Или самый асимметричный треугольник icon

Или самый асимметричный треугольник



НазваниеИли самый асимметричный треугольник
Дата конвертации31.07.2012
Размер35.76 Kb.
ТипДокументы

Три задачи для студентов,

Или самый асимметричный треугольник



Зададимся вопросом найти самый неправильный треугольник, т.е. такой треугольник, у которого длины сторон непохожи друг на друга. Предлагается разбить треугольник на шесть частей с помощью одного из трех построений (см.рис.1):

  1. Проводятся три медианы

  2. Проводятся три биссектрисы

  3. Проводятся три высоты.


Если треугольник равнобедренный, т.е. достаточно правилен, то в силу симметрии площадь заштрихованной части равна площади не заштрихованной. Мерой неправильности или асимметричности назовем, таким образом, разность этих площадей, отнесенную к общей площади треугольника.


Итак, какие значения может принимать мера асимметричности треугольника?

^

Медианная мера


Воспользуемся теоремой: «Медианы ∆ пересекаются в одной точке, и точкой пересечения делятся в отношении 1:2». Пусть BB1=b, AA1=a. Тогда в ∆BOA1 BO=2b/3, OA1=a/3, а в заштрихованном ∆AOB1 OB1=b, AO=2a/3. Кроме того, BOA1=AOB1= как вертикальные углы. Вспомним выражение для площади треугольника через синус угла и тогда получим:



Разность площадей равна нулю, и по аналогии рассуждая для остальных треугольников, получим, что: каков бы ни был исходный ∆ABC, его мера асимметричности равна нулю. Итак, медианный способ бессмысленен. Возможен иной, более короткий путь для получения разности площадей: достаточно от SABB1 отнять SCBB1 и сложить с другими попарными разностями. Далее следует сослаться на то, что треугольники с равными основаниями и общей высотой равновелики.

Ответ: 0.


Биссектриссная мера

По сравнению с предыдущим способом все неожиданно сложнее. Здесь уместно вспомнить три обстоятельства:

  • Точка пересечения биссектрисс треугольника является центром вписанной окружности

  • Биссектриса делит сторону треугольника в отношении, соответствующем длинам двух других сторон

  • Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на длину высоты, к ней опущенной.



Пусть для определенности c≥b≥a – длины сторон (в порядке возрастания), r– радиус вписанной окружности, S1- площадь заштрихованной части, S=S1+S2– площадь исходного треугольника, F=(S1-S2)/(S1+S2)– мера асимметричности. Тогда:



Далее получим:



Заметим, что, например, . Тогда выражение для F весьма упростится:



Нетрудно подсчитать, что для «египетского» треугольника (a=3,b=4,c=5) F=1/252. Заменой переменных α≡b+c, β≡a+c, γ≡b+a «улучшим» знаменатели:



Очевидно также, что α≥β≥γ. Должно выполняться неравенство треугольника в виде (a+b)≥c (остальные неравенства удовлетворены автоматически), или: α+β≤3γ. Поскольку все рассуждения ведутся для подобных треугольников, можно положить γ=1. Итак, поставим задачу на условный экстремум:



Вначале определим, достигается ли экстремум внутри области:




Но решение системы α=1,β=1 (иных решений нет) лежит на границе. Следовательно, внутри области определения экстремума нет, и если он и есть, то только на линии α+β=3. При α=β или α=1=γ, или β=1=γ треугольник равнобедренный, и F=0. Пусть α=3/2+δ, β=3/2-δ и притом 0≤δ≤1/2. Тогда:



Решая данное биквадратное уравнение, положив ε=δ2-9/4, учтя границы изменения δ, получим искомое: . Соответственно . Наконец выпишем стороны треугольника (легко получить, что c=(α+β-γ)/2):



Неожиданностью является то, что наиболее асимметричным треугольником является вырожденный треугольник, но не любой, а только тот, длины которого относятся примерно как 5:4:1.

Ответ: |F|<.


Высотная мера




Для случая трех высот ответ дает рис.4.: |F|≤1. В прямоугольном треугольнике точкой пересечения высот является вершина прямого угла, она же есть и основание перпендикуляра, опущенного на сторону. Из шести треугольников четыре редуцированы до точки нулевой площади. Если один из катетов мал, то S1≈S, F≈1. Очевидно, что рассмотрение тупоугольного треугольника сводится к дополнительному построению остроугольного треугольника. Если, однако ,нормировать меру асимметричности площадью исходного треугольника, а не суммой площадей частей, то даже |F|<∞. Предельному случаю соответствует угол, близкий к 1800, и малая длина одной из прилежащих к нему сторон.


Вывод меры асимметричности для произвольного остроугольного треугольника, поскольку я не знаю каких-либо вспомогательных утверждений о точке пересечения высот, оказался слишком громоздким. Приведу краткие результаты: пусть a,b- две стороны треугольника, γ- угол между ними; определим μ=(b2-a2)/(ab); тогда мера асимметричности F задается следующим выражением:




Надеюсь, я не ошибся в выкладках.

Альтернативный путь кажется более изящным, но также приводит к громоздкому выражению. Обозначим углы при точке пересечения высот за α,β,γ (α+β+γ=π); сами же углы треугольника связаны с ними простыми соотношениями вроде A=π-(β+γ)=α. Далее находим через косинусы катеты и гипотенузы всех шести треугольников, взяв один из них за единицу. С точностью до коэффициента:



Наконец,



Опять же, если я не ошибся в выкладках.




Похожие:

Или самый асимметричный треугольник iconТреугольник
Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки сторонами треугольника. На рисунке 1, б изображен треугольник с вершинами А,...
Или самый асимметричный треугольник iconИнтеллектуальная литературная игра «самый умный» (среди учащихся 1-4 классов) Цель
«Самый умный». Да, да, не удивляйтесь – сегодня все желающие станут участниками интеллектуальной литературной игры «Самый умный»....
Или самый асимметричный треугольник iconКогда тебе будет грустно, вспомни, что ты… мой самый нежный, самый любимый и самый желанный человечек на всем свете!
Жаль, что все не выразить словами, но, я попробую сказать тебе хотя бы одну 10000000000000000-ую из всего, что есть в тебе
Или самый асимметричный треугольник iconА. Е. Зимбули духовно-нравственное воспитание: что бы это значило?
Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это пусть самый лёгкий, и путь опыта –...
Или самый асимметричный треугольник iconВ туле будет представлен спектакль «Петербургский треугольник»
В тульском музее самоваров 18 мая 2010 г в 13-00 часов накануне дня рождения последнего российского императора Николая II александровича...
Или самый асимметричный треугольник iconПодготовка к егэ по математике. 11 класс
Вс найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности, если ав дан треугольник авс. В него вписана окружность, касающаяся вс...
Или самый асимметричный треугольник iconПоложение
Награждаются также самый молодой и самый старший участники пробега. На дистанции 10 км у мужчин в возрастной группе 65-69 лет разыгрывается...
Или самый асимметричный треугольник iconКонкурс «самый-самый сильный, ловкий и смелый». Игра викторина «Что, где, когда?»
Цель: пропагандировать здоровый образ жизни; создавать условия для оздоровления детей, развития физкультурных навыков
Или самый асимметричный треугольник icon26. 11. 2003 \\ о песне Кима Брейтбурга
Я от тебя схожу с ума я сразу запомнил эту фразу Вот или она близка нам всем, людям умеющим сходить с ума, или просто песня очень...
Или самый асимметричный треугольник iconИтоговый протокол школьного конкурса «Самый классный классный-2008»
«Самый классный классный-2008» рекомендовать кандидатуры классных руководителей 3А класса Дмитриевой Алины Николаевны, 6Б класса...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов