Суммируя числовые ряды… icon

Суммируя числовые ряды…



НазваниеСуммируя числовые ряды…
Дата конвертации27.08.2012
Размер90.64 Kb.
ТипДокументы

Суммируя числовые ряды…


Здесь собраны несколько школьно-студенческих задачек примерно такого типа: чему равна сумма 1+1/3+1/9+1/27+…. =? Этот пример легко решить через формулу геометрической прогрессии 1/(1-1/3))=3/2. Можно привести такие суммы, которые равны бесконечности: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+…., так называемый гармонический ряд, чья сумма (частичная) близка к логарифму числа слагаемых. Интересно, что вычитание этих двух расходимостей здесь дает в пределе константу, называемую постоянной Эйлера-Маскерони. Есть еще «странные ряды типа 1-1+1-1+1-1+1-, сумма которых считается по-разному (варианты: 1,0,1/2). Замечу, что если мы здесь будем рассматривать расходящиеся ряды, то делать будем это весьма неаккуратно.


^ 1. Сумма обратных квадратов

Если загляните в справочник, то увидите ответ, ставший классическим:

(1)

Меня всегда поражало, как из натуральных чисел можно получить иррациональности. Каков путь вывода (1)? Оказывается, идея плодотворна и красива, восходя к теории рядов Фурье. Напомню себе и вам, что в этой теории вначале вводится множество базисных функций φk(x), заданных на промежутке [a;b], равно как и раскладываемая функция f(x) из достаточно широкого класса функций. Затем говорится, что f(x) есть линейная комбинация бесконечного числа слагаемых, а коэффициенты можно найти из скалярного домножения ряда на φk(x):

(2)

Тут очень много взято от линейной алгебры, в частности, базисность функций понимается как ортогональность друг другу (скалярное произведение φk(x) на φl(x) равно 0, если k не равно l). В противном случае коэффициенты ak было бы сложно найти. Классический тригонометрический ряд Фурье- это система φk(x)=coskx, k=0,1,2…, x[-;]. Правда, чтобы можно было раскладывать не только четные функции (есть теорема, что всякая непрерывная функция представляется единственным образом в виде суммы четной и нечетной функции), сюда еще добавляют синусы. Нормировка в знаменателе ak легко находится (уф, по причине слабой памяти и лени, приходится дублировать учебники):

(3)

Вернемся к нашей задаче. Если фиксировать x, что первое соотношение (2) есть просто числовой ряд. Таким образом, если f(x) подобрать так, чтобы ak=1/k2 или близко к этому, то сумма ряда находится просто вычислением функции в точке.

Итак, пусть f(x)=x2 (в знаменателе члена ряда ведь тоже квадрат, не так ли?), а базисная система классическая.
Нужно интегрировать, причем, как водится, «по частям»:

(4)

Распишем полностью f(x) и f(x=):

(5)

Отсюда следует и ответ, приведенный в справочнике. Можно буквально даром получить еще одну сумму (при x=0):

(6)


^ 2. Вариации на тему обратных квадратов

1) (7)

При a=1 сумма вычисляется с помощью одного трюка: дробь представляется в виде разности двух дробей, и получается разность двух рядов, один из которых сдвинут влево на 1 член. Тот же трюк работает и для целого a=n (надо только начать суммирование с k>n). Однако, как насчет дробных типа ½ или иррациональных типа 2? Вот здесь и проявляется великая сила метода, чем всегда и славилась математика!

Итак, пусть f(x)=cos(ax), а все остальное прежнее. Рутинные выкладки смотри ниже:

(8)

Проверим на «вшивость» (7). В пределе a->0 должно получаться (1), собственно говоря, вот еще один легкий вывод (1), даже в чем-то проще, поскольку интегрировать здесь короче. Итак, все нормально:

(9)

2) (10)

Один путь- в лоб: взять f(x)=ch(ax) (гиперболический косинус) и проделать снова рутинные выкладки. Второй путь: рассуждать в терминах комплексных числах, сделав присвоение a=ib, и воспользоваться (7). Напомним, что cosb=(exp(ib)+exp(-ib))/2, chb=(exp(b)+exp(-b))/2.

Вероятно, следует сделать оговорку, что в (7) и, по-видимому, (10) параметр a дробный, нецелый.


^ 3. Сумма обратных «сдвинутых» квадратов

Рассмотрим более сложную задачу, полагая знаменатель члена ряда квадратным трехчленом. Допустим, что он имеет вещественные корни, и можно записать:

(11)

Чтобы не усложнять себе жизнь, примем a,b неотрицательными. Нетрудно видеть, что задача сводится к однопараметрической:

(12)

Мы видим (12), что данный ряд непосредственно связан с гармоническим. Не утруждая себя доказательством перестановочности знаков интегрирования и суммирования, заметим, в частности, что при a=b s(a,b)=f(a), при a=0,b=1 s=1 и, вообще, при b=m, a=n- натуральных необходимо лишь просуммировать члены гармонического ряда с n-го по m-й. Что касается значений функции f(x), то они могут при a=n (желательно небольших по величине) быть вычислены сразу, ибо:

(13)

Из этого с большой долей уверенности можно утверждать, что вряд ли удастся получить аналитическое выражение для f(x), поскольку трудно было бы иметь тогда предельным переходом выражения (13). Тем не менее полезно проследить некоторые связи при a нецелом..

Введем обозначения:

(14)

В некоторых рядах, что встретятся нам, присутствует расходимость, но, тем не менее будем оперировать с ними смело, обычным образом, но держа неограниченность их суммы в уме. Путь, на котором мы будем стоять, заключается в интегрировании функции g(x), которая есть сумма геометрической прогрессии, и поиске значений первообразной при x=1. После однократного интегрирования получим выражение (15) для функции φ(p) и после повторного интегрирования – f(p):

(15,16)

Наиболее общими выражениями для s(a,b), следующими из двух представлений (12), будут:

(17)

В последнем выражении lnx возник из-за интегрирования по параметру p. Очевидно, для практического применения больше подходит первое выражение в (17). Важным частным случаем здесь является наличие комплексных корней у квадратного трехчлена, т.е. a=A-iB,b=A+iB, Можно принять, чтобы не возникало потом проблем со сходимостью интегралов, A>1 – это сильно не повлияет на рассуждения, поскольку всегда можно сдвинуть точку отсчета ряда, подсчитав отдельно сумму нескольких первых членов ряда. Итак, для комплекснозначных корней имеем (18):

(18)

Пора снять некий урожай с полученных формул. Для a=1,b-a=1/2 имеем формулу, для которой известен вывод через разложение в ряд Тейлора ln(1+1):

(19)

Для a=1,b-a=1/3 имеем уже трудно выводимую иным путем формулу:

(20)

Можно также получить полезную оценку расходимости интегралов:

(21)


^ 4. Упрощение некоторых полиномов

Мы использовали прием (14)-(15), связанный с интегрированием. Но можно, дифференцируя, геометрическую прогрессию, получать точные значения для некоторых сумм. В этом можно убедиться на примере следующей задачи, подсмотренной мною в одном учебнике:

Вычислить (22)

Ход решения представлен ниже:

(23)

Итоговая формула получается после утомительных выкладок, громоздка и, очевидно, наибольший эффект от ее применения будет достигаться при больших N:

(24)

Самолично проверял справедливость ответа при x=1/3,N=2 (S=16/9). Первое слагаемое, таким образом, представляет собой сумму ряда при 0

^ 5. О фрагментах гармонического ряда

Доказательство расходимости гармонического ряда можно построить, как это делается в учебниках, из применения критерия Коши – например, через:

(25)

Мы пойдем иным путем, без обращения к языку «ε-δ». Пусть S – конечная сумма всего ряда, SN – частичная сумма ряда:

(26)

Просуммируем ряд немного по-другому, оценим его сумму сверху и получим противоречие с (23) при N>1:



Известен факт, что гармонический ряд расходится по логарифмическому закону. Более того, можно записать при N→∞:

(27)

При доказательстве этого факта ниже мы постараемся получить ряд полезных «побочных» продуктов. Поэтому нам удобно перед этим ввести определение дзета-функции (функции Римана), обобщив тем самым ряд предыдущих результатов:

(28)

Хотя дзета-функция определена на множестве комплексных чисел, но нас интересует ее значения в целочисленных вещественных узлах z=s.

Само по себе (27) неудивительно. Ведь частичная сумма ряда есть нижняя сумма Дарбу для интеграла на почти бесконечном отрезке или нижняя сумма Дарбу для (в первом случае шаг равен 1, во втором – 1/N). Ну а интегрировать мы умеем…

Здесь имеет смысл подойти деликатнее, а именно, так:

(29)

Доказательство (27) и вычисление постоянной Эйлера сводится к вычислению суммы ряда (29). В справочниках приводится разложение логарифма в ряд Тейлора и, каким бы неуместным ни казался этот прием (с точки зрения построения здания математической дисциплины), воспользуемся им. И притом в таком варианте:

(30)

Позвольте мне не тратить время на доказательство того, что при фиксированном N функции φk ограничены или, что более сильно, стремятся к нулю при k→0. В правой части оказался знакопеременный ряд, и он подпадает под действие признака Лейбница сходимости рядов. К сожалению, этого недостаточно для искомого, поэтому придется для ясности выписать еще одну формулу:

(40)

Мы видим, что в худшем случае на каждом шаге к частичной сумме прибавляется обратный квадрат номера, а такой ряд, как показано выше, сходится.

Устремляя N к бесконечности, из (30), учтя определение (28), получаем элегантное соотношение, связывающее постоянную Маскерони с дзета-функциями:

(41)

Но и это не все. Давайте из (29) разложим логарифм немного иначе:

(42)

С некоторым сомнением, но возьму на себя смелость выписать просящееся на «язык» соотношение:

(43)

Почти наверняка, каких трудов стоило бы получить (41) и (43) из каких-то иных соображений, ведь даже не для всех k значения дзета-функции табулированы.

Теперь рассмотрим вопрос о сходимости такого фрагмента гармонического ряда, как сумма обратных простых: 1+1/2+1/3+1/5+1/7+…+1/p. Поскольку простые числа идут достаточно разреженно, то есть шанс, что этот ряд сходится. Однако, это не так. Доказательство основано на том, что: во-первых, всякое натуральное число есть произведение степеней простых чисел; во-вторых, сумма обратных произведений степеней простых есть произведение суммы обратных степеней простых:

(44)

Здесь на короткое время мы отойдем в сторону, чтобы получить известную формулу-определение дзета-функции. Наши рассуждения не изменятся, если суммировать будем не обратные, а степенные величины:

(45)

Логарифмируя (44), получим:



В виде исключения вышеприведенное доказательство изложим в более рафинированном виде. Достаточно доказать неограниченность суммы обратных простых:



Для затравки мы умеем уже в запасе неограниченность гармонического ряда:



Пусть на отрезке [1;N] находятся L простых (p1,p2,…,pL), и тогда для всякого n в указанном промежутке n=p1α1•p2α2•...•pLαL , причем 0≤αl≤α=log2N. Далее:



(46)

Таким образом, нужно выбрать С1, присвоить С2=expC1, подобрать соответствующее N(C2), а по нему вычислить L и выполнить присвоение K=L.

В приведенном док-ве вопрос может вызвать значение const. Воспользуемся тем, что по крайней мере при |x|≤1/3 xl в степени βl по определению меньше N, то все следует из цепочки:

(47)

При выводе (47) достаточно было, однако, принять очевидное L
Доказать этот факт я самостоятельно не смог, равно как и интегральный закон распределения простых L(N). Однако приведу то малое, в чем я продвинулся:

Лемма:

(48)

► R(N) представляет собою N первых слагаемых гармонического ряда плюс какие-то его «разреженные» кусочки вплоть до 1/M, M=NL. Сколько всего слагаемых? Нетрудно видеть, что α (48) и каждое из них уникально. Например, если α1=1, α2=1, то (1+1/p1)(1+1/p2)=1+1/p1+1/p2+1/p1p2 имеем 4 слагаемых (α=2*2=4). Если R(N) сжать до «сплошного», то получится сумма s(α) из α слагаемых. Что касается величин αi, то ограничения (48) на них следуют из определения piαi≤Niαi+1. Таким образом, первое неравенство доказано.

Нужно показать, что (s(α)≈lnα или, по крайней мере, s(α)E):

(49)

Будем рассуждать по индукции. При изменении N на 1 либо число простых не изменяется, либо, если N+1=pL+1, к сумме L слагаемых нужно добавить ln2. Поэтому докажем, что:

(50)

Что равносильно неравенству (51):

(51)

Но про φ(N), памятуя ln(1+x)
(52)

Для корректности, из-за «мигающего» ln2, эту оценку можно усилить, приняв L
Если бы легко было получить N

На этом я прощаюсь с читателем до лучших времен . Возможно, мне самостоятельно удастся получить ζ(3) и что-нибудь из велосипедов в магазине цепных дробей.


Matigor

Дата идеи и написания:

Фрагментарно 2004г., март 2005




Похожие:

Суммируя числовые ряды… icon«Математика свободы»: числовые парадигмы уголовно-правового дискурса
В статье анализируется частостность упоминаемости натуральных чисел, которыми фиксируются меры наказания в уголовных кодексах различных...
Суммируя числовые ряды… iconУроки Название темы Часы Дата Повторение 6 Урок 1 Числовые выражения

Суммируя числовые ряды… iconРебусы решите следующие числовые ребусы. Различным буквам соответствуют различные цифры

Суммируя числовые ряды… icon1 сентября в мбоу «сош №5» состоялся праздник, посвященный Дню Знаний и Дню Государственности кбр. В 2012-2013 учебном году приняла в свои ряды 80 первоклассников
Мбоу «сош №5» состоялся праздник, посвященный Дню Знаний и Дню Государственности кбр. В 2012-2013 учебном году приняла в свои ряды...
Суммируя числовые ряды… iconGo Vegetarian
Ой (!ой!ой!), а вы знаете, кажется ряды sXe регулярно пополняются! Да и не просто схе, а прям какие-то хардлайнеры развелись!
Суммируя числовые ряды… iconИзмерение информации
Вещество и энергия имеют числовые характеристики, выраженные в единицах измерения. Можно измерить вес, длину, температуру, силу тока,...
Суммируя числовые ряды… iconМуниципальный этап. 11 Класс 1 тур
По какому принципу образованы ряды? Назовите понятие, общее для приведенных ниже терминов, объединяющее их
Суммируя числовые ряды… iconКлятва воина на верность Родине
Военная присяга торжественное обещание, даваемое каждым гражданином при вступлении в ряды Вооруженных Сил
Суммируя числовые ряды… icon«Вчера школьники, сегодня защитники Отечества»
В 2009 году на срочную службу в ряды РФ призвано 5 выпускников – 2008 года моу сош №10
Суммируя числовые ряды… iconМуниципальный этап. 9 Класс 1 тур
По какому принципу образованы ряды? Назовите понятие, общее для приведенных ниже терминов, объединяющее их
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов