Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n icon

Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n



НазваниеНормальным или классическим магическим квадратом порядка n
страница1/11
Дата конвертации10.08.2012
Размер1.31 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Н. В. Макарова


МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА


1. Вводные определения


Традиционным (нормальным или классическим) магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица размером nхn, заполненная различными натуральными числами от 1 до n2 так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях таблицы равна одному и тому же числу, называемому магической константой квадрата.

Нетрудно вывести формулу для магической константы S квадрата порядка n:


S = n(n2 + 1)/2


Если суммы чисел на диагоналях квадрата не равны магической константе, то такой квадрат называется полумагическим (или неполным).

Магический квадрат порядка n называется ассоциативным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу, которое, как нетрудно понять, равно n2+1. Такие числа в ассоциативном магическом квадрате называются взаимно дополнительными или комплементарными. На рис. 1 представлен ассоциативный магический квадрат четвёртого порядка.


1

14

15

4

8

11

10

5

12

7

6

9

13

2

3

16


Рис. 1


Обычные диагонали в магическом квадрате называют главными, чтобы отличать их от разломанных диагоналей. Разломанная диагональ – это диагональ, параллельная главной диагонали и проходящая тоже через n ячеек квадрата. Поскольку главных диагоналей две, то разломанные диагонали тоже будут двух направлений. Рис. 2 помогает понять, как образуются разломанные диагонали магического квадрата четвёртого порядка.






^ Рис. 2


Понятно, что в магическом квадрате порядка n будет 2(n-1) разломанных диагоналей.

Магический квадрат называется пандиагональным (или дьявольским), если сумма чисел по всем разломанным диагоналям равна магической константе квадрата. На рис. 3 изображён пандиагональный магический квадрат четвёртого порядка.


1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6


Рис. 3


Для порядков n = 4k + 2 не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных магических квадратов [16].

Свойство пандиагональности сохраняется при параллельном переносе магического квадрата на торе. Такой перенос вдоль горизонтальной оси координат просто осуществить, если свернуть магический квадрат в трубочку, склеить его левый и правый края, вертикально разрезать квадрат в другом месте, а затем снова развернуть его. Получится, например, такой магический квадрат (рис. 4), который тоже будет пандиагональным.


8

13

12

1

11

2

7

14

5

16

9

4

10

3

6

15


Рис. 4


Аналогично осуществляется параллельный перенос вдоль вертикальной оси (в этом случае склеиваются верхний и нижний края квадрата и делается горизонтальный разрез).

Можно выполнить параллельный перенос одновременно по обеим осям. Параллельный перенос на торе называют ещё торическим переносом.


Магический квадрат называется идеальным, если он одновременно и ассоциативный, и пандиагональный. Идеальные магические квадраты существуют для нечётных порядков n>3 и для чётно-чётных порядков n>4 (чётно-чётным называют порядок кратный 4). В англоязычных работах термину “идеальный квадрат” соответствует термин “ultramagic square”.

На рис. 5 представлен идеальный квадрат пятого порядка.


1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25


Рис. 5


^ 2. Полумагические квадраты Франклина


Американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706–1790) очень увлекался построением магических квадратов. Франклин писал: “В дни моей юности я в свободное время (которое, как мне кажется, можно было бы употребить с большей пользой) развлекался тем, что составлял … магические квадраты” [13].

До нас дошли только пять квадратов, построенных Франклином, из которых четыре являются полумагическими и один магическим. [1, 3] Вероятно, были и другие квадраты, но они, к сожалению, не сохранились. Например, известный пандиагональный квадрат Франклина 16-го порядка даёт основание предполагать, что Франклином был построен подобный пандиагональный квадрат и меньшего 8-го порядка. Известные нам квадраты Франклина обладают рядом уникальных свойств, которые мы рассмотрим ниже.


Сначала представим четыре полумагических квадрата Франклина, это два квадрата 8-го порядка, квадрат 16-го и квадрат 32-го порядка. Свойства полумагических квадратов 8-го и 16-го порядка подробно описаны в работах [1, 2].


Первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка вы видите на рис. 6.


52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17


Рис. 6


Суммы чисел в главных диагоналях этого квадрата равны 228 и 292. Их среднее арифметическое совпадает с магической константой квадрата.

Все полумагические квадраты Франклина обладают интересным свойством: они остаются такими же полумагическими (с теми же суммами чисел по главным диагоналям) при любом торическом переносе. На рис. 7 показан один из полумагических квадратов, полученных торическим переносом полумагического квадрата, изображенного на рис. 6.


1

64

49

48

33

32

17

16

61

4

13

20

29

36

45

52

3

62

51

46

35

30

19

14

60

5

12

21

28

37

44

53

6

59

54

43

38

27

22

11

58

7

10

23

26

39

42

55

8

57

56

41

40

25

24

9

63

2

15

18

31

34

47

50
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




Похожие:

Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconЗако н вологодской области об установлении порядка и нормативов заготовки древесины, порядка заготовки и сбора недревесных лесных ресурсов, порядка заготовки
Лесных ресурсов, порядка заготовки пищевых лесных ресурсов и сбора лекарственных растений на
Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n icon1. Определите длину волны для линии в дифракционном спектре второго порядка, совпадающей с изображением линии спектра третьего порядка, у которого длина волны равна 400 нм. А. 600 нм. Б. 800 нм. В. 200 нм. 2
...
Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n icon"кодекс российской федерации об административных правонарушениях" от 30. 12. 2001 n 195-фз
Статья 13. 11. Нарушение установленного законом порядка сбора, хранения, использования или распространения информации о гражданах...
Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconКодекс российской федерации об административных правонарушениях от 30. 12. 2001 n 195-фз (извлечения)
Статья 13. 11. Нарушение установленного законом порядка сбора, хранения, использования или распространения информации о гражданах...
Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconТаблица результатов первенство РФ по классическим шахматам среди девочек до 8 лет

Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconТаблица результатов первенство РФ по классическим шахматам среди мальчиков до 8 лет

Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconЧемпионат слши по классическим русским шашкам среди ветеранов и инвалидов

Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconТаблица результатов первенство РФ по классическим шахматам среди девочек до 8 лет

Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconТаблица результатов первенство РФ по классическим шахматам среди мальчиков до 8 лет

Нормальным или классическим магическим квадратом порядка n iconПриказ Минздравсоцразвития РФ от 21. 08. 2008 n 438н
Об утверждении порядка осуществления и формы заключения медико-технической экспертизы по установлению необходимости ремонта или досрочной...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов