Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» icon

Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы»



НазваниеСписок примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы»
Дата конвертации27.08.2012
Размер59.75 Kb.
ТипДокументы

Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы».

Лектор Абрамова Е.В.

1. Выписать все элементы представимого множества чисел для ЭВМ с параметрами:

  1. =2; t=3; L=-2; U=1

  2. =3; t=2; L=-1; U=2

2. Найти количество элементов представимого множества для ЭВМ с параметрами:

=2; t=7; L=-4; U=5. Выписать минимальный и максимальный положительные элементы.

3. Указать правила оценки абсолютной и относительной погрешностей функций :

y=xn; y=ax; y=ex; y=ln(x); y=sin(x).

4. Найти относительную погрешность результата: F=4P/M5, где

Р=2,97 ; В=10,1; М=0,15.

5. Сколько верных значащих цифр должны содержать исходные данные при вычислении по

формуле V=4/3 R3 для нахождения решения с 5-ю верными значащими цифрами?

6. Высота h и радиус основания цилиндра R измерены с точностью 0.5 %. Какова относительная

погрешность при вычислении объема цилиндра?

7. Вычислите на калькуляторе корни уравнения со всеми верными значащими цифрами в мантиссе, с которыми считает калькулятор (кроме, возможно, последней). Правильность ответа обоснуйте. Коэффициенты считать заданными точно.

8. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу найти решение системы

2x-y+7z=9

6x+3y+9z=6

4x-2y-2z=2.

Объясните необходимость выбора ведущего элемента.

9. С помощью LU-разложения решить систему

2x+y+z=4

6x+2y+6z=16

-4x-4y+8z=4.

Указать область применения LU-разложения.

10. Записать расчетную формулу метода простой итерации, критерий останова и оценку

достаточного числа итераций для нахождения решения системы с точностью

 x+20y-10z = 10

10x+2y+3z = 21

2x+18z = -12.

11. Решить систему методом прогонки



12*. Для системы с пятидиагональной матрицей А, состоящей из главной диагонали, соседних

с ней двух наддиагоналей и двух поддиагоналей, предложите модификацию метода прогонки

с указанием формул и правил вычисления всех прогоночных коэффициентов.

13.
Методами бисекции, простой итерации, Ньютона и секущих найти с точностью 10-3 все

действительные корни уравнения x4-x-1=0.

14. Для методов простой итерации, секущих, Ньютона записать критерий остановки,

обеспечивающий нахождение решения с 5-ю верными значащими цифрами.

  1. Процесс решения нелинейного уравнения с помощью стандартной программы метода

Ньютона сходится очень медленно или зацикливается. Укажите способ преодаления

зацикливания при том же начальном приближении.

  1. Опишите способ применения алгоритма продолжения для решения нелинейного уравнения

sin(x)=x3.

  1. Какой метод для достижения заданной точности сходится за меньшее количество итераций: бисекций или простой итерации? Предполагается, что для метода простой итерации выполнены достаточные условия сходимости.

  2. Определить порядок p и знаменатель q скорости сходимости метода бисекций.

  3. Какой метод для достижения заданной точности сходится за меньшее количество итераций:

метод Ньютона или метод секущих? Предполагается, что достаточные условия сходимости

выполнены.

  1. В методе обратной квадратичной интерполяции следующее приближение к решению нелинейного уравнения находится как корень интерполяционного полинома второй степени, постороенного по трем последним приближениям. При определенных условиях этод метод сходится с порядком p=1,839. Какой метод можно расценивать как более быстрый: бисекций, простой итерации, Ньютона, секущих или обратной квадратичной интерполяции?

  2. Записать расчетную формулу метода секущих и критерий останова для нахождения решения ур-я с точностью 5 %: x-sin(x)=0,25.

  3. Записать расчетную формулу для решения системы нелинейных ур-й с внешними итерациями по методу Пикара и внутренними по методу 1) Зейделя ; 2)простых итераций:

x - 5y + z + xy =4

x + y - 20z + 2xz =28

10x + y + z + xz =1

  1. Решить методом Ньютона с точностью е=0.05 систему уравнений

x3- y2=1

xy3-y=4.

Начальное приближение (1,5 ; 1,5).

24. Для системы уравнений x-5y+z+xy-4=0

x+y-20z+2xz-28=0

10x+y+z+xz-1=0

записать формулы методов, в которых внешние итерации осуществляются :

а) по методу Пикара б) по методу Ньютона;

внутренние: а) по методу Зейделя б) по методу простых итераций.

Начальное приближение (9; 1; -9).

  1. По таблице функции y=2x, заданной в узлах х=0,1,2,3, приближенно вычислить 21.9 с помощью интерполяционного многочлена второй степени. Сделать априорную оценку погрешности и сравнить ее с реальным значением.

  2. Значения функции в таблице заданы с одинаковой абсолютной погрешностью d, а значения x точно. Доказать, что при линейной интерполяции неустранимая абсолютная погрешность значения интерполяционного многочлена не превосходит d.

  3. Пусть требуется составить таблицу функции y=ln(x) с постоянным по х шагом на отрезке [1; 100]. Какой величины должен быть шаг, чтобы а) при линейной б) при квадратичной интерполяции погрешность интерполирования была не больше, чем 0.0005?

  4. Составляется четырехзначная таблица функции y=sin(x) с постоянным шагом h по х на отрезке [0; 1.57]. Какой величины требуется брать шаг h , чтобы погрешность вычисления значения функции с помощью линейной интерполяции по полученной таблице не превосходила 0.0001?

  5. Записать интерполяционные многочлены первой и второй степени для приближения значения в точке 2.15. Построить графики интерполяционных многочленов.

x 1 2 3 4 5

y 5.17 2.31 1.7 2.11 4.29

  1. Для функции, заданной таблицей, определить коэффициенты полинома второй степени по методу наименьших квадратов. Построить график полученного многочлена.

  2. Функция y=a/x+dx задана таблицей приближенных значений. Определить коэффициенты а, d по методу наименьших квадратов.

  3. Вывести систему нормальных уравнений для определения коэффициентов a, b, c функции g(x)=asin(x) +bex+c , приближающей таблично заданную функцию, по методу наименьших квадратов.

  4. Функция у(х) задана таблицей: х 0 1 2

у 1 4 6

а) Построить кубический сплайн с дополнительными условиями:

1) S’(0)=S’(2); S”(0)=S”(2);

  1. S’(0)+S’(1)=1; S”(2)-0.5 S”(1)=0.

б) Построить единственный сплайн, удовлетворяющий условиям:

  1. S(0)=1; S(1)=4; S(2)=6;

S’(1-0)=S’(1+0);

S”(1-0)=S”(1+0);

2) S(0)=1; S(1)=4; S(2)=6;

S’(1-0)=S’(1+0); S’(0)=S’(2)

Для каждого из случаев указать дефект сплайна.

  1. Для шага h=1 вычислить интеграл а) по формуле трапеций; б) по формуле центральных прямоугольников; в) по формуле Симпсона. Оценить погрешность по правилу Рунге и с помощью априорной оценки. Произвести уточнение по Рунге.

  2. Получить квадратурную формулу интерполяционного типа с четырьмя узлами в шаблоне. Определить порядок сходимости полученной формулы.

  3. Получить весовые квадратурные формулы интерполяционного типа с двумя узлами в шаблоне для вычисления интегралов:

а) б) в) г) д)

Вывести априорные оценки погрешности. Указать достаточные условия на гладкость f(x), при которых эти оценки справедливы.

(36.) Для интеграла найти значение квадратурной суммы составной формулы Гаусса с

двумя узлами в шаблоне при разбиении отрезка интегрирования на две части.

  1. Сводя двойной интеграл к повторным и применяя квадратуру трапеций по х и квадратуру Симпсона по y, получить квадратурную формулу вычисления интеграла

 , где D: ; hx=1; hy=1.

Указать значения узлов и коэффициентов.

  1. Вывести формулы разностных производных второго порядка:

. Определить, с каким порядком каждая из них

аппроксимирует вторую производную.

  1. Для задачи Коши y’=-5y; y(0)=1 найти значение в точке х=0.4 с шагом h=0,1 . Оценить погрешность по Рунге. Найти уточненное значение по Рунге. Применить а) метод Эйлера;

б) метод Рунге-Кутты второго порядка .

  1. Для задачи Коши 5y”+y’exy=x ; y(1)=0; y’(1)=2 выполнить один шаг длины h=0.5 явного метода Эйлера.

  2. Вывести формулы следующих методов первого порядка: а) Рунге-Кутты; б) рядов Тейлора;

в) явного одношагового метода Адамса.

  1. Вывести формулы следующих методов Адамса: а) явного трехшагового; б) неявного двухшагового. Определить порядки методов.

  2. Определить порядок линейного многошагового метода и исследовать его на сходимость:



  1. Для краевой задачи y”+9y’-5y=10x, 0

  2. Для задачи : записать а) явную разностную схему; б) неявную разностную схему; в) схему Кранка-Николсона. Указать порядки аппроксимации.




Похожие:

Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconСписок экзаменационных вопросов по курсу «Методы и средства контроля загрязнения ос»
Оптический спектр электромагнитных колебаний. Энергетические и фотометрические величины
Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconСписок экзаменационных вопросов по курсу «Основы моделирования»
Методология математического планирования эксперимента (мпэ). Алгоритм проведения экспериментального исследования на основе мпэ
Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconСписок экзаменационных вопросов по курсу «Системы экологического мониторинга»
Принцип априорной информационной неопределенности Реймерса в отношении объектов природопользования, экологических и антропотехнических...
Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconСписок экзаменационных вопросов по курсу «Приборы и системы для анализа объектов ос»
Основные задачи пробоподготовки как составной части лабораторного анализа проб. Примеры способов пробоподготовки
Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconСписок задач по курсу «Вычислительные сети» (1-й семестр)
Написать программу, устанавливающую сеанс связи с почтовым сервером по протоколу pop3 и реализующую консоль работы пользователя
Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconДокументы
1. /Мак-Кракен Д.Численные методы и программирование на Фортране.1977.djvu
Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconДокументы
1. /Allted Решения экзаменационных задач/ekz4-4.txt
2. /Allted...

Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconЛинейное программирование. Методы решения одношаговых задач оптимального управления
Методы решения таких задач получили название математического программирования. Простейшим случаем математического программирования...
Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconСписок экзаменационных препаратов. Комплекс Гольджи

Список примерных экзаменационных задач по курсу «Численные методы» iconМосковский департамент образования лицей №1533 (информационных технологий)
Сам алгоритм был реализован фирмой Intel®, заказчик решил использовать его в курсе «Алгоритмы и численные методы», читаемого в Лицее,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов