Существует ли функция Дирака? icon

Существует ли функция Дирака?



НазваниеСуществует ли функция Дирака?
Дата конвертации27.08.2012
Размер102.95 Kb.
ТипДокументы

Дельта-функцию следует держать на цепи

Д.И. Блохинцев (1950)

Существует ли функция Дирака?



Название статьи несколько провокационно, а провокация нацелена на то, чтобы поднять вопрос о экзистенциальной правомерности формального определения функции Дирака. Для профессиональных математиков данный вопрос покажется слегка надуманным, как и любые дискуссии по основаниям математики. Профессиональные философы сочтут же его слишком мелким и специализированным. Тем не менее, вопрос этот существует…

Философская категория существования нас в этой статье интересует лишь в аспекте целостности ноэтического, по Гуссерлю, акта. За скобки исследования, например, мы выносим проблему существования Двойки как идеального объекта в мире метафизических сущностей. В нашем понимании Двойка существует в качестве единой целостности из двух элементов.


Истоки представления [4] о дельта-функции (дф) относятся решению волнового уравнения Г.Р. Кирхгофом (1882). Затем основатель операционного исчисления Оливер Хевисайд пришел к «импульсной функции» [7], описывающей ускорение материальной точки при ударе о стенку – в современных обозначениях:

(1)

Во втором томе "Электромагнитной теории" (1899) помимо введения дф как результата действия дифференциального оператора на функцию-ступеньку (ныне всем известная функция Хевисайда) ученый привел массу интересных её свойств, в частности разложение в ряд Фурье:

(2)

При этом «наивное» определение (1) спокойно уживалось с представлением Хевисайда о том, что дф – это обычная функция. Сторонники математической строгости того времени этим возмущались, а Хевисайд писал: «По этой причине я больше не буду колебаться, используя этот метод там, где будет нужно в дальнейшем, особенно в таких простых случаях, которые, как показывает этот пример, являются ясными и без большого труда могут быть усвоены практическими физиками и электриками, но не кембриджскими математиками консервативного толка, которые смотрят в зубы дареному коню и качают головами с мрачной улыбкой».

Физик-теоретик Поль Дирак (1928) активно пользовался символикой дф при написании научных статей и книг (см. «Основы квантовой механики», 1932). Подход Дирака был несколько иным: условие бесконечности в нуле превратилось в интегральное соотношение [5]:

(3)

Авторитет Дирака сыграл большую роль в признании дф общественностью, причем уже тогда стало очевидным, что дф не является обычной функцией.
Сущность этого подхода можно выразить так [6]: «… при решении конкретных задач математической физики дельта-функции (и другие сингулярные функции) встречаются, как правило, только на промежуточных этапах; в окончательном ответе сингулярные функции или вовсе отсутствуют или фигурируют под знаком интеграла… нет прямой необходимости отвечать на вопрос, что такое сингулярная функция сама по себе: нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и «хорошей» функции»… мы можем теперь отождествить «сингулярную функцию» с тем функционалом, о котором конкретно идет речь, это и будет вполне достаточным её определением…».

Впоследствии функциональный подход получил развитие в работах советского математика Сергея Соболева (1935-6) и французского ученого Лорана Шварца (1950), усилиями которых была создана теория обобщенных функций. После выхода в свет монографии Шварца «Теория распределений» началось торжественное шествие дф по страницам книг и учебников.

Ситуацию с дф метко охарактеризовал Зельдович [3]: «Ясно, что, определяя дельта-функцию, мы вводим в рассмотрение совсем новый объект, не похожий ни на один из тех, с которыми нам ранее приходилось встречаться (вот уж когда нашу функцию никак нельзя назвать «аналитической»). Однако описание этого нового объекта не выглядит сложно и оно не должно нас смущать. Ведь, скажем, и число √2, с которым математикам столь часто приходится иметь дело, с точки зрения арифметики настоящим числом не является: оно задается не точным своим значением, а лишь совокупностью приближений 1;1.4; 1.41; 1.414; 1.4142;… к этому числу (которые, впрочем, характеризуют √2 достаточно полно для того, чтобы мы могли свободно этим числом пользоваться). Аналогично и функция (x) задается не точными своими значениями, а лишь приближениями к ней – высокими и узкими ступеньками; эти приближения полностью нашу функцию характеризуют. Дирак и другие физики многие годы свободно и продуктивно пользовались дельта-функциями, не заботясь о строгом определении этих удивительных объектов»


О каких приближениях сказано? Интеграл (3) нельзя взять в обычном римановском смысле. Поэтому он рассматривается символически в качестве предела:

(4)

Стоящие под знаком предела интегралы уже можно взять обычным способом, если удачно задать семейство «иглообразных» функций {(x,)}. Непрерывная или кусочно-непрерывная функция (x,) аргумента x, зависящая от параметра , называется иглообразной, если:

(5)

Из последнего интеграла вытекает удобный способ формирования последовательности таких функций [1,2]:



Для теории обобщенных функций имеет значение, каковы и функции (x), на которые действует дельта-функция. Считается, что они должны иметь непрерывные производные всех порядков и быть отличными от нуля лишь на некотором отрезке [-T;T] на числовой прямой. Для определения дф эти ограничения не слишком существенны, а важно лишь, что значения интегралов (5) стремятся к (0).

Функциональный подход, напрямую связанный с теорией меры (а точнее, с вопросами замены переменных в интеграле), приводит к таким свойствам дф:

(6)

Многомерные дф вводятся аналогично, исходя из необходимости непротиворечиво взять кратные интегралы. Соотношения (6) поэтому ничтожны, если мы пытаемся говорить о них как о самостоятельных свойствах дф, вне знака интеграла. С другой стороны, их анализ полезен: так, из (6а) при а= –1следует четность дф, что влечет за собой легкий недочет в определении функции Хевисайда (x), считающейся первообразной дф. Например, Владимиров определил в серьезном учебнике [5] (x) односторонне, но предпочтительнее было бы дать симметричное определение (7б):

(7)

В самом деле:



Придирчивый читатель мог бы заметить, что мы не имели права применять интегральное определение ни к 1, ни к функции Хевисайда по причине их отличности от нуля на бесконечности (а тета-функция еще и разрывна!) – но это по большому счету устраняется введением последовательности непрерывных (x) . Как придиркой является и наша поправка о тета-функции, но она показывает, что в недрах самой теории обобщенных функций скрыты неявные семантические трудности. У меня, например, вызывает некое смущение два предельных перехода (читай – бесконечности!), имплицитно присутствующих в (3), их неперестановочность, т.е. мы вначале вынуждены интегрировать, а потом переходить по пределу по параметру. Справедливости заметим, что матанализ знает много таких полуэкзотических примеров. Будем также внимательны и к основным функциям (x) – требование непрерывности и даже дифференцируемости, наложенное на них, приводит в появлению третьего инфинитизального параметра. Таким образом, при определении дф играют между собой три бесконечности, и получается, что и сам отрезок интегрирования должен быть малым, а шаг интегрирования еще более малым, но еще мельче следует быть характерному времени (т.е. по абсциссе) для изменения функций. Слишком семантически громоздко!

Подводя предварительные итоги, скажем, что есть два подхода к пониманию дф – «наивный» физический, рассматривающей дф онтологически в качестве функции с особым значением в нуле, и функциональный математический, для которого дф является лишь символическим обозначением некого оператора, ставящего в соответствие каждой функции из специально определенного множества некое число. Оставаясь в рамках второго подхода, мы не имеем право говорить о значениях дф в какой-либо точке, тем самым лишая её наглядности. Оставаясь в рамках первого подхода, мы утрачиваем математическую строгость. Этот подход можно назвать онтологическим, поскольку он сохраняет нам дф как математический объект. Второй подход назовем же конвенциальным; он отвечает «нет» на вопрос, вынесенный в заглавие статьи.

По моему мнению, успех Соболева и Шварца не исключает и альтернативного пути задания дф, приемлемого и для физиков, и для математиков. И здесь свое веское слово должна сказать философия, понуждающая работать математиков в этом направлении. Мы, конечно, знаем из истории, как трудно «приручать» бесконечность. Грандиозная попытка ввести актуальную бесконечность в математику была предпринята Кантором, и хотя теория множеств сейчас прочно обосновалась в умах современных математиков, но лишь немногие воспринимают её сущность сердцем. Найденные же противоречия в основаниях теории множеств являются благом с точки зрения философии, а для настоящего математика делают его науку лишь интереснее…

Альтернативный путь, каким я его вижу, заключается в прямом и лобовом включении бесконечности () в конструкции матанализа. Более того, робкие попытки этого уже сделаны в таких традиционных для учебных курсов понятиях, как сфера Римана и расширенная числовая прямая (комплексная плоскость). Я даже хочу еще и обратиться к практике программирования; например, в известном математическом пакете MATLAB принято, что числовая переменная помимо обычных значений может иметь два особых значения: Inf и NaN, т.е. бесконечность и неопределенное значение (not-a-number). Сходный пример: в программировании иногда указатели могут возвращать значение NULL, семантически тождественное пустоте NaN. При этом для программиста Inf и NaN качественно ничем не отличаются от обычных чисел. Наша же математическая культура во многом консервативна, над ней витают призраки 19-го века; мы еще боимся работать с бесконечностью напрямую, еще слишком привыкли к удачному паллиативу, найденному Коши в знаке lim. Таким же паллиативом мне представляется и нынешняя теория обобщенных функций.


Поговорим подробнее о расширенной числовой прямой. Вот что написано в новом учебнике Шведова [8]: «В современной математике наряду с вещественными числами используют элементы  и –, называемые «бесконечность» и «минус бесконечность», а множество называют расширенной числовой прямой. При этом считается, что –x для всякого x. Операции сложения и умножения распространяются на лишь частично: остаются неопределенными выражения –+, +(–), –, *0, –*0, 0*, 0*(–). Кроме того, считается, что 1/=1/(–)=0». Понятно, почему математикам понадобилась расширенная прямая – уж очень соблазнительно иметь отображение по закону 1/x замкнутого множества [–1;1] в замкнутое [–;+], а не в интервал (–;+). Еще более красива конструкция сферы Римана, связанная с комплексной переменной; каждой точке комплексной плоскости zC ставится взаимнооднозначное соответствие с точкой сферы (,,)3 по закону . Радиус сферы 1, центр приподнят в точку (0,0,1), а в северный полюс стремится перейти все множество точек из бесконечности |z|=. Если мы не прокалываем сферу в полюсе, желая сохранить образ (0,0,0), то вынуждены перейти к расширенной комплексной плоскости С.

Я бы привел еще одну конструкцию: 1/0=. Но такое простое знаковое соотношение встречается с оппозицией: во-первых, еще со школьных времен вдалбливалось – «делить на ноль нельзя»; во-вторых, возникает аллюзия с правилом Лопиталя и неопределенностями вида 0/0, /, что ведет к такому пояснению: «вероятно, вы имеете в виду, что бесконечно малая величина в степени (–1) дает бесконечно большую». То, что математики допускают лишь частичное распространение арифметических операций на , свидетельствует лишь о недостаточном осознании ими актуальности вопроса. Почему, например, не записать +(–)0 или 0*1? Признается же законной запись 1/=0? Однако, как мне кажется, для достижения необходимой степени корректности нужно изменить и понимание нами нуля и единицы. Это все вопросы к будущей теории – например, можно предложить сохранить запись 0*=1, введя наряду с Inf и новое число NaN, и подразумевая тождество 0*=11*NaN.

Следуя такому альтернативному пути, основанному парадигмальной установке на актуальную бесконечность, логично перейти от арифметических операций к аналитическим, т.е. взятию интеграла и производной. Однажды уже было: для нужд теории меры и теории вероятностей математикам пришлось обратиться в интегралу Лебега, отказавшись от римановского понимания интегрирования. Почему бы не сделать подобное еще раз, учитывая потребность обращения с обобщенными функциями – с тем, чтобы это название приобрело подлинный смысл, а не являлось маскировкой для некоторых функционалов? Почему бы не разработать такой математический аппарат, который привнес бы новый смысл в такие «еретические» выражения, как, например, ? Так, чтобы не подстраивать наше понимание дф под смысл интегрирования, а, наоборот, интегрировать по-новому, сохраняя за дф исконный смысл функции.

По-видимому, придется углубить и зрительный образ бесконечности. Важно понять, что знак  символизирует не одну точку, метафизически взятую нами с потолка, а связывает воедино сразу множество объектов, обладающим трансфинитным статусом, но, возможно, разнокачественных. Я бы сравнил бесконечность с вокзалом, куда на разные пути прибывают поезда со всех концов страны Математики. В одномерном случае тождество а*= (а0) проливает свет на интуитивную множественность бесконечностей, неразличимую в символе. Сфера Римана дает еще более убедительный пример, который окончательно снимает все недоговоренности и артефакты потенциальной бесконечности, еще видимые для 1D. Весь горизонт сжимается в единство одной точки. Иного рода пример множественности в единстве дают канторовские алефы. Подобно тому, как классический матанализ приучил нас к мысли о существовании разных бесконечностей (о-символика, степенной рост, экспоненциальный и т.д.), так и Кантор открыл спектр трансфинитных чисел 0, 1с, 221. В знаке  все эти бесконечности содержаться в неразличимом виде; в качестве вольной записи, скорее философской, чем математической, полезна будет такая: ={0, 1,…}. И тогда по-новому можно взглянуть на одно из свойств-определений дф – (0)=. Если характер значений обычной функции точечный, то значение обобщенной функции представляет собой множество. И здесь принципиально важно устранить путаницу с двумя сходными математическими конструкциями: 1) многозначное отображение, когда дается ab1, ab2, но не a{b1,b2}; 2) множество значений функции представляет собой точки наперед заданного множества сложной структуры, но не так, чтобы последнее множество было неизвестно.


Не следует расценивать статью как критику общепринятой теории обобщенных функций, ибо трудно отрицать значение работ Соболева, Шварца, Гельфанда, Владимирова и многих других – в частности, значение с точки зрения оснований математики. Но существующая и довольно развитая теория, продолжающая парадигму Коши и Вейерштрасса, не должна закрывать простор для иных толкований и формализаций обобщенных функций, начинающихся от интерпретации дельта-функции. По моему мнению, спокойствие страниц учебников обманчиво, а дельта-функция еще не раз преподнесет сюрпризы и еще не раз будет возмутителем спокойствия для философии математики.

Идея написания – сентябрь 2008

Дата написания – февраль-март 2009

Литература


  1. Дельта-функция — Википедия (ред. 21.02.2009)

  2. Дельта-функция — «Математика» http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html

  3. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982 – 512с.

  4. Владимиров В.С. Обобщенные функции и их применение // сер. «Математика и кибернетика». М.: Знание, 1990 – 48с.

  5. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике // сер. «Современные физико-технические проблемы» М.: Наука, 1979 – 320с.

  6. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959 – 471с.

  7. Болотовский Б.М. Оливер Хевисайд М.: Наука, 1985г. http://vivovoco.rsl.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CHAPTER_09.HTM

  8. Шведов И.А. Компактный курс математического анализа, ч.1. Функции одной переменной: Учеб. Пособие/ Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2001 – 112с.




Похожие:

Существует ли функция Дирака? iconF(А,В) = а  в логическая функция двух переменных
Логическая функция – это функция, определенная на множестве истинностных значений (истина, ложи) и принимающая значение из того же...
Существует ли функция Дирака? iconСвойства функций Область определения, множество значений, четность, нечетность, периодичность
Функция называется периодической, если существует такое число т = 0, что для любого Х из области определения этой функции выполняется...
Существует ли функция Дирака? iconСвойства функций Область определения, множество значений, четность, нечетность, периодичность
Функция называется периодической, если существует такое число т = 0, что для любого Х из области определения этой функции выполняется...
Существует ли функция Дирака? iconОсень 2010 планы лекций на 1 курсе Алгебра и геометрия
Непрерывность, точки разрыва. Начало дифф исчисления определение дифференцируемости и производной. Доказать, что функция дифференцируема...
Существует ли функция Дирака? iconКонспект на тему: Функция
Функция- зависимость переменной у от переменной X, если каждому значению Х соответствует единственное значение у
Существует ли функция Дирака? iconОсновы теории управления
Моя временная функция неожиданно оступилась и рухнула в трещину, а частотная функция рванула на бесконечность в нецензурном формате....
Существует ли функция Дирака? iconФункция y=kx2, её свойства и график Функция y=kx2

Существует ли функция Дирака? iconПереход к уравнению Дирака
Запишем снова лагранжиан для полей с половинным спином (напомню, что обозначения полей претерпели некоторое изменение – e2 стало...
Существует ли функция Дирака? iconЗадача Числовая последовательность задана соотношением
...
Существует ли функция Дирака? iconИнтегро–дифференциальные последовательности функций
Итак, в идп каждая последующая функция получается из предыдущей ее дифференцированием и, следовательно, каждая функция из идп является...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов