Нелинейная регрессия icon

Нелинейная регрессия




Скачать 94.48 Kb.
НазваниеНелинейная регрессия
Дата конвертации27.08.2012
Размер94.48 Kb.
ТипДокументы
1. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК.doc
2. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК1.doc
3. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК2.doc
4. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК3.doc
5. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК3а.doc
6. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК4.doc
7. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК5.doc
8. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК6.doc
9. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК7.doc
10. /12-14 шрифт. 150 страниц!(читать)/ЛЭК8.doc
11. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК.doc
12. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК1.doc
13. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК2.doc
14. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК3.doc
15. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК3а.doc
16. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК4.doc
17. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК5.doc
18. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК6.doc
19. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК7.doc
20. /8-10 шрифт. 65страниц. (печатать)/ЛЭК8.doc
1 предмет эконометрики
1 события и их вероятности
Функция распределения и плотность связаны соотношениями
Основы проверки статистических гипотез
Основы проверки статистических гипотез
Модель парной линейной регрессии
Нелинейная регрессия
Множествненная регрессия
Замещающие переменные
Системы одновременных уравнений
1 предмет эконометрики
1 события и их вероятности
Функция распределения и плотность связаны соотношениями
Основы проверки статистических гипотез
Основы проверки статистических гипотез
Модель парной линейной регрессии
Нелинейная регрессия
Множествненная регрессия
Замещающие переменные
Системы одновременных уравнений

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Если между экономическими явлениями существуют нели­нейные соотношения, то они выражаются с помощью соответ­ствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

  • полиномы разных степеней6:

у = а + bх + сх2 + e,

у = а + bx + cx2 + dx3 ++ e;

  • равносторонняя гипербола — у = а + b /x + е.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам от­носятся функции:

степенная — у = а хb+ е;

показательная — у = аbх + e;

экспоненциальная — у = еa+bx + e.

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяет­ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в парабо­ле второй степени

у = а0 + а1 х + а2 х2 + e,

заменяя переменные х =х1, х22, получим двухфакторное урав­нение линейной регрессии:

у = а0 + а1 х1 + а2 х2 + e,

для оценки параметров которого, ис­пользуется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка

y = а0 + а1 х + а2 х23 х3 + e,

при замене х = х1, х2 =x2, х3 = х3 получим трехфакторную модель линейной регрессии:

у = а0 + а1 x1 + a2 x2b+ a3 x3 + e,

а для полинома к-ro порядка получим линейную модель множественной регрессии с k объяс­няющими переменными:

у = а0 + а1 xl + а2 х2 + ... + e

Следовательно, полином любого порядка сводится к линей­ной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, сре­ди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего использу­ется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов бо­лее высоких степеней связаны с требованием однородности ис­следуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем боль­ше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна со­вокупность по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется харак­тер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравнива­ем к нулю первую производную параболы второй степени:

Если же исходные данные не обнаруживают изменения нап­равленности связи, то параметры параболы второго порядка ста­новятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заме­няется другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:



Решение ее возможно методом определителей:





где Δ – определитель системы;

Δa, Δb и Δc –частные определители для каждого из параметров.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу: ух = а + b/x.

Она может быть использована не только для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, т.е. на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соот­ношение между нормой безработицы x: и процентом прироста за­работной платы у:





Английский экономист А. В. Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х гг. XX в. установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

Для равносторонней гиперболы приведенного выше вида, заменив 1/x на z,получим линейное уравнение регрессии y = a + bz + e, Оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений составит:




При b > 0 имеем обратную зависимость, которая при х →∞ ха­рактеризуется нижней асимптотой, т. е. минимальным предель­ным значением у, оценкой которого служит параметр а. Так, для

кривой Филлипса yх =0,00679 + 0,1842∙(1/x) - величина параметра a,равная 0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста заработной платы в пределе стремится к нулю. Соот­ветственно можно определить тот уровень безработицы, при ко­тором заработная плата оказывается стабильной и темп ее при­роста равен нулю.

При b < 0 имеем медленно повышающуюся функцию с верх­ней асимптотой при х → ∞, т. е. с максимальным предельным уровнем у, оценку которого в уравнении дает пара­метр а.

Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного рода взаимосвя­зей получило название кривых Энгеля. В 1857 г. немецкий ста­тистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность - с ростом дохода доля дохо­дов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответ­ственно с увеличением дохода доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. Однако это уве­личение не беспредельно, ибо на все товары сумма долей не мо­жет быть больше единицы, или 100%, а на отдельные непродо­вольственные товары этот предел может характеризоваться ве­личиной параметра а для уравнения вида




у — доля расходов на непродовольственные товары;

х — доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода).

Правомерность использования равносторонней гиперболы в качестве кривой Энгеля легко доказывается. Соответственно можно определить границу величины дохода, дальнейшее увеличение которого не приводит к росту доли расходов на отдельные непродовольственные товары.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оценивае­мым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразде­ляется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная мо­дель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих пре­образований может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть све­дена к линейной функции. Например, в эконометрических ис­следованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:




где у — спрашиваемое количество,

х — цена,

e— случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пара­метров, ибо включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование дан­ного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду:

Соответственно оценки параметров а и b могут быть найдены МНК. В рассматриваемой степенной функции предполагается, что случайная ошибка в мультипликативно связана с объясняющей пе­ременной х. Если же модель представить в виде у = ахb +e, то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид.




В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелиней­ные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей. В этом плане к линейным относят, например, экспонен­циальную модель у = еa+bx+е, ибо логарифмируя ее по натураль­ному основанию, получим линейную форму модели

Lny =a+ bx+ lne

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, ус­пешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода . Модели внутренне нели­нейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Однако гораздо большее распространение полу­чили модели, приводимые к линейному виду. Решение такого ти­па моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных прог­рамм. Среди них, в частности, можно назвать и обратную модель вида


.


Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень ши­роко используется степенная функция у = ахb. Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолко­вание, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. О правомерности по­добного истолкования параметра b для степенной функции ух = аxb можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэф­фициента эластичности:



Где dy/dx - первая производная, характеризующая соотношение прирос­тов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Коэффициент эластичности, естественно, можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функ­ции он представляет собой постоянную величину, равную па­раметру Ь. В других функциях коэффициент эластичности за­висит от значений фактора х. Так, для линейной регрессии ух = а + b х функция и эластичность следующие:

dy/dx=b,



В силу того что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соот­ветствующего значения х, то обычно рассчитывается средний по­казатель эластичности по формуле



Для оценки параметров степенной функции у = а хb + e применяется МНК к линеаризованному уравнению lny = lna + b lnx+ lne.

Параметр b определяется непосредственно из системы, а пара­метр а — косвенным путем после потенцирования величины 1nа.

Поскольку параметр а экономически не интерпретируется, то нередко зависимость записывается в виде логарифмически ли­нейной. В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметром b < 0, а эластичность предложения: b > 0.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэф­фициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет эко­номического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение измене­ния значений в процентах. Например, вряд ли кто будет опреде­лять, на сколько процентов может измениться заработная плата с ростом стажа работы на 1 %. Или, например, на сколько процен­тов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, из­меряемое в баллах, изменится на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям, не может быть экономически интерпретирована.

Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита у (в процентах годовых) и срока его предоставления х (в днях), было получено уравнение регрессии ух = 11,684х0,352 с очень вы­соким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластич­ности 0,352% лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция ух = 21,1 + 0,403х, имеющая более низкий показатель корреля­ции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает в процент­ных пунктах изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на один день.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразо­ванным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нели­нейных по переменным, при оценке параметров исходят из кри­терия ∑e2 min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным дан­ным результативного признака, а к их преобразованным величи­нам, т. е. lnу, 1/у. Так, в степенной функции у = axb + e МНК применяется к преобразованному уравнению lny = lna + b lnx +lne.

Это значит, что оценка параметров основывается на миними­зации суммы квадратов отклонений в логарифмах.

Вследствие этого оценка параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенной.

Практическое применение экспоненты возможно, если ре­зультативный признак не имеет отрицательных значений. Поэто­му если исследуется, например, финансовый результат деятель­ности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована. Ес­ли экспонента строится как функция выравнивания по динами­ческому ряду для характеристики тенденции с постоянным тем­пом, то у = аbt, где у — уровни динамического ряда; t — хроноло­гические даты, параметр b означает средний за период коэффи­циент роста. В уравнении у = ea+bx этот смысл приобретает вели­чина антилогарифма параметра b.

При исследовании взаимосвязей среди функций, использую­щих ln у, в эконометрике преобладают степенные зависимости -это и кривые спроса и предложения, и кривые Энгеля, и произ­водственные функции, и кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производ­ства в период освоения выпуска нового вида изделий, и зависи­мость валового национального дохода от уровня занятости.

Добавить документ в свой блог или на сайт



Похожие:

Нелинейная регрессия iconДокументы
1. /ЛР1-Гистограммы.doc
2. /ЛР2-Обобщающие...

Нелинейная регрессия iconСпецификация модели простая регрессия
Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными —у и Х, т е модель вида, где у — результативный признак; Х...

Нелинейная регрессия iconТема 15. Регрессия регрессия, это инструмент статистики, на субъективность которого информатики могут сваливать все свои ошибки
Регрессия, это инструмент статистики, на субъективность которого информатики могут сваливать все свои ошибки

Нелинейная регрессия iconДокументы
1. /Гурбатов С.Н. Руденко О.В. Нелинейная акустика в задачах. 1990.djvu

Нелинейная регрессия iconДокументы
1. /Делоне Н.Б. Крайнов В.П. Нелинейная ионизация атомов лазерным излучением. 2001.djvu

Нелинейная регрессия iconШкола-конференция «нелинейные дни в саратове для молодых – 2011» Секция «Нелинейные явления в радиофизике и электронике»
Н. С. Фролов (фнп, 5 курс). Нелинейная динамика двух однонаправленно связанных генераторов с виртуальным катодом

Нелинейная регрессия iconНелинейная модель расписания общеобразовательного учреждения
«обучения детей навыкам общения и сотрудничества, поддержания оптимистической самооценки и уверенности в себе, расширения опыта самостоятельного...

Нелинейная регрессия iconРоссийская академия наук russian academy of sciences мтк межведомственный тектонический комитет
Земли, тектоника и геодинамика континентов, океанов и переходных зон, главная структурная асимметрия Земли, тектоническая цикличность,...

Нелинейная регрессия iconРитм и гармония: идеи учения живой этики и современная научная картина мира
Именно критерии красоты и гармонии доминировали в доньютоновой науке, начиная с Пифагора и кончая Кеплером, что позволило, обходясь...

Нелинейная регрессия iconДокументы
1. /Model_Zadanie/Laba1 Стат. гипотезы/Opisanie1.doc
2. /Model_Zadanie/Laba1...

Нелинейная регрессия iconДокументы
1. /dsp01-Введение в цифровую обработку сигналов.doc
2. /dsp02-Цифровые...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы