17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon

17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики



Название17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики
Дата конвертации27.08.2012
Размер81.79 Kb.
ТипЗадача




17. Уравнение и интегралы движениЯ,

основнаЯ задаЧа механики.

Состояние движения материальной точки или тела изменяется вследствие взаимодействия с источниками сил, т.е. вследствие передачи телу от источника за каждый бесконечно малый промежуток времени спустя время запаздывания после потери источником некоторых количеств движения , в том числе импульса .

Если время запаздывания



гораздо меньше времени изменения физических величин , равного времени перехода между последовательными предыдущим и последующим состояниями, то согласно

принципу дальнодействия изменения состояния движения определяются основным законом динамики

.

Если он приводится к дифференциальному уравнению относительно радиус-вектора , то его решение дает закон движения материальной точки и .

^ Уравнение движения – основной закон динамики, выраженный как интегро-диференциальное уравнение относительно одной векторной неизвестной функции , так чтобы сила не оказалась зависящей от себя:



Уравнение движения



не может содержать в законе силы аргументом , а уравнение движения



не может содержать в законе силы ускорение .


Частное решение уравнения движения, т.е. закон движения определяется последовательными двумя интегрированиями вдоль трех координат, т.е. тремя произвольными постоянными первыми производными – скоростями в произвольный начальный момент - начальными условиями. Но начальный момент , произволен, так что произвольные состояния движения материальной точки МТ определяется ее радиус-вектором и скоростью

,

так что для материальной точки уточняется

принцип причинности: состояние материальной точки МТ определяется основным законом динамики и начальными положением и скоростью , т.е. 6-ю произвольными постоянными .

2. Уравнение движения – система трех уравнений 2-го порядка

,

т.к. закон силы не может содержать саму силу, т.е. производные второго порядка и выше, равнозначная система 6-ти уравнений первого порядка

,

решение которой определяется 6-ю произвольными постоянными



независимые, если

.

Иначе, если он равен нулю, то связаны друг с другом. Поскольку независимы, то эти соотношения закона движения разрешимы относительно вместе с .

Первые интегралы движения – 6 независимых физических величин

,

выраженных из уравнений движения как функции координат и скоростей и остающихся постоянными во все время движения в силу свойств уравнения движения.Первые интегралы движения представлют собой сами дифференциальные уравнения первого порядка. Если снова

,

то они разрешимы относительно производных и принимают вид

,

что равнозначно существованию еще трех неизменных физических величин.

^ Вторые интергалы движения – 3 физических величины

,

выраженные из уравнения движения как функции только координат, которые в силу свойств уравнения движения постоянны во все время движения.

Интегралы движения являются мерами количества движения для неизолированных систем, в частности, материальной точки, дополнительным к импульсу и др. подобным ему величинам.

Из первых интегралов движения (ИД1) при выполнении условия разрешимости ( ) определяются координаты через скорости

.

Подстановка их в уравнение движения снижает его порядок – относительно скорости оно – 1-го порядка

.

Если известны и вторые , то из них



9 интегралов движения равнозначны уравнениям движения.


^ 18. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ.

1. Основная задача механики – определение закона движения материальной точки по известному закону сил решением уравнения движения равнозначна определению полной системы из 9-ти интегралов движения, которые являются количествами движения и передаются от источника телу или материальной точке вследствие взаимодействия.

^ Кинетическая энергия T - скалярный первый интеграл движения изолированной материальной точки или тела. Она определяется приведением уравнения движения к скалярному виду почленным умножением на скорость скалярно

.

Для изолированной материальной точки , так что

.

Неизолированная материальная точка под действием силы переходит из начального состояния в конечное , так что скорость изменения ее кинетической энергии за счет передачи от источника равна

и за бесконечно малый промежуток времени материальной точке передается кинетическая энергия

,

а за конечное время приращение кинетической энергии



есть интеграл от полного дифференциала, так что кинетическая энергия – функция состояния материальной точки, но не зависит от положения, а только – от скорости материальной точки.

2. Наоборот, возможна сила, зависящая только от ее положения.

^ Позиционная сила - сила, закон которой есть функция только положения материальной точки, на которую она действует.

^ Потенциальная сила - позиционная сила, для которой скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение есть полный дифференциал силовой функции , ,.


Градиент скалярной функции - вектор, по величине и направлению совпадающий с максимальной скоростью ее роста

, когда ,

,

,

.

Сила, действующая на материальную точку в потенциальном силовом поле, равна градиенту силовой функции поля и выражается действием на силовую функцию символического векторного оператора Гамильтона .

Силовая функция может измениться не только вследствие перемещения материальной точки в потенциальном поле, но и в силу других причин

.

Это изменение вызвано потенциальной силой , так что замена



и полная сила, действующая на материальную точку, есть сумма потенциальной и непотенциальной сил . Тогда преобразованное к скалярному виду уравнение движения



содержит потенциальную и непотенциальную части. Потенциальная

,

Если , то уравнение движения приводится к виду для потенциальных сил

.

При и , так что оба слагаемых положительны и увеличиваются, тогда как их сумма постоянна. Поэтому проводится замена .

^ Потенциальная энергия - величина, равная с обратным знаком силовой функции материальной точки в поле потенциальной силы, полный дифференциал которой равен убыли кинетической энергии.

^ Полная механическая энергия - скалярный первый интеграл движения материальной точки в поле потенциальных сил, равный сумме кинетической и потенциальной.

^ Закон сохранения и превращения энергии: взаимодействие материальной точки с источником силы превращает ее полную механическую энергию в другие виды энергии действием непотенциальных сил

,

а в изолированной системе в потенциальном поле она сохраняется.

19. Работа.

1.Основная задача механики – определение закона движения материальной точки, тела решением уравнения движения по известному закону сил и начальным условиям – равнозначна отысканию полной системы 9-ти интегралов движения



в поле потенциальных сил , так что скалярное уравнение движения относительно энергии E или кинетической энергии T

,

если выражает закон превращения потенциальной энергии МТ в кинетическую

.

В произвольном силовом поле сохраняется энергия и передается энергия при взаимодействии



передается при взаимодействии полная механическая энергия.

^ Работа – процесс превращения всех видов энергии в кинетическую, т.е. в механические перемещения микротел.

Работа - физическая величина, мера превращения всех видов энергии в кинетическую энергию тел и обратно

.

Поскольку здесь непотенциальная сила зависит не только от , но и от ,.., то этот интеграл зависит от формы траектории и полным дифференциалом не является, а с ним и вся работа .

Обратное превращение кинетической энергии



есть работа сил противодействия, которые являются силами инерции.

^ Сила инерции – сила противодействия, преобразующая импульс движущейся материальной точки или тела в импульс и другие виды количеств движения других тел

.

Добавление сил инерции в основной закон динамики превращает его



в уравнение равновесия.

Равновесие состояние материальной точки или тела, в котором все силы, на него действующие, в сумме равны нулю, т.е. уравновешены друг другом.

Работа сил инерции



отрицательна, однако, может быть произведена в обратном направлении, обратима. Например, если сила инерции работает против потенциальных сил, так что

,

но возможны и силы, необратимо совершающие только отрицательную работу, т.е. необратимо уменьшающие кинетическую энергию движущихся тел, их скорости.

^ Диссипативные силы - силы, производящие только отрицательную работу необратимо, т.е. превращающие кинетическую энергию в другие виды энергии необратимо и, следовательно, направленные против скорости

.

Закон диссипативной силы должен выражаться некоторой функцией скорости

.

Действие диссипативных сил приводит к уменьшению полной энергии материальной точки со скоростью

,

которая не изменяется, если к энергии прибавлено постоянное слагаемое.

Механическая энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, которая может быть выбрана за начало отсчета энергии в равновесии и покое

.

В результате действия сил на конечной траектории за конечное время материальная точка приобретает энергию

,

.

Кинетическая энергия есть работа сил инерции, которую они могут совершить, пре переходе материальной точки или тела из состояния движения со скоростью в состоянии покоя

.

Потенциальная энергия материальной точки или тела есть работа, которую она может совершить при переходе из данной точки в состояние равновесия.

Полная энергия - работа, которую может совершить материальная точка, перейдя из некоторого состояния в состояние покоя и равновесия .




Похожие:

17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon1. 4 основная задача механики сплошной среды
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек каждой мтi системы уд по известному закону сил
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon1. 4 законы сохранения и переноса энергии и момента импульса
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек из уравнения движения по известному закону сил
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon25. Собственный момент импульса и момент импульса центра масс
Основная задача механики – определение закона движения системы мтi по известному закону сил из уравнения движения
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики iconVI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек
Основная задача механики – определение закона движения системы большого числа материальных точек по заданному закону сил решением...
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon51. свободные колебания линейного осциллятора
Свободные колебания линейного осциллятора ло его колебания происходят после выключения вынуждающей силы. Основная задача механики...
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики icon51. свободные колебания линейного осциллятора
Свободные колебания линейного осциллятора ло его колебания происходят после выключения вынуждающей силы. Основная задача механики...
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики iconУравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения
Емени добавлена группа so(3), параметризованная через углы Эйлера (или, другими словами, многообразие группы so(3)), и волновое уравнение...
17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики iconУравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения
Емени добавлена группа so(3), параметризованная через углы Эйлера (или, другими словами, многообразие группы so(3)), и волновое уравнение...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов