4. закон движения материальной точки icon

4. закон движения материальной точки



Название4. закон движения материальной точки
Дата конвертации27.08.2012
Размер79.4 Kb.
ТипЗакон




4.ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

Движение материальной точки МТ - есть непрерывная последовательность ее бесконечно малых перемещений

.

за последовательные бесконечно малые промежутки времени dt. Эти перемещения согласно принципу сложения перемещений есть разности радиус-векторов начала и конца перемещения материальной точки.

ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ МТ материальной точки - зависимость от времени её радиус-вектора

. (11)

- параметрическое уравнение линии, образованной бесконечно малыми последовательными перемещениями МТ.


Рис. 5. Траектория и годограф скорости

Траектория МТ материальной точки - непрерывная линия, образуемая последовательными бесконечно малыми перемещениями материальной точки, совпадающая с геометрическим местом последовательных ее положений с радиус-векторами .

^ Уравнение траектории - уравнение, получаемое исключением из закона движения времени как параметра

.

За один и тот же промежуток времени dt или Dt материальная точка МТ совершает разные перемещения или одно и то же перемещение за разные промежутки времени - так что неоднозначная характеристика движения МТ.

^ Скорость материальной точки есть её перемещение за бесконечно малый промежуток времени, отнесенное к единице времени

. (12)

по направлению совпадает с бесконечно малым перемещением. В криволинейных координатах



со временем изменяется не только величина составляющих , но и направления единичных векторов составляющих.


.

В прямоугольных координатах , .

В криволинейных координатах

. (13)

Частная производная по от и по от v дают

,



в силу ортогональности координат!

В движении материальной точки ее скорость изменяется подобно изменению радиус-вектора. За бесконечно малое время dt

.

Для сравнения скоростей в последовательные моменты векторы скорости в эти моменты параллельно самим себе переносятся началами в одну точку - полюс P.

Годограф скорости - кривая, образуемая концами векторов скорости , если их начала помещены в одну точку Р - полюс.

Ускорение материальной точки МТ - предел вектора разности скоростей в бесконечно близкие моменты, определяемый как разность векторов скорости на годографе, отнесенная к единице времени

(14)

и приложенный? к материальной точке. Он? - вектор - параллелен касательной к годографу и разности перемещений за два непрерывных ьесконечно малых последовательных промежутка

.

Согласно закону сложения перемещений векторная алгебра и векторный анализ ускорений и скоростей совпадает с алгеброй и анализом перемещений. В частности

.

Здесь скалярное произведение есть часть от полной производной

,

так что

.

В сферических координатах ,

, (15)



,




^ 5. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ в естественных координатах.

Естественная система координат (ЕСК), в которой начало отсчета O расположено на траектории материальной точки и одна из координатных линий КЛ1 - сама траектория. Координата МТ вдоль нее - длина траектории (пути) от начала отсчета ^ O до точки наблюдения N - до материальной точки. Ее единичный вектор - единичный вектор касательной к траектории

,




Рис. 7. Естественные координаты


Приращение единичного вектора касательной в движении нормально самой касательной и лежит в плоскости, содержащей отрезок траектории и его хорду

. Вектор

Главная нормаль к траектории единичный вектор второй координатной линии КЛ2, нормальный касательной в плоскости, содержащей касательную и ее приращение .

Соприкасающаяся плоскость - КП1 - координатная плоскость, содержащая касательную к траектории и главную нормаль к ней и следовательно, отрезок траектории и его хорду .

Бинормаль - единичный вектор третьей координатной линии КЛ3 - нормальный к касательной и главной нормали

Спрямляющая плоскость - КП2 - координатная плоскость, содержащая касательную и бинормаль .

^ Нормальная плоскость - КП3 - координатная плоскость, содержащая главную нормаль и бинормаль и нормальная к траектории.

Вектор скорости материальной точки



за бесконечно малое время поворачивается вокруг бинормали в соприкасающейся плоскости вместе с касательной на угол



вместе с главной нормалью вследствие смещения на по траектории, так что на тот же угол поворачивается главная нормаль, оставаясь в этой же плоскости. Поэтому они - главные нормали в смежных точках траектории - начале и конце перемещения - пересекаются в одной точке - в центре окружности, касательной к траектории в двух этих смежных точках (касание второго порядка).

Угол смежности - - угол поворота касательной к траектории материальной точки вследствие ее перемещения в смежную точку - конец , конец элемента ее дуги - измеряемый дугой касательной второго порядка окружности.

^ Центр кривизны траектории МТ материальной точки - точка пересечения главных нормалей, построенных в смежных точках.

Окружность кривизны траектории материальной точки - окружность с центром в центре кривизны , касательная второго порядка к траектории в смежных точках.

^ Радиус кривизны траектории материальной точки - радиус окружности кривизны, направленный вдоль обратной главной нормали

.

^ Угол смежности - угол поворота касательной к траектории вследствие смещения материальной точки равен углу поворота главной нормали и углу между смежными радиусами кривизны.

^ Кривизна траектории материальной точки - скорость поворота касательной к траектории вследствие перемещения материальной точки по дуге траектории

.

Длина дуги траектории с точностью до бесконечно малых высших порядков равна длине дуги окружности кривизны

.

Выше получено



так что

.

Тогда соотношения



выражают переход от естественных координат к прямоугольным.

.

Кручение траектории материальной точки - скорость поворота ее бинормали в движении, т.е. скорость поворота соприкасающейся плоскости

.

Поскольку , то как для , но лежит в соприкасающейся плоскости в начале и конце перемещения (по определению), т.е. вращается только вокруг на и и , так что кручение (величина)

.

Радиус кручения - величина обратная скорости кручения

.

Формулы Бине

.


^ 6. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ЕСТЕСТВЕННЫХ КООРДИНАТАХ.

1. Закон движения материальной точки определяется последовательными перемещениями неоднозначна, т.к. за один промежуток могут произойти разные перемещения. Необходима еще величина, определяющая этот закон.

Скорость материальной точки МТ




равна длине, приведенной за дуги траектории, а по направлению совпадает с касательной к ней в точке траектории .

.

За бесконечно малое время материальная точка движется по дуге окружности кривизны, касающейся траектории в начале и конце перемещения в соприкасающейся плоскости вокруг бинормали как мгновенной оси, поворачиваясь вместе с касательной на угол смежности

.

с угловой скоростью мгновенного вращения

.

Величина скорости при этом



пропорциональна угловой скорости.

^ Угловая скорость материальной точки - вектор, по величине равный скорости изменения угла смежности , а по направлению параллельный бинормали и проходящий через центр кривизны , так что поворот касательной с его конца выглядит против часовой стрелки

.

^ Линейная скорость



Ускорение материальной точки в естественных координатах

,

,

лежит в соприкасающейся плоскости и складывается из нормального - центростремительного (к центру кривизны) и касательного ускорений. Касательное складывается из местного углового и ускорения, вызванного изменением кривизны по длине ТР.

^ Величина углового ускорения - скорость изменения угловой скорости мгновенного вращения

.

Угловое ускорение - вектор, направленный по оси мгновенного вращения (или против, если замедление) так, что с его конца правое вращение выглядит против часовой стрелки, а по величине равный величине углового ускорения.

Касательное ускорение - составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, а значит вдоль касательной к траектории.

есть сумма местного ускорения и поворотного.

^ Нормальное ускорение - составляющая ускорения, направленная по главной нормали к траектории в соприкасающейся плоскости



направлено по главной нормали к центру кривизны и называется центростремительным ускорением.

По измеренным ускорениям и скоростям определяется радиус кривизны траектории

.

Ускорение материальной точки лежит в соприкасающейся плоскости и в естественных координатах имеет две составляющих - касательное и нормальное ускорения.





Похожие:

4. закон движения материальной точки icon4. закон движения материальной точки
Движение материальной точки мт есть непрерывная последовательность ее бесконечно малых перемещений
4. закон движения материальной точки icon5. закон движения в естественных координатах
КЛ1 сама траектория. Координата мт вдоль нее длина траектории (пути) от начала отсчета o до точки наблюдения n до материальной точки....
4. закон движения материальной точки icon15. Сила и основной закон динамики (Ньютона)
М это изменение есть передача величин – количеств движения данной материальной точки мт от других мтj и тел за каждый бесконечно...
4. закон движения материальной точки iconЛожность закона сохранения кинетического момента введение
Кинетическим моментом (моментом количества движения) материальной точки, относительно неподвижно точки о называется вектор L, равный...
4. закон движения материальной точки iconII. Динамика материальной тоЧки. 12. Закон инерции и постулат взаимодействиЯ
Законы движения материальных точек и постулат делимости тел допускают удаление тел на бесконечно большие расстояния друг от друга,...
4. закон движения материальной точки iconII. Динамика материальной точки. 12. Закон инерции и постулат взаимодействия
Законы движения материальных точек и постулат делимости тел допускают удаление тел на бесконечно большие расстояния друг от друга,...
4. закон движения материальной точки icon17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики
Состояние движения материальной точки или тела изменяется вследствие взаимодействия с источниками сил, т е вследствие передачи телу...
4. закон движения материальной точки iconДокументы
1. /Внутреннее трение.doc
2. /Второе начало...

4. закон движения материальной точки iconЗакон финитного движения в потенциальной яме колебательный
В потенциальной яме, если точки поворота определены как корни уравнения -U(X)=0 то выражение
4. закон движения материальной точки iconНекоторые ученые, с сомнением отнеслись к такой идее
А по разнице времени, на приемнике, от прихода излучения от точки 2, и точки 1, или точки 3, и точки 2
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов