенном масштабе), а также спектр суммы этих функций в сопоставлении со спектром сигнала в области сигнала f1. Можно видеть, что в функциях IMF появляются низкочастотные составляющие в интервале 0-c1. Эти составляющие не отображают каких-либо шумовых частот в сигнале, а формируются интерференцией выделенных высокочастотных шумов. Это позволяет обнулить значения спектров в интервале 0-c1, что дает дополнительное уменьшение VDA между IMF-2 и f1 на (3-5)%.

При очистке от шумов OEMD имеет возможность раздельной установки частоты срезов и ширины переходных зон при отборе функций в IMF-1, что позволяет повысить управляемость процессом очистки сигналов (в режиме контроля за спектрами IMF-1).

^ 4. Выделение локальных частотных составляющих информации

Аналогичная методика установки границ срезов НЧ-фильтров и ширины переходных зон OEMD может применяться при последовательном выделении локальных частотных групп по всему частотному диапазону сигнала. Результат OEMD тестового сигнала приведен на рис. 4.1.



Рис. 4.1.

Эффект использования OEMD наглядно виден при сравнении рис. 4.1 и 2.1 - B. Отметим некоторые особенности выполнения декомпозиции сигналов.

При выделении модулированных или нестационарных сигналов (f1 и f2) границы НЧ-фильтров целесообразно устанавливать за пределами боковых полос сигналов с малой шириной переходной зоны (c3 и c2). Если ширина боковых полос неизвестна, то можно отодвигать в область более низких частот левые границы выделения соответствующих сигналов (c3 для f2, c2 для f1) с расширением переходной зоны вплоть до несущей частоты сигнала.

Если в спектре сигнала встречаются достаточно протяженные «пустые» зоны (как например, интервал между сигналами f3 и f2), то эти интервалы целесообразно отсеивать в отдельные IMF или выделять и суммировать с шумовым IMF-1. В противном случае они войдут в состав последующего выделяемого сигнала (f3).

При выделении однотональных сигналов в спектрах IMF кроме главного пика сигнала отмечаются «хвосты» - низкочастотные шумы сигнала из межчастотных интервалов (например, для IMF-5 это шумы из интервала f4-f3). «Хвосты» шумов однотональных IMF всегда односторонние, в сторону высоких частот, что позволяет идентифицировать их на спектрах IMF и отсекать с переводом a шумовую IMF-1.



Рис. 4.2.

На рис. 4.2 приведено частотно-временное распределение мгновенных частот преобразования (спектр Гильберта-Хуанга).

^ 5. Очистка от шумов произвольных непериодических сигналов

Рассмотрим применение OEMD для очистки от шумов произвольных сигналов, представленных числовыми рядами в линейном варианте y(x) = f(x, p), где х – координата среды, р –физический параметр среды. В методах регистрации отклика среды при воздействии на нее периодическими излучателями (электромагнитные, акустические и т.п.) под f(x, p) понимается какой-либо физический параметр, выделенный обработкой из этого отклика.

Полезная информация в таких числовых рядах определяется геологическим строением среды и является преимущественно низкочастотной. Шумовой сигнал, как правило, нелинейный и нестационарный, а мощность шумов может быть соизмеримой с мощностью сигнала. В этих условиях задачей первичной обработки данных обычно является сглаживание шумов без ухудшения линейной разрешающей способности интерпретации данных. Задание математической модели сигнала под поставленные условия проблематично, и поэтому исследование выполним на реальных каротажных диаграммах.

Стандартный линейный интервал дискретизации при цифровой регистрации данных в скважинной геофизике составляет 10 см, при этом ожидаемая полезная информация занимает не более 10% главного частотного диапазона измерений. Этот диапазон может быть и много меньше, если геологический разрез по скважине представлен более или менее однородными интервалами с гораздо большей мощностью. Но в любом случае следует ожидать, что очистка от шумов потребует проведения трехкратного отсева шумов, т.е. формирование IMF-1 = IMF1a + IMF1b + IMF1c.




Рис. 5.1.
На рис. 5.2 (красным) приведен пример диаграммы нейтронного каротажа. Спектр сигнала приведен на рис. 5.1. Для установки границы шумов использована априорная информация о минимальной мощности однородных интервалов скважин порядка 0.7-1 м, что согласуется с визуальным контролем примерно однородной мощности шумов на спектре сигнала с порога порядка 0.2 рад.

Задаем границы трех фильтров Н1-Н3 при c1 > c2 > c3 с шагом между границами срезов c = 0.02 рад (порядка (5-10)% ожидаемой ширины спектра информационной части сигнала). Ширина переходных зон фильтров установлена равной 3c для Н1, 4c для Н2 и 5c для Н3, при этом граница подавления высокочастотных составляющих для всех трех фильтров примерно одна и та же. Очищенный сигнал и выделенные шумы, приведены на рис. 5.2 - A.



Рис. 5.2.




Рис. 5.3.
На спектре сигнала (рис. 5.1) отмечается также группа низких частот в интервале 0-0.04 рад. На рис. 5.2 - B приведен результат очистки сигнала от шумов при сдвиге порогов всех фильтров на 0.15 рад влево. Естественно, что при этом увеличилась степень сглаживания сигнала и уменьшилась линейная разрешающая способность. Но какой именно из очищенных сигналов принять для дальнейшей обработки и интерпретации, можно решить только на этапе сопоставления с другими геофизическими и геологическими данными по этому интервалу скважины.

На рис. 5.4 (красным) приведен еще один пример – центрированная для обработки диаграмма резистивиметрии (Mud Resistivity). Информационный сигнал резистивиметров обычно является еще более низкочастотным (рис. 5.3) и занимает не более 3-5% главного диапазона. Использован трехкратный отсев шумов с равными частотами срезов и переходных зон фильтров. Очищенные от шумов диаграммы с порогами отсева с = 0.066 и 0.1 рад приведены на рис 5.4. Параллельно очистка сигнала проводилась частотным НЧ-фильтром с теми же границами среза c.



Рис. 5.4.

Как можно видеть по графикам на рис. 5.2 и 5.4, метод OEMD обеспечивает более высокую разрешающую способность очищенного сигнала, причем устойчивость очистки, в отличие от частотной фильтрации, сохраняется при достаточно большом изменении порога отсева шумов и вариациях переходных зон. Это определяется тем, что при отборе шумов процесс OEMD, протекающий в координатном пространстве, в большей степени учитывает динамику локальных неоднородностей распределения отсчетов (локальную статистику отсчетов).

Визуальные и априорные методы установки границ отсева шумов в определенной степени являются субъективными. Возможность установки границ фильтров OEMD на основе объективных оценок спектра сигнала рассмотрим на реальном типовом сигнале - каротажной диаграмме ПС (Spontaneous Potential) f(k), k = 0 … K, k = 10 см, приведенной на рис. 5.7 (красный цвет).




Рис. 5.5.
Как видно на графике спектра ПС в низкочастотной части (рис. 5.5), какого-либо визуального критерия установки частоты среза c фильтра OEMD в данном случае не имеется. Оценку регулярности и значимости информации, выделяемой фильтром, можно выполнить по углу расхождения векторов (VDA) отфильтрованной информации и исходного сигнала f(k) методом «Последовательного Расширения окна Фильтра» (ПРФ).

Просканируем значимую часть спектра сигнала НЧ-фильтром с последовательным сдвигом границы среза с интервалом  (min= 2/(K+1)), начиная с первого отсчета спектра. VDA выделенной части спектра вычисляем с полным спектром сигнала, или (для повышения чувствительности) со спектром сигнала с обнуленной высокочастотной шумовой частью. Полученный график углов расхождения приведен на рис. 5.5.




Рис. 5.6.
Интегральный характер вычисления VDA снижает влияние статистических шумов на результаты вычислений. Угол  максимален при c= и уменьшается по мере увеличения c (в пределе стремится к 0). В силу неравномерности спектра это уменьшение также неравномерно и замедляется после пересечения срезом фильтра наиболее значимых гармоник спектра. Положение замедлений может быть зафиксировано по локальным минимумам производной изменения VDA.

На рис. 5.6 приведен график оценки производной ПРФ VDA. После прохождения границей среза фильтра всех регулярных гармоник информационной части сигнала градиент уменьшения углов расхождения стремится к постоянному статистически флюктуирующему значению и кривая оценки производной выполаживается.



Рис. 5.7.

По графику на рис. 5.6 могут быть отмечены 2 возможно оптимальных границы низкочастотной фильтрации c=0.085 и 0.157рад, и одна граница с явной утратой части полезной низкочастотной информации. Общий характер степени сглаживания диаграммы с выделенными границами НЧ-фильтрации приведен на рис. 5.7.




Рис. 5.8.
Таким образом, метод OEMD позволяет производить гибкую настройку очистки сигналов от шумов с визуальным контролем результатов очистки. С учетом малой критичности OEMD к границам среза фильтров относительно информационной части сигнала, для установки среза фильтров c требуется минимум априорной информации.

Частотный диапазон информационной части каротажных диаграмм на изучаемых интервалах скважин определяется геологическим разрезом и практически одинаков для всех методов каротажных исследований. Это позволяет оптимальные параметры фильтров OEMD устанавливать по методу с наиболее характерным графиком ПРФ и применять эти параметры для обработки других методов каротажа по данному интервалу скважины, а также других скважин с аналогичным геологическим строением. Пример графиков ПРФ по диаграммам ГК, КС, ПС и БКЗ одного интервала скважины приведен на рис. 5.8,



Рис. 5.9.

На рис. 5.9 приведены результаты очистки от шумов этого каротажного комплекса с параметрами фильтрации, установленными по диаграмме ГК.

Все вычисления OEMD выполнены программой, разработанной в среде Mathcad [3]. С дополнительными материалами по преобразованию Гильберта-Хуанга и эмпирической модовой декомпозицией сигналов можно познакомиться в работах [4].

Заключение

Изложенная методика свободна как от физической сущности обрабатываемых данных, так и статистики распределения шумовых сигналов и дестабилизирующих флюктуаций, и может эффективно использоваться для очистки от шумов геофизических данных практически всех геофизических методов и детального инструментального анализа информации в активных методах геофизики.

Литература.

1. The Hilbert-Huang transform and its applications / editors, Norden E. Huang, Samuel S.P. Shen. - World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 5 Toh Tuck Link, Singapore 596224 (2005).

2. Norden Huang et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proceedings of the Royal Society of London. A 454, 903–995 (1998).

3. ^ Давыдов В.А., Давыдов А.В. Эмпирическая модовая декомпозиция сигналов с управлением по частотам разложения. http://www.prodav.narod.ru/program/operhht.htm, http://prodav.exponenta.ru/program/operhht.htm

4. Преобразование Гильберта-Хуанга для анализа нелинейных и нестационарных сигналов. http://www.prodav.narod.ru/hht/index.html, http://prodav.exponenta.ru/hht/index.html

Давыдов В.А.

Давыдов А.В.

10.03.10.




Похожие:

Вадим Анатольевич Давыдов iconВадим Анатольевич Давыдов
На примерах обработки геофизических данных показано, что модовая декомпозиция сигналов обеспечивает устойчивую адаптивную очистку...
Вадим Анатольевич Давыдов iconВадим Александрович Чернобров, Александр Борисович Петухов, Иван Анатольевич Соболев
Удивительное и таинственное бывает и величественно притягательным, и смертельно опасным…
Вадим Анатольевич Давыдов icon Давыдов А. В., Давыдов В. А
В слабо сцементированных горных породах при интенсивном разрушении керна и стенок скважин в процессе бурения метод гк зачастую является...
Вадим Анатольевич Давыдов iconДавыдов александр Алексеевич
Давыдов александр Алексеевич, капитан на судах Мурманского тралового флота. В 1960-х – начале 1970-х годов возглавлял экипаж траулера...
Вадим Анатольевич Давыдов iconТарасов николай Анатольевич
Тарасов николай Анатольевич, начальник отдела безопасности мореплавания администрации Мурманского морского рыбного порта во второй...
Вадим Анатольевич Давыдов iconНоминация «Информационные технологии» Горбунов Роман Анатольевич
Горбунов Роман Анатольевич, учитель информатики второй квалификационной категории
Вадим Анатольевич Давыдов iconНоминация «Информационные технологии» Горбунов Роман Анатольевич
Горбунов Роман Анатольевич, учитель информатики второй квалификационной категории
Вадим Анатольевич Давыдов iconДавыдов Анатолий Васильевич цифровая обработка сигналов тематические лекции
Давыдов А. В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции. / Екатеринбург: уггу, игиГ, кафедра геоинформатики. – 2007-2010
Вадим Анатольевич Давыдов iconТушнин вадим Борисович
Тушнин вадим Борисович, заместитель начальника Мурманского мореходного училища в 1984 году. Родился в 1938 году. Образование высшее....
Вадим Анатольевич Давыдов iconЖуков Вадим Викторович главный специалист по вопросам прочности ру типа бн. Поступил в университет в 1954 году, закончил в 1959. Учебу в ггу вадим Викторович совмещал с занятием музыкой. Был известным музыкантом
Жуков Вадим Викторович главный специалист по вопросам прочности ру типа бн. Поступил в университет в 1954 году, закончил в 1959....
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов