Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов icon

Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов



НазваниеГеометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов
Дата конвертации27.08.2012
Размер118.81 Kb.
ТипДокументы

Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов


Для моего склада ума очень привлекательно получать численный ответ некоторых задач не в виде числа с многими цифрами (которое суть результат некоторого процесса, быть может бесконечного – например, ). Заманчиво было бы, например, найти точное значение синуса или тангенса какого-нибудь угла. Тривиальные примеры здесь: . Важно отметить, как раз этим значениям соответствуют два ясных геометрических построения, а именно равнобедренного прямоугольного треугольника и разделенного пополам высотой равностороннего треугольника. И еще сделаю одно замечание, смысл которого легко недооценить – эти треугольники можно построить с помощью циркуля и линейки (об этом позже). Дальнейшее изложение дано в виде последовательности задач.

Перед этим выпишем некоторые полезные школьные тригонометрические формулы (для простоты знака градусов писать не будем, т.е. 25 вместо 250, а углы считаем острыми, т.е. от 0 до 90):









Напомним, что синус монотонно возрастающая функция угла (от sin0=0 до sin90=1). Через нее выражаются однозначно косинус (1), тангенс (2). Формулы (3) являются совершенно полезными, например, для исчисления косинусов тупых углов формулами приведения. Формула (4) является основной для исчисления синуса суммы; с помощью (1-3) и нее можно получить несколько аналогичных формул (например, для тангенса разности углов). Из (4) можно легко получить формулы (5), (6). Формулы (7-9) есть полезный частный случай формулы (4) и ей подобных. В школьных учебниках не упоминаются формулы тройных углов (10-12), но их легко можно получить из (4) и (7-9).

^

1. Формула половинного аргумента. Значения sin150 и sin750.


Выведем еще одну формулу, дающую ответ на вопрос: если известен синус угла, то каков синус половинного угла? Введем обозначения – X=sinα, x=sin(α/2). Тогда очевидна следующая цепочка формул (из (1) и (7)):



Остановимся на последнем переходе. Неоднозначность знака корня решена в пользу знака «минус», в силу замечания о монотонности синуса. Таким образом, имеем формулу (13):

gif" name="object8" align=absmiddle width=203 height=45>

Найдем sin15. Положив α=30, из (13) получим:



Альтернативный и простой путь без использования (13), основанный на тождестве sin(45–30)=sin15, показан ниже:



Легкой забавой является найти cos15, он же sin75, и tg15 (естественно, из (1) и (2)):



^

2. Пентаграмма. Значения sin180, sin360, sin720.


Если угол 150 можно построить через биссектрису половинного равностороннего треугольника (как это сделать, см. ниже в п.4), то угол, скажем, в 360 связан с раствором луча звезды (или соответственно есть половина центрального угла правильного пентагона). Точное значение x=sin18 оказывается найти возможно.

Все решает тождество sin36=cos54, или будучи дано через 180:



Отсюда легко получить все сопутствующие синусы:



К сожалению, убрать внешний знак радикала не представляется возможным (хотя такой трюк мы проделали при нахождении cos15). Дальше он усложнит нам жизнь.

С помощью (13) найдем также sin9:
^

3. Значение sin30. Проблема нахождения sin10 и sin100.


После решений пп.1-2 нахождение sin3 представляется очевидным, хотя из-за этого внешнего радикала и громоздким – sin3=sin(18-15). Результат таков:



Крайне заманчиво получить точное значение sin1. Зная его, легко можно было получить sin10=sin(9+1) и тригонометрические функции от других целочисленных углов – например, 70 или 770. Легче исходить из 100, синус которого ищется как корень кубического уравнения:



Нужное нам приближенное решение sin10.17364817766693

Данное уравнение классифицируется как «неприводимый случай», и метод Кардано предлагает вычислять cos20, что по сути является «кругом в доказательстве». Этот пример показывает неэквивалентность двух формулировок алгебраичности числа; классическая гласит – «вещественное число называется алгебраическим, если оно суть корень полинома с целыми коэффициентами», а вторая символическая – «вещественное число алгебраическое, если оно может быть представлено через 4 арифметических действия плюс операций возведения в рациональную степень натуральных чисел». Числа, с которыми мы прежде сталкивались, были т.н. квадратичными иррациональными (пусть и многократными), т.е. имели вид . Даже при допущении кубичных радикалов мы не смогли выразить решение (вещественного!) последнего кубического уравнения!

Не надо думать, что к случае sin180 мы столкнулись с исключением. При нахождении y=cos(π/7) 0.90096886790242 из тождества sin(3π/7)=sin(4π/7) имеем кубическое уравнение 8y3-4y2-4y+1=0.

Использование кубичных радикалов представляет собой ересь с точки зрения геометрии. В самом деле, возможно построить отрезок длины , но невозможно никакими средствами построить и на плоскости, и (как мне кажется?) в пространстве отрезок длины . По той же причине неразрешима задач о трисекции угла, что мы пытались делать на примере перехода 300→100 алгебраическими средствами. Отсюда, невозможно построить угол равный в точности 100.

^

4. Что значит «построить»?


Школьный курс геометрии сохранил в своем составе элегантную и очень красивую тему «задачи на построение» (интересно, существуют ли задачи на построение в пространстве?). Итак, вы имеете перед собой чистый нелинованный белый лист бумаги, остро заточенный карандаш, линейку без делений и циркуль, раствор которого можно менять. Поэтому вы можете только:

  • Наносить точки в любом месте бесконечной плоскости (или отмечать их на пересечении двух линий)

  • Проводить прямые линии через одну или две точки

  • Соединять две точки отрезком

  • Проводить окружности с центром в данной точке

  • «Соединять» две точки окружностью, причем первая – центр окружности, а вторая – лежит на последней.

Следует напомнить, что нахождение способа, например, построения равностороннего треугольника дает от силы 30-40% решения; указанный способ нужно обосновать. Стандартными задачами на построение, результатами решения которых вполне можно пользоваться в более сложных ситуациях, являются:

  • Деление отрезка пополам;

  • Построение перпендикуляра к данной точке прямой;

  • Построение перпендикуляра к прямой из произвольной точки вне ее;

  • Построение параллели к данной прямой, проходящей через данную точку вне ее.

Первая задача базовая; тот же способ построения используется во второй, и с модификациями в третьей. Четвертая задача сводится к двукратному решению третьей. В качестве примера разберем предпоследнюю задачу, решая ее независимым способом.

Дано: a, Аа

Построить: b//a, Ab

Решение:

Способ построения:

  1. Отметим произвольную точку Oa

  2. Проведем окружность радиуса ОА с центром в т.О.

  3. Отметим т.В и т.С. – точки пересечения прямой и окружности, причем АВ>АС (т.е. относительно т.О т.А и т.С по одну сторону)

  4. Зафиксируем раствор циркуля r=АС (или даже проведем окружность этого радиуса из т.С)

  5. Проведем окружность того же радиуса из т.В.

  6. Пусть D – точка пересечения первой окружности и последней (в той же полуплоскости, что и т.А относительно пр.а)

  7. Проведем прямую АD, она есть искомая b.



Доказательство:

На рис. черным указаны данные, красным и оранжевым – вспомогательные построения., под номерами # - шаги построения. Нужно доказать по крайней мере, что ВСАD – трапеция; для этого достаточно показать равенство углов BOD=ODA. Очевидно, что BOD, ODA, AOC равнобедренные по построению 1-й окружности. Углы при основании равны: ODA=OAD (в частности). По 3-му признаку BOD=AOC (т.к. по построению оранжевые отрезки равны BD=AC). Очевидно, что BOС=1800. Применяя к трем треугольникам теорему о сумме углов треугольника, легко получить искомое равенство (через DOA=BOС-2BOD).


Типичной задачей на построение является, например, такая: по данным длинам двух оснований и двух боковых сторон построить трапецию. Она очень схожа с игрой в детский конструктор – из палочек сложить «домик».

Из многообразия задач на построение нас в первую будут интересовать метрические задачи, т.е. когда по заданному отрезку единичной длины необходимо предъявить отрезок или угол, выражающий определенной число. Важнейшую роль играют теорема Пифагора и теорема Фалеса. Первая позволяет вычислять квадратные корни, а вторая – строить пропорциональные отрезки на сторонах угла, отсекаемые семейством параллельных прямых.

^

5. Важнейшие метрические задачи


Задача №1а. Построить отрезок, соответствующий натуральному числу N.

Итак, у нас имеется «шаблон» отрезка единичной длины. В произвольном месте чертим прямую, отмечаем на ней т.А. Раствор циркуля «прикладываем» к шаблону. Чертим окружность с центром в т.А, делаем насечку в т.В. на прямой, итак АВ=1. Чертим окружность с центром в т.В., делаем насечку в т.С на пересечении прямой и окружности, АС=2. Повторяем последний шаг N раз и получаем отрезок AX=N. Построение настолько очевидно, что не стоит затраченных на его объяснение слов.

Задача №1b. Построить отрезок, соответствующий числу 1/N.

В равносильной формулировке – разделить данный отрезок на N равных частей. Обозначим концы отрезка АA’. Построим произвольную прямую, не совпадающую с АВ, проходящую через т.А. Повторим циркульные построения задачи 1а. Проведем прямую A’Х. Построим параллельную ей прямую, проходящую через первый «циркульный отрезок» АВ, т.е: пр. b: АВ=1, Bb, b//A’Х – см разобранную в п.3. стандартную задачу. Точка пересечения b и отрезка АА’ дает искомый отрезок АВ’. Доказательство основано на теореме Фалеса.

^ Задача №1с. Построить отрезок, реализующий рациональное число m/n.

Нужно сделать два шага: начертить отрезок длины m (см. 1а) и разделить его на n частей (см. 1b). Все.

^ Задача №1d. Построить три отрезка, соответствующие сумме, разности и произведению двух чисел m и n.

Решим задачу в более общей формулировке. Даны шаблоны трех отрезков, имеющих длины p,q,r (при этом эти длины могут выражаться любыми положительными вещественными числами). В исходной формулировке r=1, p строится по способу задачи 1а (p=m), q – аналогично (q=n). Необходимо построить отрезки длин x=p+q, y=|p-q|, z=pq/r (очевидно, m*n=pq имеет, строго говоря, размерность см2, т.е. площади, а не длины, но это не должно смущать – у нас всегда в запасе деление на единичный отрезок, которое нормализует размерность).

Первые два отрезка стоятся до позора тривиальным способом. Из произвольной т.А проводится прямая, на ней откладывается циркулем отрезок p (p>q) с концами А и В. Далее окружность с центром в т.В радиуса q, имеющая точки пересечения с прямой т.С и т.D, причем DАВ. Итак, АD=y, AC=x.



На рис. показан общий ход решения. Берется произвольный угол, на его одном луче откладывается отрезок OP=p, на другом – отрезок ОR=r. Затем на последнем луче откладывается OQ=q, и через q проводится параллель к PR. Она пересекает вторую сторону угла в т.Z. Отрезок OZ и есть решение задачи.

^ Задача №2а. Дан отрезок длины Х. Построить отрезок длины Хn, т.е. возвести число в натуральную степень.

Решение – несколько раз исполнить процедуры задачи 1d для p=X, r=1. В роли q выступает результат предыдущей итерации, начальное значение – q1=X.

^ Задача №2b. Построить отрезок длины 1/X, т.е. научиться вычислять отрицательные степени.

Решение – частный случай 1d при p=q=1, r=X.

Задача №2с. Вычислить .

Геометрия знает несколько ситуаций, когда в чертеже реализуется нелинейность. Наиболее простая ситуация – прямоугольный треугольник. Легко проверить, что если гипотенуза равна (X+1), а катет – |X-1|, то половина второго катета как раз равна . Остается только построить указанный треугольник…

Итак, исходно дано 2 шаблонных отрезка: 1 и Х. Построим отдельно отрезки a=X+1 и b=|X-1|. Проведем прямую и отложим отрезок АВ=b. К т.В восстановим перпендикуляр h. Проведем окружность радиуса a с центром в т.А. Она пересечет перпендикуляр в т.С. Отрезок ВС разделим пополам т.D. Отрезок СD есть ответ.

Второй способ также связан с прямоугольным треугольником, основываясь на следующей теореме: «Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на два отрезка так, что является средним геометрическим их длин». Дополнительно, для построения третьей вершины треугольника, используется теорема об угле, опирающемся на диаметр.

Построение разбивается на шаги:

  • Строим две перпендикулярные прямые ab, Ca,Cb

  • Откладываем два отрезка на одной прямой: AC=1, CB=X, ABb, AB=AC+CB

  • Находим т.О – середину АВ

  • Строим окружность радиуса АО с центром в т.О

  • Окружность пересекает пр. a в т.D, AD есть ответ.


Среди ситуаций, чреватых получением квадратичных иррациональностей, отметим возможность применения теоремы косинусов (и синусов), а также теоремы о секущей и касательной. Последняя связывает соотношением OC2=OA*OB проведенные из точки О вне окружности длины касательной ОС и секущей АB (O сек.AB, А и В – точки сечения). Эти примеры показаны на рис. ниже.



Теперь рассмотрим задачи, которые с натяжкой можно отнести к метрическим. С другой стороны, они дают нам возможности быстро строить отрезки сложной длины, т.е. быстрым геометрическим путем проводить алгебраические вычисления.

^ Задача №3а. Построить биссектрисы треугольника, заданного длинами сторон a,b и с.

Достаточно построить одну биссектрису, например, к стороне с. Воспользуемся теоремой о том, что биссектриса делит сторону на отрезки, длины которых относятся как длины прилегающих к ним сторон. Шаги построения следующие:

  • На прямой откладываем отрезок с=АВ, из его концов проводим две окружности радиусов a и b

  • Отмечаем точку пересечения окружностей - т.С, две другие, т.А и т.В., уже отложены; таким образом, нужный треугольник построен;

  • На прямой АС откладываем за точку С расстояние b (т.B’)

  • Проводим прямую BB’

  • Из т.С проводим прямую d//BB’, она пересечет АВ в т.D

  • CD – искомая биссектриса.

Буквально задаром мы получили некий отрезок (биссектриса), длина которого равна:



Эту формулу можно получить, приравнивая площадь большого треугольника к сумме площадей двух маленьким, рассчитывая все площади через формулу с синусом угла между двумя сторонами. Полагая, например, a=X, b=4/3, c=1/2(X+4/3), можно добиться равенства L=, т.е. получить новый способ решения задачи №2с.

^ Задача №3b. Построить угол, равный сумме двух данных α и β.

Итак, в качестве входного шаблона теперь не отрезок, два луча, испущенных из точки. Мы должны уметь задавать угол α в любой точке плоскости, в том числе и повернутым на некий угол β – это эквивалентна формулировка.

Удобно рассматривать у гол не сам по себе, а в качестве угла треугольника с фиксированными длинами сторон. На шаблоне угла α засечем две точки на его лучах и соединим их отрезком; всего имеем три отрезка. Затем поступим, как и в задаче №3а (1-й шаг). Выберем один из лучей копии угла и проделаем то же с углом β, но в другой полуплоскости. В частности, если α=β, то мы научились удваивать углы.

^ Задача №3с. Построить угол, мера которого в N раз больше величины данного угла α.

Очевидно, если Nα>1800, то задача лишена смысла (понятие «угла поворота» есть фикция с точки зрения наивного восприятия). Шаги построения таковы:

  1. На шаблоне дугой радиуса 1 «насечем» равнобедренный треугольник

  2. Отметим основание Х треугольника карандашом

  3. Построим окружность Ψ радиуса 1 в любой точке (т.О)

  4. Проведем луч от т.О. и отметим точку пересечения с Ψ (т.А0)

  5. из т.А0 проведем окружность Ψ1 радиуса Х, отметим точку пересечения Ψ и Ψ1 – т.А1

  6. Проведем луч ОА1 и повторим п.5. для т.А1 ровно N раз.

  7. Искомый угол АNOA0

Задача №3d. Разделить угол на N равных частей.

Построение возможно для N=2n (n=1,2,3…) – путем n-кратного решения задачи #3a. Для остальных N (в частности, задача трисекции – N=3) проблема неразрешима.

Не знаю, насколько можно считать приведенное ниже рассуждение математическим доказательством, но строгого д-ва мне по неграмотности моей неизвестно. Какие бы мы ухищрения с окружностями и прямыми ни делали, но мы всегда будем вертеться вокруг дробно-линейных, квадратичных комбинаций длин, в лучшем случае нам будет доступен радикал второй степени. На рис. ниже (а) показано одно такое ухищрение: каждой точке полупрямой Q2B соответствует точка полуокружности – в частности, бесконечно удаленной точке соответствует т.А. Каждому отрезку Q1Q2 соответствует дуга (в приближении отрезок ломаной P1P2). Это преобразование f(q1,q2) нелинейное; при необходимости по заданным отрезкам длин q1 и q2 найти отрезок длины f(q1,q2) может быть выполнено либо специальным образом подобранное построение (в данном случае оно простое – строится окружность радиуса 1, отрезки отсекаются на касательной, и затем их концы соединяются «верхушкой»), либо последовательно производятся примитивные алгебраические действия над отрезками стандартными методами. Например, можно вычислить полином пятой степени от отрезка длины Х (коэффициенты задаются отрезками-шаблонами).

Трисекцию угла можно равносильно заменить оперированием с прямоугольным треугольником (см. рис. ниже (b)). Вернее, пользуясь определением тангенса, свести задачу к поиску отрезка длины х, если задан отрезок длины а. Для этого нужно геометрически решить кубическое уравнение. Непременно «вылезут» кубичные радикалы, которые строить мы не в состоянии. А если уравнение окажется «неприводимым» (см. выше о синусе 100), то выхода нет. Но если бы мы расширили наш арсенал средств, например, операцией спрямления «дуги» (на практике это отвечает, скажем, измерению ширины талии рулеткой), то указанная проблема исчезла бы.



Лучшее, что можно предложить в такой ситуации (помимо банального обращения к транспортиру), - это использовать итерационный подход, пример которого для нахождения корня из 2, дан в начале статьи. Если удастся подобрать сжимающее отображение xn+1=F(xn), отвечающее смыслу задачи, то путем многократно повторяемых построений задача может быть алгоритмизируема. Разумеется, если только мы зададим некую точность, по достижении которой алгоритм заканчивает работу…


Дата идеи – года 3-4 назад

Дата написания – 10-11 июля 2007

Matigor




Похожие:

Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconЗначения тригонометрических функций некоторых углов

Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconТаблица для умножения и деления чисел. 3 класс На какое число нужно умножить или разделить каждое из чисел в колонке
На какое число нужно умножить или разделить каждое из чисел в колонке, чтобы получить число, следующее за ним
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconТема урока: «Сумма углов треугольника»
Цель урока: доказательство теоремы о сумме углов треугольника с применением ранее изученного материала; применение теоремы для нахождения...
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconТема: Форматы представления чисел в компьютере
Целочисленный формат (или формат с фиксированной точкой) используется для кодирования целых положительных и отрицательных чисел,...
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconРабочий лист по теме
Для облегчения счета люди стали использовать пальцы сначала одной руки, затем обеих, а в некоторых племенах и пальцы ног. Следующим...
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconВ одномерном массиве произвольных чисел найти количество нечётных элементов
Из одномерного массива произвольных чисел целых чисел сформировать 2 массива: a массив четных чисел и b массив нечетных чисел
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconВводные замечания
В подобных моделях используются всякого рода "приметы": от графических начертаний до маги­ческих чисел типа "золотого сечения", "чисел...
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconПроизошедшие компиляции в pseudo-nostradamique литературе
Было бы необходимо спросить себя о праве на существование чистых источников в Центуриях и в Эпистолах "centuriques" (Цезарю и Генриху...
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconТреугольники. Задачи на построение
Треугольник, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (сторонами треугольника), имеющими попарно по одному общему концу...
Геометрическое построение чисел, или о синусах некоторых углов iconЛогика +смекалка
Постарайтесь найти закономерность в последовательности фигур, букв или чисел, для того чтобы продолжить ее или исключить лишнее
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов