Процент ы проценты icon

Процент ы проценты



НазваниеПроцент ы проценты
Дата конвертации10.08.2012
Размер119.83 Kb.
ТипДокументы

П Р О Ц Е Н Т Ы


Проценты - это одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Часто можно прочитать или услышать, например, что «в выборах приняли участие 56,3% избирателей», или «рейтинг победителя хит-парада равен 74%», или «промышленное производство сократилось на 11,3%», или «банк начисляет 20% годовых», или «молоко содержит 1,5% жира», или « эта ткань на 100% состоит из хлопка».

Ясно, что без умения понимать такого рода информацию в современном обществе просто трудно было бы существовать.

Слово процент происходит от латинского ^ PRO CENTUM , означающего от сотни или на сто.

И сейчас в речи вместо слова «процент» зачастую используется именно это словосочетание. Например, говорят: «Из каждых ста участников лотереи семеро получили призы». Если понимать это утверждение буквально, то в ряде случаев оно окажется неверным: ясно, что можно найти такую сотню участников лотереи, в которой ни один человек не выиграл приза, в другой же сотне выигравших может оказаться и более семи.

В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова «процент». 7% - это значит семь из ста, 7 человек из 100 человек.


^ Чтобы выразить процент десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.

Например:


58 % = = 0,58


Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом,

^ Чтобы выразить число в процентах, надо это число умножить на 100, например:


0,58 = =(0,58  100)% = 58 %


^ ДЛЯ ЧЕГО НУЖНЫ ПРОЦЕНТЫ ?


Много ли соли в морской воде? Этот вопрос можно понимать по-разному. Например, сколько весит вся соль, растворённая в морях и океанах? А можно и так: сколько соли содержится в ведре морской воды?

Ответить на первый вопрос очень просто. Достаточно знать ответ на второй вопрос и ещё узнать, сколько же вёдер воды содержится во всех морях и океанах.

Жители приморских городов и посёлков могут попробовать ответить на второй вопрос.
Для этого достаточно набрать ведро морской воды, поставить его на огонь и греть, пока вся вода не выкипит, а затем взвесить оставшуюся на дне соль

Вот только можно ли утверждать, что у соседа получится столько же? Видимо нет. Его ведро может оказаться больше или меньше, или просто он поленился и налил не так полно, и в результате будет выпариваться другое количество воды, а поэтому получится другое количество соли.

Похоже, что наша мера солености морской воды оказалась неудачной. Возьмем другую меру – количество граммов соли на килограмм раствора.

Пусть масса раствора составляет 8,4 кг., а масса соли после выпаривания оказалась равной 21 грамму. Тогда получается ответ: 5 / 2 грамма соли содержится в одном килограмме раствора.

Если этот опыт повторить, то получится почти точно такая же величина.

Но почему мы считаем число граммов соли в килограмме раствора, а не число центнеров в тонне или не число английских фунтов в русском пуде? Давайте-ка будем считать число граммов в грамме! Тогда тот же ответ получится, если считать число тонн соли в тонне раствора или число пудов соли в пуде раствора.

Итак, поскольку в килограмме содержится 1000 граммов, то и ответ получится в тысячу раз меньше: в одном грамме раствора содержится 1/400 грамма соли.

Итак, подходящая мера получена. Но запись.… Попробуйте быстро сообразить, какое число больше: 11/1002 или 12/1090? Сразу и не скажешь, нужно считать.

Куда легче сравнить десятичные дроби! Например, дробь 0,01097 меньше, чем 0,01101, потому что число единиц, десятых и сотых у них одинаково, а число тысячных у второй дроби больше. Удобно? Конечно.

Стойте, скажет нетерпеливый человек, зачем столько премудрости ради какой-то морской воды! Взять, да и попробовать на вкус – солёная она или не очень. Хорошо, ответим мы, а нужно ли точно знать содержание металла в руде, жира в молоке, химических веществ в лекарствах?… Вот то – то! А ведь задача та же самая.

С помощью карандаша и бумаги мы можем делить хоть до миллиардных долей, но точны ли сами числа – делимое и делитель?

Если весы в магазине показывают 520 граммов, то на самом деле предмет может весить и 512 и 584 грамма. А двести-триста лет назад точность весов была еще меньше. Поэтому верным можно было считать лишь одну-две первые цифры, потому величину содержания одного вещества в другом имело смысл рассматривать с точностью до двух первых цифр: 0,27; 0,54; 0,37 и т.д.

Проценты были известны индусам ещё в V веке нашей эры. Это не удивительно, потому что в Индии с давних пор счёт вёлся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже, их ввёл бельгийский учёный Симон Стевин. Он же в 1854 году впервые опубликовал таблицу процентов.

Со временем люди научились извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого вещества. Тогда чтобы не вводить нули и запятую, ввели новую величину: «промилле» - тысячную часть числа, которую обозначали значком, похожим на значок процентов - %0,, и вместо 0,6% стали писать 6%0.

^

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ



Поскольку проценты выражаются дробями, то задачи на проценты являются по существу теми же задачами на дроби.


Частное двух этих чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих двух чисел. Потому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел. Нетрудно заметить, что формулы взаимосвязаны. Именно две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Потому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и при желании, можно пользоваться ею, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.

Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби. Для наглядности, как и раньше, можно использовать схему. Рассмотрим пример.

Задача 1. Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму

денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

Решение:

  1. 4500 * 0,3 = 1350(руб.) – «прирост» за год.

  2. 4500 + 1350 = 5850(руб.)

Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала найти, сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 1500 руб.

Задача 2. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 руб.?

Решение:

  1. 100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

  2. 125% = 1,25 = 800 (руб.) – сумма вклада.

Ответ: сумма вклада 800 руб.

Задача 3. В 200г. воды растворили 50г. соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

Концентрация раствора – это процент, который составляет масса вещества в растворе от массы раствора. Поэтому требуется вычислить процент, который составляет 50г. соли всей массы раствора:



  1. 50 + 200 = 250 (г.) – масса полученного раствора.

  2. (50 / 250) * 100 = 50 * 100 / 250 = 20 (%).

Ответ: концентрация раствора равна 20%.

Задача 4. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?

Решение:

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а «вторые» 20% - от другой величины, цены на конец января.

Потом будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную цену S. В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 * (1,3S) = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.

Решение можно записать так:

Пусть S – первоначальная цена.

1)1,3S – цена в конце января (130% от S).

2)1,2 * (1,3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S).

3)1,56S составляет 156% от S.

156% - 100% = 56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

^

П Р О С Т О Й П Р О Ц Е Н Т Н Ы Й Р О С Т



Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется «пеня». Так в Москве пеня составляет 1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки. Поэтому , например, за 19 дней просрочки, сумма составит 19% от суммы квартплаты, и в месте , скажем, со 100 руб. квартплаты человек должен будет внести пеню 0,19 * 100 = 19 руб., а всего 119 руб.

Ясно, что в разных городах и у разных людей, квартплата, размер пани и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл, составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S – ежемесячная кварт плата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки, а n – число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим Sn.

Тогда за n дней просрочки, пеня составит pn% от S , или , а всего придётся заплатить .Таким образом,




Задача 1. Сколько надо заплатить москвичу, если его квартплата составляет 100 руб. и просрочена на 5 дней?

Решение:

Подставляя в формулу значение p = 1 и значения n = 5 * 4, получим:

(1 + ) * 100 = 1,05 * 100 = 105 (руб.)

Ответ: через 5 дней – 105 руб.

Таким образом, установленная формула позволяет быстро рассчитывать необходимые значения выплат за квартиру.

Рассмотрим еще одну ситуацию. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц p% от внесенной суммы. Поэтому, если клиент внес сумму S, то через n месяцев на его счете будет ()S, и мы вновь получаем, что


Sn=(1+) S


Мы получили в точности ту же самую формулу, что и в примере с квартплатой, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: в первом примере n – число дней, а во втором примере n - число месяцев, в первом примере S – величина квартплаты, а во втором S – сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение:

Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, числа месяцев n = 6 и первоначального вклада S = 500:


(1 + ) * 500 = 1,12 * 500 = 560 (руб.)

Ответ: через полгода на вкладе будет 560 руб.


С Л О Ж Н Ы Й П Р О Ц Е Н Т Н Ы Й Р О С Т


В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:

40% от 1000 руб. составляют 0,4 * 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его счете будет

1000 + 400 = 1400 (руб.)

40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 * 1400 = 560 руб., и следовательно, через 2 года на его счете будет

1400 + 560 = 1960 (руб.)

40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 * 1960 = 784 руб., и следовательно, через 3 года на его счете будет

1960 + 784 = 2744 (руб.)


Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном , «лобовом» подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет. Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.

Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,42 раза.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,42 = 1,43 раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:


1,43 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (руб.)


Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма равна S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.

p% от S составляют S рублей, и через год на счёте окажется сумма


S1 = S


то есть начальная сумма увеличится в 1 + раза.


За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма

S2 = (1 +) S1 = (1 +) (1+) S =(1 + )2 S.


Аналогично, S3 =(1 + )3 S и так далее. Другими словами, справедливо равенство

Sn = (1 + ) 3 S.


Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.


Задача 1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?


Решение:

Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:

(1 + )4 * 2000 = 1,14 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).


Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля.


Б А Н К О В С К И Й П Р О Ц Е Н Т


Предположим, что вы хотите положить в банк 10 000 рублей, чтобы на них «росли проценты». В Сбербанке вам предложат 120% годовых, если вы кладёте деньги на 3 месяца, 130% годовых, если положите на 6 месяцев, и 150% годовых при вкладе на год.

В банке «Триумф» вам предложат 200% годовых при вкладе на год. Подсчитаем, сколько вы получите через 5 лет. Поскольку каждый год вы будете получать 200% годовых, то за 5 лет вы получите в 5 раз больше – 1000%, т.е. 100 000 рублей к своим 10 тысячам рублей. Но это не так!

Считать следует иначе! За год ваш вклад утраивается, т.е. через год у вас будет 30 тысяч рублей, а за второй год он еще утроится и составит 90 000 рублей. То же самое буде происходить после третьего, четвёртого и пятого года. Поэтому после третьего года у вас будет уже 270 000 рублей, после четвёртого 810 000 рублей, а после пятого – 2 430 000 рублей, а не 110 000 рублей, как мы предполагали сначала. Теперь стоит выбрать способ вложения денег: на 3 месяца, на 5 месяцев или на год.

Казалось бы, лучше всего положить на год, что даёт самый высокий процент годовых – 150%. Но, наученные расчётами с другими банками, давайте проверим.

Если положить на полгода из расчёта 130% годовых, то через полгода получим доход в 65% от вложенной суммы, т.е. сумма увеличится в 1,65 раз. Если затем еще раз положить на полгода все полученные деньги, то сумма возрастёт в 1,65 * 1,65 = 2,7225 раза, то есть на 172,25%, что существенно больше 150-ти процентов при вкладе сразу на год.

А если положить деньги на три месяца, потом еще на три, и еще, и еще раз на три месяца? В первый раз прибыль составит четверть от 120%, т.е. 30% от вложенной суммы. Это значит, что вклад увеличится в 1,3 раза. В следующий месяц он увеличится еще в 1,3 раза, что даст увеличение первоначальной суммы в 1,69 раза. Через следующие три месяца увеличение составит 2,197 раза, а к концу года получим увеличение в 2,8561 раза. Таким образом, получаем 185,61% годовых. Правда, при этом нужно приходить в банк каждые три месяца, чтобы забирать вклад и снова класть его на три месяца.

Но есть ещё форма вклада под 100% годовых с правом снять вклад в любое время с получением соответствующей доли прибыли. Вот, наверное, золотая жила! Ведь мы убедились, что чем чаще кладёшь и берёшь вклад, тем больше оказывается прибыль.

Если ходить в Сбербанк каждый день, то каждый раз вклад будет увеличиваться в 1+ , а за год увеличение составит (1 +)365 раза.

Величина числа (1 +)n действительно увеличивается с увеличением n, но не может превзойти числа е= 2,71828… и стремится к этому числу с увеличением n.

Число е названо так в честь Леонардо Эйлера. Оно играет важную роль во многих разделах математики.

Итак, даже бегая в Сбербанк каждый час, нам не удастся получить доход больше 172% годовых, если мы примем эту форму вложения денег.


Литература.

  1. Я познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ 1998. – Москва.

  2. Математика. Дорофеев. Г.В., Петерсон Л.Г./1998. – Москва.

  3. Занимательная матиматика.



Школа № 68.


Тема: « Применение решения задач на проценты

в нашей жизни».


Выполнили: Балышева Анна 7Б,

Ивантеева Елена 7Б.

Руководитель: Анищенко О.А.,

Учитель математики.


Пенза 2003 год.







Похожие:

Процент ы проценты iconПрезентация на тему: Процент. Три задачи на проценты. Процентом называется одна сотая часть. 1%=1/100 или1%=0,01 Для краткости слово «Процент» после числа заменяют знаком %
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно разделить число процентов на 100
Процент ы проценты iconУрок по теме «Проценты. Углы»
Актуализация опорных знаний: Что такое процент? Как найти процент от числа? Как найти число по его проценту?
Процент ы проценты iconПрезентация на тему: Процент. Три задачи на проценты. Выполнила ученица 5 а класса Никифорова Евгения Процентом называется одна сотая часть. 1%=1/100 или1%=0,01
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно разделить число процентов на 100
Процент ы проценты iconУрок по теме «Проценты. Углы». Урок в 5 классе подготовила и провела Кравченко Г. Г
Актуализация опорных знаний: Что такое процент? Как найти процент от числа? Как найти число по его проценту?
Процент ы проценты iconМаргрит Кеннеди -деньги без процентов и инфляции
Заблуждение Проценты мы платим только тогда, когда берём деньги под проценты 4
Процент ы проценты iconМаргрит Кеннеди -деньги без процентов и инфляции
Заблуждение Проценты мы платим только тогда, когда берём деньги под проценты 4
Процент ы проценты iconУрок по теме «Проценты» проведён в 5 классе и является уроком обобщения и систематизации знаний
...
Процент ы проценты iconУрок по математике в 6 «а» классе. Учитель моу сош №10 С. В. Левченко Тема урока: Решение задач на проценты. Цель урока
Цель урока: отработка навыков ученик знает определение процента и алгоритмы решения трех типов задач на проценты, применяет эти знания...
Процент ы проценты iconДокументы
1. /проценты 1.doc
Процент ы проценты iconПрактическая часть
Проценты по ссуде в 670 р на 2 месяца составляют 15р. Какова процентная ставка?
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов