Внутренние модовые функции icon

Внутренние модовые функции



НазваниеВнутренние модовые функции
Дата конвертации26.08.2012
Размер312.99 Kb.
ТипДокументы




ВНУТРЕННИЕ МОДОВЫЕ ФУНКЦИИ

Частично редактированный машинный перевод.

Преобразование Гильберта-Хуанга и эмпирическая модовая декомпозиция сигналов: http://prodav.narod.ru/hht/index.html





Эмпирическая Модовая Декомпозиция (EMD) широко использовалась, чтобы разложить нестационарный и нелинейный сигнал, преобразуя данные в прогрессию встроенных модовых функций (IMFs) и функцию тренда через процессы отсеивания. Из-за отсутствия твердой математической основы, реализация EMD является эмпирической и специальной. В этой работе мы доказываем математически, что EMD - только аппроксимация истинных огибающих. В результате возникает потенциальный конфликт между строгим определением IMF и его эмпирической реализацией через естественный кубический сплайн. Выяснено, что амплитуда IMF тесно связана с функцией интерполяции определения верхних и нижних огибающих: доказано, что при кубической сплайновой функции верхняя (нижняя) огибающая IMF может быть унитарной кубической сплайновой линией, пока экстремумы редко распространены по сравнению с данными выборки. Кроме того, когда естественное сплайновое граничное условие принято, унитарная кубическая сплайновая линия вырождается в прямую. Если амплитуда IMF не будет строго монотонной функцией, градиент прямой будет нулем. Это объясняет, почему амплитуда IMF имеет тенденцию быть константой с увеличением количества отсеиваний до бесконечности. Поэтому, чтобы получить физически значимые IMFs времена отсеивания для каждого IMF должны быть достаточно низкими, как имеет место в практике EMD. Строго говоря, разрешение этих трудностей должно быть в том, чтобы или изменить метод реализации EMD и сторониться сплайна, или определять критерий остановки более объективно и мягко. Для разрешения конфликта мы должны понять, как EMD зависит от аппроксимации относительно кубического сплайнового базиса. Мы заключили, что установленное низкое количество итераций будет лучшей опцией, поскольку дает наилучшее приближение.


1. Введение

Встроенная модовая функция (IMF) была представлена Huang и др. [1998] как результат эмпирической модовой Декомпозиции (EMD). Это - необходимый промежуточный шаг к вычислению мгновенной частоты через преобразование Гильберта или любые другие методы [Huang и др. 2009]. Поэтому, это - ключевая часть Спектрального анализа Гильберта в НАСА, определяемом Гильберт-Huang Transform (HHT). Начиная с его появления, HHT нашел широкий диапазон приложений: голос [Khaldi и др. (2010)], образ [Nunes и Del´echelle (2009); Linderhed (2009); Chen и др. (2008); Sinclair и Pegram (2005) и Wu и др.
(2
009)], медицина [Chen (2009); Nunes и др. (2005); Liang и др. (2005)], климат или атмосфера [Ruzmaikin и Feynman (2009); Huang и др. (2009); Molla и др. (2007); Iyengar и Kanth (2006), Wu и др. (2008), Qian и др. (2009)], гравитационная волна [Camp и др. (2009)], океан [Huang и Wu (2008); Huang и др. (1999)], и география [Wilson и др. (2007); Battista и др. (2007); Zhang и др. (2003)]. Многие из приложений фактически основаны на IMFs. В результате, в последовательной разработки HHT, большинство усилий было сконцентрировано на уточнениях EMD, таких как испытание прерывистости [Huang и др., 1999; 2003], Множество EMD [EEMD, Wu и Huang, 2009]. Дополнительный EEMD [CEEMD, Yeh и др. (2010)]. Метод EMD был недавно также расширен на многомерные данные Wu и др. [2009] и другие [Shi и др. (2009), Fauchereau и др. (2008), Liu и др. (2007)].

С этими усовершенствованиями реализация EMD, казалось, удовлетворила требования большинства практических приложений. Оставлена неразработанной, однако, строгая математическая основа, которая абсолютно необходима для того, чтобы поставить эмпирический подход на более твердую основу. К сожалению, продвижение крайне медленно. Среди срочно необходимой работы находятся определение IMF и критерии остановки для EMD. Действительно, свежие исследования Wu и Huang [2010] показали опытным путем, что процесс отсеивания, используемый в EMD, мог быть эквивалентным банку двоичного фильтра только, когда количество итераций отсеивания близко к десяти. Отношение средней частоты между соседними компонентами уменьшилось бы ниже 2 как количества увеличения итераций. В пределе, когда EMD стремится к бесконечности итераций отсеивания, отношение для средней частоты между соседними компонентами приблизилось бы к единице. Тогда, EMD порождал бы IMFs постоянной амплитуды. Даже при том, что предельный случай фактически соответствует определению IMFs лучше, такие результаты производили бы модулированные функции (FM) частоты для IMFs, которые могли бы даже приблизиться к расширению Фурье и теряли бы все их встроенные материальные значения. Основываясь на этом эмпирическом изучении, они предложили установить количество отсеивания для реализации EMD.

Наблюдения Wu и Huang [2010] предполагают, что имеет место конфликт между определением IMF, и методом их вычислений. Мы предприняли данное исследование, чтобы разъяснять эти потенциальные конфликты и поддержать эмпирический метод Wu и Huang [2010]. В этой работе мы сначала повторно рассмотрим процедуру EMD, как первоначально предложено [Huang и др. (1998)], и определение IMF. И докажем теорему об ограничениях и следствии сплайнового подхода. Этой теоремой мы надеемся, что пробудим интерес теоретически ориентированного исследования к строгой основе HHT. Наконец, мы обсудим значение IMF в свете этой теоремы.


^ 2. Обзор EMD.

EMD, как первоначально предложено, осуществлена через процесс отсеивания, которое получено следующим образом:

(1) Для любых данных x(t) идентифицируются все локальные экстремумы.

(2) Выделяются все максимумы и минимумы и естественными кубическими сплайновыми линиями формируются верхняя, u(t), и нижняя, l(t), огибающие.

(3) Вычисляется среднее значение огибающих, как m(t) = [u(t) + l(t)]/2.

(4) Разность между данными и средним значением принимается за прото-IMF, h(t) = x(t) − m(t).

(5) Прото-IMF проверяется на соответствие IMF и критерий остановки, и определяется, является ли этот прототип IMF.

(6) Если прото-IMF не удовлетворяет определению IMF, повторяются (при необходимости многократно) шаги 1 - 5, пока h(t) не удовлетворит определению IMF.

(7) Если прото-IMF действительно удовлетворяет определению, прото-IMF принимается как IMF компонент, c(t).

(8) Шаги 1 - 7 повторяются на остатке, r(t) = x(t) − c(t), где остаток принимается как данные.

(9) Операция заканчивается, когда остаток содержит не больше, чем один экстремум.

Блок-схема этого процесса отсеивания дана на рис. 1. Математически, операция дана следующим образом:





Рис. 1. Блок-схема процесса декомпозиции EMD.

в котором индексы указывают итерацию того же самого шага. На этой операции мы можем видеть это



Это - шаг, чтобы извлечь первый компонент IMF. Впоследствии, мы имеем



Поэтому,



От уравнения (3), мы имеем



Точно так же мы должны иметь



Таким образом, все компоненты IMF являются суммами сплайновых функций. С его формой базису, сформированному в терминах IMFs через EMD, можно показать, чтобы быть законченным автоматически, для



На этих операциях мы можем видеть, что IMFs точно приводится к первоначальному сигналу. Суммы функции сплайна образования могли отменить друг друга точно. Как здесь показано, анализ EMD основан на сплайновой функции. До сих пор, процедуры EMD, кажется, являются простыми и прямыми, за исключением того, что в анализе EMD должны быть обсуждены и выявлены два решающих элемента: определение IMF, с которым прото-IMFs должны сравниться, и критерий остановки, согласно которому операция может обнаружить замкнутое выражение.

Теперь позвольте нам обратиться к двум критическим элементам в алгоритме EMD. Мы сначала сделаем обзор первоначального определения IMF как внутренней модовой функции: любая функция, имеющая одинаковое количество (или с различием не более чем на 1) нулевых пересечений и экстремумов, и также симметричные огибающие локальных максимумов и минимумов соответственно. Во-вторых, позвольте нам обсудить критерий остановки. Начиная с введения EMD, было предложено много различных критериев остановки. При квалифицированном выборе критериев остановки EMD приводит к информативным и полезным результатам. Все теперь доступные критерии остановки могут быть разделены по тематическим категориям следующим образом:

(a) Критерий типа Коши

Критерий типа Коши был первоначально предложен Huang и др. [1998]. Определенно, процесс отсеивания остановится, когда разность SD, определенная по (8), будет меньше, чем предварительно установленное значение.



Согласно этому определению, условие конвергенции математически может быть установлено следующие: Для любого данного небольшого числа, ε, существует большое количество М итераций таким образом, что SD <ε всякий раз, когда итерация номера отсеивания, K, больше чем М. Конвергенция всегда удовлетворяется опытным путем, но строгих доказательств все еще недостает. Вышеупомянутый критерий - глобальное свойство, поскольку это - интегрированный критерий по целой предметной области. Кроме того, значение SD, столь определенное, плохо приспособлено под влияния небольших значений прото-IMF в специфических расположениях. Чтобы сделать критерий более устойчивым, изменение определено как



Хотя это определение более устойчиво, это - все еще глобальный и четный сглаживающий контур. Все еще у другого изменения вдоль этой линии должен быть SD, определенный, чтобы быть небольшим всюду.



Хотя это определение является более локальным, это также зависит от локального небольшого значения прото-IMF. Определения выше, однако, не могут гарантировать, являются ли результаты действительно IMFs, т.к. не имеет никакого отношения ни к количеству экстремумов и нулевых пересечений, ни к симметрии огибающих. Чтобы исправить это местоположение, есть два более новых подхода.

(b) Критерий среднего значения

Он был предложен Flandrin [2004], в котором SD определил как единственный член в уравнении (6)



Отсеивание остановится, когда SD будет меньшим, чем предписанное значение всюду. Это определение конечно лучше чем условие Коши, поскольку это связано с определение IMF, требуя среднего значения огибающих быть небольшим. Поскольку это задано, это вынуждает огибающие, чтобы они были симметричными; поэтому, это удовлетворяет одной из двух критических характеристик IMF.

(c) Критерий S-номера

Эта форма была предложена Huang и др. [2003] и связана с другим аспектом определения IMF. Чтобы осуществить этот критерий, нужно считать количество экстремумов и нулевых пересечений. S-число определено, как количество последовательных итераций отсеивания, по которым количество нулевых пересечений и экстремумов сохраняют то же самое значение и равны или отличается одним.


Каждый из вышеупомянутых методов удовлетворяет только одному аспекту определения IMF. Все они были основаны на суетливом предположении аппроксимации, полностью понял, что по отсеиванию осушит материальное значение в компонентах IMF строго, и под отсеивание не произвело бы удовлетворительные IMFs. Все вышеупомянутые критерии дают пользователям неправильный отпечаток, что требования должны быть установлены на более строгом уровне с меньшим значением SD и большими S-номерами. Huang и др. [2004], однако, указал, что более строгое условие на S-номере не обязательно приведет к лучшим результатам. На более детализированном изучении Wu и Huang [2009] и Wu и Huang [2010] было далее указано, что, немного изменяя критерий, может быть сгенерировано различное количество IMFs. Это делает следствия сравнения различных реализаций EMD трудными.

(d) Установленный критерий времени отсеивания

На отдельных изучениях Flandrin [2004], и Wu и Huang [2004] установил, что EMD - фактически банк двоичных фильтров. На более свежем изучении через систематические эмпирические испытания Wu и Huang [2010], они сделали вывод, что двоичное свойство правильно, только если каждый имел в наличии итерации процесса отсеивания 10 раз. Двоичное свойство сломалось бы, если число итераций слишком велико или слишком мало. Асимптотическое состояние бесконечного числа итераций в отсеивании привело бы в результате к частоте модулированных (FM) волн с постоянной амплитудой, почти приближаясь к результату декомпозиции Фурье.

Поскольку мы можем видеть, ни один из критериев остановки не является полностью удовлетворительным, но все они удовлетворили бы цели, если применены рассудительно. Проблема состоит в том, что нет никакого строгого математического стандарта для принятия решений. Определение критерия остановки произвести физически значение IMFs является все еще стимулирующей целью, которая будет достигнута в реализации EMD. В настоящее время, все критерии можно осуществлять с некоторой степенью нервозности и удовлетворять определению IMF только приблизительно. Действительно, нервозность в критериях остановки является результатом конфликта между определением IMF и теперь используемым алгоритмом реализации EMD. Это будет темой следующего раздела.


^ 3. Конфликт между определением IMF и алгоритмом реализации EMD.

Вышеупомянутый обзор указывает, что выполнение EMD было основано на кубическом естественном сплайне для его гибкости и простоты. В то же самое время, это было ясно, что определение IMF не могло быть строго понято: поскольку большое количество отсеиваний произвело бы IMF, лучший подход к определению IMF, но такая функция не будет физически значима. Оптимальное количество итераций отсеивания иллюзорно. В результате все критерии остановки являются несколько суетливыми. Эта дилемма делает выполнение EMD на строгой математической основе чрезвычайно трудным, если возможно вообще. В следующем мы докажем, что дилемма является результатом конфликта между определением IMF и алгоритмом, основанным на сплайновой пригонке. В результате неуверенность это особенность, мы должны жить с ней, если сплайновая реализация не изменена.

Начнем с кубическим естественным сплайновым алгоритмом, поскольку EMD в настоящее время осуществляется с ним. Докажем следующую теорему, которая является ядром конфликта:

Для любой функции с мало заполненными экстремумами огибающих u(t) и l(t), созданных согласно процедурам отсеивания EMD, должны приводиться к паре симметричных прямых.

Доказательство будет состоять двух шагов: первый шаг должен установить, что огибающая должна быть унитарным кубическим сплайном, а второй шаг должен установить, что унитарная сплайновая линия вырождается в прямую. Первый шаг дан следующим образом. Предположим, что у нас есть IMF c(t), извлеченная из сигнала x(t) через огибающие u(t) и l(t), как верхние и нижние огибающие, и средняя m(t) как дано в уравнении (2). Все эти функции - кусочно кубические сплайновые кривые. Если c(t) удовлетворяет определение IMF строго, мы должны иметь



Без потери общности, если мы также предполагаем, что экстремумы IMF редко распространены относительно точек на графике, то есть, по крайней мере, две точки на графике между максимумом и его соседним минимумом. Местоположение было бы случаем, показанным на рис. 2, где t1, t3, и t5 являются расположениями максимумов c(t), t2 и t4 расположения минимумов; u1(t) и u2(t) являются сегментами u(t), l0(t) сегмент l(t). Тогда



Есть, по крайней мере, две точки на графике в [t2, t3], у уравнения u1(t) + l0(t) = 0 есть, по крайней мере, четыре корня в t ∈ [t2, t3]. Обратите внимание, что u1(t) и l0(t) являются кубическими функциями,



Рис. 2. Иллюстрация верхних и нижних огибающих IMF и некоторых экстремумов на них


и выше в уравнении (13) показано, что у них должны быть те же самые коэффициенты в их выражениях, то есть, Аi = −Ci , i = 1, 2, 3, 4. Точно так же по интервалу t ∈ [t3, t4] у нас должен быть Bi = −Ci , i = 1, 2, 3, 4. Таким образом, две сегментальных кубических кривые, u1(t) и u2(t), являются фактически двумя частями той же самой кубической функции. Это заключение - то же самое со всеми другими сегментальными функциями в других интервалах. Мы, наконец, нашли, что верхняя (нижняя) огибающая IMF - фактически унитарная кубическая функция, хотя она составлена из ряда сегментальных кубических функций. Другими словами, все максимумы (минимумы) c(t) находятся на одной единственной кубической кривой,



Таким образом, мы отработали первый шаг. Затем, допустим a и b - точки времени окончания и начала. Как u(t) - верхняя огибающая c(t), и также, поскольку u(t) - кубический естественный сплайн как предложенный Huang и др. [1998], у нас должна быть нулевая кривизна в концах:



Это условие вынуждает U1 и U2 быть нулями тождественно. Поэтому, u(t) должен стремиться к прямой. Это начисто доказывает теорему.

Важное следствие вышеупомянутой теоремы:

^ Кроме данных со строго монотонными переменными амплитудами, градиент конечной прямой для общих данных должно быть нулем.

Это просто видеть, что единственные случаи, что градиент не нуль, были бы для строго монотонного увеличения или уменьшения в амплитуде колеблющихся данных. Поскольку большинство общих данных не строго монотонно в колебании амплитуды, градиент прямой должно быть нулем.

Этот возможный нулевой наклонный результат огибающих соглашается точно с асимптотическим состоянием в Wu и Huang [2010], опытным путем наблюдавших результат, что итерации отсеиваний до бесконечности произведет IMF постоянной амплитуды. Дополнительно, если Вы используете продление, чтобы обработать концевые эффекты введением экстремумов на границах, чтобы расширить огибающие, осуществляя EMD, то амплитуда огибающих всегда будет постоянной.

В последовательных процедурах EMD мы извлекаем компоненту с самой высокой частотой от данных и переходим к компоненте со второй самой высокой частотой в остаточных данных. Процедура продолжается, пока не получена функция тренда. С реализацией EEMD экстремумы распределения вторых или более высоких мод удовлетворяли бы условию разреженности, которое мы устанавливаем выше. Соответственно, амплитуда IMF2 или выше должна была бы быть постоянной, если определение IMF строго удовлетворено.

Если будет использоваться сплайновая функция высшего порядка, то вышеупомянутое ограничение прямой все равно будет правильно, только условие разреженности будет удовлетворено в более высоких компонентах IMF. Сплайн высшего порядка, однако, фактически непрактичен и мог даже следовать неконвергенцией и также произвести искусственные более высокие частотные изменения. Огибающая, определенная функцией, кроме естественного сплайнового нулевого условия кривизны требовала бы, чтобы другое условие определило искусственные условия. Поэтому, вышеупомянутое заключение могло быть расширено на любую сплайновую реализацию EMD с любым заказом.


^ 4. Обсуждение и Заключение

Теперь, у нас есть два результата, одно эмпирическое, в форме Wu и Huang [2010], и одно теоретическое, в форме существующей теоремы, чтобы выявить конфликт EMD, и возможная цель: производить материально значимые IMFs. И эмпирические, и теоретические результаты указывают на асимптотическое состояние бесконечного числа итераций отсеивания. Эмпирический результат далее установил процессы, как достигаются конечные IMFs постоянной амплитуды. Эти два результата вместе помогают нам понимать причуду операции отсеивания: способность операции отсеивания разбивать совершенные IMF далее. Понимая процессы, мы можем получить дальнейшее понимание значения IMFs и операций их получения.

Интересная причуда операции отсеивания - способность разбиения функции, которая, кажется, совершенной IMF, в большее количество отдельных компонент. Рассмотрите следующую тригонометрическую тождественность:



Функцию слева можно рассматривать как состоящую из носителя и длительного периода огибающей. В этой форме, функция ясно удовлетворяет определению IMF и должна быть расценена как единая. В то же самое время справа, это может быть рассмотрено как две сосуществующих синусоидальных функции, у каждой есть константа частота. Поскольку α и β оценивают близко друг другу, банк двоичного фильтра никогда не должен квалифицированно отделить их.

Факт, что это возможно для EMD, чтобы разбить функцию на отдельные компоненты, как показано в Huang и др. (1998) удивляли и озадачивали. Проблема: Почему EMD может производить совершенные IMF? С существующей теоремой и эмпирическими наблюдениями Wu и Huang [2010] мы можем объяснить эту причуду как логическое следствие EMD. Причина - то, что огибающая, определенная EMD, только аппроксимация совершенного IMF в терминах кубической сплайновой функции. Поскольку совершенная огибающая по природе не кубическая функция сплайна, EMD вынуждает огибающую, чтобы быть ей. В процессах количество итераций отсеивания должно будет быть выше и выше, и группы двоичного фильтра имеют все более узкие и более узкие полосы. Таким образом, также увеличивается способность разделить компоненты. К сожалению, с увеличением число итераций, огибающая приближается к прямой. Увеличение итераций заставляет фильтр группировать центральные частоты, получающиеся более близкими; и таким образом дает возможность операции EMD разбивать бьющиеся волны, данные с левой стороны, в индивидуальные компоненты, данные справа. Позвольте нам пояснять это условие следующим примером. Рассмотрите данные





Рис. 3. Данные модулированного цуга волн

Форма волны дана в рис. 3. Волна - определенно носитель, модулированный низкочастотной оболочкой. Когда мы эти данные обработали EMD с кубическим естественным сплайном, мы получили следующие IMFs, которые показаны на рис. 4, в зависимости от различного количества итераций.



Рис. 4. IMFs от различного количества итераций реализации EMD. (a) для 5 итераций, модуляционная структура - доминирующая особенность. (b) для 100 итераций, модуляционная структура все еще видима. (c) для 10 000 итераций, модуляционная волновая структура исчезает полностью, и ясно представлены два индивидуальных компонента.


Иллюстрация 4(a) показывает следствие результата низкого количества итераций в 10, как предложено Wu и др. [2009]; мы получили 6 IMFs, но показываем здесь только 5. Модулированная волновая структура - доминирующая особенность, но можно видеть некоторую утечку уже ко второму компоненту IMF. Иллюстрация 4(b) показывает следствие результата промежуточного количества итераций в 100; здесь мы получили 9 IMFs, но показываем здесь только первые 5 для ясности самых важных компонентов. Модулированная структура исчезает, но все еще видна в первой компоненте IMF. Второй независимый компонент теперь растет к сопоставимой величине с первым, из-за уменьшающейся частотной разности и неизбежной утечки. Конечно, можно было также рассмотреть это как увеличивающуюся мощность фильтрации. У группы фильтра есть намного более близкий пиковый частотный сбор к более высокому итеративному номеру, как найдено Wu и Huang (2010). Иллюстрация 4(c) показывает следствие результата высокого количества итераций в 10 000; здесь мы получили 28 IMFs, но снова мы показываем здесь только первые 5. Модулированная волновая структура полностью невидима. Эти два доминируют над IMFs, как дано в IMF1 и IMF2, имеют сопоставимую величину с постоянными амплитудами. Поскольку центроидные частоты получаются ближе, и утечка также становится все более и более серьезной, как обозначено ненулевыми компонентами кроме первых двух IMFs. На данном этапе, огибающая приблизилась к своей постоянной нулевой наклонной форме, как предсказано теоремой, представленной выше.

Большое количество итераций действительно можно было рассмотреть, поскольку имеющая группа фильтра чрезвычайно остро фильтрует. По рьяному отсеиванию с большим количеством итераций показал, чтобы быть квалифицированным достигнуть элементарного разделения как в Huang и др. (1998).



Рис. 5. Данные модулированного цуга волн с истинными и сплайновыми огибающими.

Разность между истинными и сплайновыми огибающими ясно видима.

Теперь, позвольте нам исследовать механизм, как EMD отделяют совершенный IMF как дано уравнением (17). Иллюстрация 5 дает данные, истинные и сплайновые огибающие. От этого числа можно видеть, что кубический естественный сплайн действительно дает, по-видимому, приемлемую огибающую по сравнению с первоначальным теоретическим. Поскольку сплайновая огибающая - аппроксимация, есть видимые разности.



Рис. 6. Разность между истинной и сплайновой оболочкой для данных с амплитудой модуля.


Чтобы показать разности более ясно, мы составили график разности между истинной оболочкой и верхними и нижними огибающими, определенными кубическим сплайном в рис. 6, вместе со средним значением сплайновых огибающих; разность является большой и могла иметь остро локальные изменения. Среднее значение - много сглаживающего контура. Такая разность снабжает механизм, который позволяет EMD на кубическом естественном сплайне постепенно разбивать модулированную волну, чтобы отделить компоненты. Поскольку какую-нибудь модулированную волну можно было рассмотреть как биения отделенных компонентов, где мы должны разграничивать физическую содержательность? Это - философская так же как практическая задача. Наша последовательная позиция, что модулированная волна математически эквивалентна своим отдельным компонентам. Однако, разделить бьющиеся волны на их постоянные амплитудные индивидуальные компоненты было бы эквивалентно, чтобы вернуться к представлению данных Фурье. К сожалению, чтобы представление Фурье было законным, процессы должны были бы быть и линейными и стационарными, когда будет совершенно постоянное амплитудное представление. Для естественных данных, которые могли быть и нелинейными и нестационарными, мы должны сохранить естественные модуляционные формы волны столь же полными и правдивыми, насколько возможно. У нас, однако, есть задача: каковы истинные огибающие этих модулированных волновых процессов? И как получить их? Мы предложили сплайн, как базис для аппроксимаций; они могут быть обработаны любым другим базисом, но адаптивно. Зная, что EMD - аппроксимация, и что погрешность будет расти с каждой итерацией отсеивания, мы должны сохранить количество итераций низким. Следовательно, над сортировкой должно быть аннулировано, и такая практика не рекомендована под любой ситуацией. Поэтому, отсеиванием не надо злоупотреблять, и такая практика не рекомендуется ни в каких ситуациях. С помощью этой теоремы и эмпирических наблюдений, мы, наконец решаем проблему, как EMD мог разделить совершенную модулированную волну на ее индивидуальные компоненты: все потому, что кубическая естественная сплайновая огибающая - аппроксимация.

EMD и многие из его вариантов, такие как EEMD и CEEMD доказали свою полезность. Нет ничего неправильно с определением IMF; задача является результатом реализации EMD. Из-за отсутствия любого жизнеспособного варианта была предложена сплайновая пригонка. Проблемы, связанные с этим, были идентифицированы рано в разработке метода EMD, который применил эмпирическую реализацию, чтобы получить приблизительные IMFs, который физически значимы. Раздражающая проблема недостатка в объективном множестве правил ее реализации является результатом настойчивости того, чтобы быть физически значимым, что не может быть определено строго и математически. Основав предельную форму прямой амплитуды IMF согласно строгому требованию симметрии, мы, кажется, точно определили корень теоретического конфликта. Поэтому, есть новая безотлагательность, чтобы обнаружить способ решить это. Есть две опции, доступные для нас, чтобы преодолеть эту трудность.

Первая опция должна сторониться сплайнового подхода. Поскольку конфликт здесь возникает через реализацию EMD естественным сплайном, не требовать, чтобы сплайн устранил бы конфликт. Фактически, сплайновая реализация для EMD основана на удобстве. Огибающая не должна быть сплайновой функцией, как свежей работой Hou и др. [2009]. Будущая разработка идет все еще полным ходом.

Вторая опция должна принять аппроксимацию для IMFs, то есть, мы ослабляем условие остановки и определение IMF, если EMD осуществлен через сплайн, как предложено Huang и др. [1998]. Это - причина того, что условие отсеивания никогда не должно проводиться в жизнь к пределу SD = 0, и также объяснение, почему Huang и др. [2003] и Wu и Huang [2010], отговаривают от большого количества отсеивания. Было указано во введении EMD, что эффект отсеивания должен избавиться от стоячих волн, но побочный эффект может сделать амплитуду более равномерной. Большое количество отсеиваний сделало бы амплитуду IMF, приближающейся к константе, как следствие отсеивания, и также граничного условия естественной сплайновой функции и растяжения на границе. Любым путем, материальное значение было бы осушено от следующего IMF. Во все времена такой практики нужно избегать.

С вышеупомянутыми наблюдениями мы можем видеть, что строгий подход к определению IMF со сплайновой подгонкой привел бы к смешному результату, как ясно установленному предыдущими изучениями Huang и др. [2003] и Wu и Huang [2010]. Но приближенное решение, предложенное Huang и др. [1998], может привести к раздражающей ситуации: различный критерий останова привел бы к различным следующим множествам IMF. Другими словами, мы нуждаемся в объективном стандарте для аппроксимации. Трудность может быть приписана отсутствию объективно решительного оптимального критерия остановки, который является пока иллюзорной целью. Хотя EEMD очень привел режим, смешивающий неравенство значительно, это полностью не решило дилемму. К сожалению, истощенный поиск был не в состоянии обнаруживать решение. Многие испытания из схем оптимизации критерия остановки как функции количества итераций n, заканчиваются в компактных выпуклых множествах с решением в недопустимом n = . Среди немногих доступных опций самая притягивающая - установленный номер итераций в отсеивании. Wu и Huang [2009] показали, что если количество итераций определено в 10, EMD был бы банк двоичных фильтров, несмотря на эти недостатки. Этот выбор квалифицированного конца определения основан на другом рассмотрении: разделение компонентов IMF и минимум утечки. Как показано Wu и Huang [2004] и Flandrin [2004], даже когда EMD оптимален как банк двоичных фильтров, между соседними компонентами есть все еще утечки. Утечка увеличилась бы с отношением средних частот от соседнего узла, спадающего до меньше чем 2 [Wu и Huang (2010)]. Поскольку отношение, уменьшающее ортогональное свойство, было бы четным, процесс ухудшается. Чтобы сохранить максимальное разделение и минимальную утечку, банк двоичного фильтра - оптимальный выбор. Таким образом, если мы выбираем установленное итеративное время отсеивания, у нас мог бы быть объективный стандарт для реализации EMD. В этом случае, у нас должно всегда быть log2 N компоненты IMF от EEMD, с N как общее количество точек на графике.

В этой работе мы сообщили, что теоретический результат объяснил некоторые из озадачивающих явлений, связанных с EMD. Проблема теперь ясна, но конфликт все еще ждет своей полной разрешающей способности. Должно быть понято, что EMD, как осуществляется теперь, является аппроксимацией относительно кубического сплайнового базиса. При существующем обстоятельстве мы далее заключаем, что установленное низкое количество итераций было бы лучшей опцией в это время, поскольку это поставляет наилучшее приближение.











Смотреть в подлиннике:http://geogin.narod.ru\hht\link03\emd2010.pdf


Примечание: Если Вы использовали этот материал для каких-либо своих нужд и выполнили редактирование перевода, то прошу Вас выслать редактированный текст по E-mail davpro@yandex.ru. С удовольствием заменю на своем сайте нередактированный перевод Вашим с указанием Вашей фамилии и (если разрешите) электронного адреса.

А.В.Давыдов.




Похожие:

Внутренние модовые функции iconИсследование функций Цели урока
Понятие функции синуса. Исследование функции (ее свойства). Уметь строить график функции. Находить по графику промежутки возрастания...
Внутренние модовые функции iconЗадача Для заданной графически функции: а записать аналитическое выражение функции
Задача Заданную на графически функцию продолжить на четным и нечетным образом. Полученные функции разложить в тригонометрический...
Внутренние модовые функции iconТригонометрические функции. Тригонометрические функции числового аргумента
Определение чётной, нечётной функции. Как расположены графики четной и нечетной функции?
Внутренние модовые функции iconТригонометрические функции. Тригонометрические функции числового аргумента
Определение чётной, нечётной функции. Как расположены графики четной и нечетной функции?
Внутренние модовые функции iconУрок по теме: Четные и нечетные Функции
Цель урока: Ввести понятие четной и нечетной функции; научить определять четность и нечетность функции; Формировать умение исследовать...
Внутренние модовые функции iconУчет квадратичной нелинейности
Квадратичную по искомой функции (по зависимой переменной) нелинейность можно учесть в ланранжиане членом, пропорциональным кубу этой...
Внутренние модовые функции iconКонтрольная работа №7 «. Производная функции. Уравнение касательной к графику функции» 1 вариант Решить уравнение, если
Найти все значения параметра, при которых производная функции принимает только положительные значения
Внутренние модовые функции iconУрок №1 Тема: Линейная функция и ее график
Цели: ввести понятие линейной функции, научить находить по формуле значение аргумента и значение функции; научить составлять формулу...
Внутренние модовые функции iconВариант Продифференцируйте функции: а
Вычислить значение производной функции f(X) при указанном значении аргумента: а) f(X) = (2x2 – 3x + 1)sinx, f'(0) = ?; б) f(X) =,...
Внутренние модовые функции iconЗадача №1 Написать программу вычисления функции F
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов