30. Движение в центральном поле icon

30. Движение в центральном поле



Название30. Движение в центральном поле
Дата конвертации27.08.2012
Размер84.86 Kb.
ТипРешение




30. Движение в центральном поле.

1) Основная задача механики – отыскание закона движения материальной точки системы по известному закону сил - по силовому полю – равнозначна отысканию всех интегралов движения, которые по теореме Нетер определяются свойствами симметрии системы. Самая симметричная – центрально или сферически симметричная система, т.е. одна материальная точка, движущаяся в центрально-симметричном силовом поле.

^ Центральное (центрально-симметричное) силовое поле – поле, в котором сила, действующая на материальную точку с радиус-вектором относительно некоторой точки как начала отсчета, направлена вдоль радиус-вектора к центру или от него.

.

Эта сила создает момент сил относительно центра



равный нулю, так что одним из первых интегралов движения



является момент импульса материальной точки относительно точечного центрального источника сил.

^ Стационарное центральное поле – в котором сила, действующая на материальную точку, не зависит явно от времени



и изменяется только вследствие перемещения ее в пространстве.

^ Потенциальное центральное поле - в котором сила, действующая на материальную точку, потенциальная

.

В таком поле материальная точка вместе с точечным центральным источником составляет консервативную стационарную систему двух тел со скалярным первым интегралом – полной энергией

.


Решение основной задачи требует отыскания всех ИД, в том числе – вторых скалярных, получаемых скалярным умножением первых векторных на радиус-вектор

,

,

.

Второй скалярный интеграл движения материальной точки в центральном поле есть скалярное произведение , так что ее траектория лежит в плоскости, нормальной постоянному моменту импульса . За материальная точка в стационарном потенциальном центральном поле (СПЦП) перемещается в плоскости, нормальной на



вдоль отрезка дуги траектории , который с точностью до б.м.в.п. совпадает с дугой окружности кривизны, а своим радиус-вектором покрывает площадь



равную половине площади параллелограмма, построенного на и как сторонах

.

^ Секторная скорость материальной точки – элемент поверхности, покрываемой радиус-вектором ее за бесконечно малое время , отнесенный к единице времени

.


Рис. . Закон площадей.

Закон площадей (Кеплера): секторная скорость движения материальной точки в СПЦП постоянна и коллинеарна ее сохраняющемуся моменту импульса .

2) Закон движения материальной точки в СПЦП определяется системой интегралов движения, в том числе полной механической энергией



и в силу центральной симметрии силового поля вычисляется в сферической при или цилиндрической системах координат с началом в центре поля , в которой полярная ось направлена вдоль сохраняющегося момента импульса

,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

.

Эффективная потенциальная энергия – сумма потенциальной и центробежной.

Полная энергия материальной точки в СПЦП не зависит от угловых постоянных , так что из интеграла энергии



определяется, поскольку , радиальная, лучевая скорость:



и из интеграла момента импульса – угловая скорость

,

,



получается неявное уравнение траектории в квадратурах


.

Рис. . Траектория.

Из них следуют свойства закона движения.

Траектория симметрична относительно апсиды – прямой .

Перицентр – точка пересечения траектории с апсидой.


Рис. . Траектория в центральном поле.

Движение вдоль радиальной координаты ограничено точками поворота, определяемыми уравнением

,

совпадающими с точками остановки , далее которых разность , закон движения становится мнимым, т.е. кинетическая энергия – отрицательной, что невозможно. В точках поворота знаменатель подынтегрального выражения становится равен нулю, т.е. они достигаются за бесконечное время! Вблизи них ЗД отыскивается из ИД: в дифференциальной форме:

,

,

.

Полученное дифференцирование приводит это равенство к виду



и дает дифференциальное уравнение траектории (формула Бине)

.

Если точки поворота существуют, в них , но

,

т.е. существует и , то траектория лежит в кольце и * - движение периодическое (колебательное) по лучевой координате, а, следовательно, и по угловой. Если их периоды соизмеримы,

.


^ 31. Движение в кулоновском поле.

Основная задача механики – отыскание закона движения материальной точки, движущейся в стационар-

ном потенциальном центральном поле (СПЦП) имеет однозначное решение, если известен закон силы или все интегралы движения, т.е. зависимость потенциальной энергии от радиус-вектора .

^ Кулоновское (ньютоновское) поле – стационарное потенциальное силовое поле, в котором потенциальная энергия материальной точки обратно пропорциональна расстоянию от нее до силового центра, а сила является силой притяжения или отталкивания (ньютоновская – только притяжение)



В этом поле эффективная потенциальная энергия материальной точки (частицы)

:

а) при малых расстояниях до центра , преимущественно центробежная, становится положительной и растет с убыванием этого расстояния , центробежное отбрасывание МТ от центра усиливается.

В поле отталкивания полная энергия (!) положительна

,

а в поле притяжения может стать отрицательной ();

б) при больших расстояниях от центра эффективная потенциальная энергия преимущественно центростремительная, если сила – притяжения , отрицательна и растет по величине, приближаясь к нулю;

в) согласно теореме Ролля при некотором среднем значении расстояние до центра существует минимум эффективной энергии, так что материальная точка движется вдоль радиальной координаты в потенциальной яме.

,

то квадратурное выражение закона движения



действительное - физически существует. Иначе – мнимое, не существующее.

I) Если при этом , т.е. , то существует два действительных конечных корня уравнения

,


Рис. . Эффективная энергия.


в которых кинетическая энергия и скорость МТ равны нулю – точки остановки, в которых радиальная, лучевая скорость меняет знак. Иначе время станет мнимым.

^ Точки остановки, являющиеся точками поворота лучевого движения, в которых кинетическая энергия движения обращается в ноль.

Разрешенные области движения – в которых ЗД действителен. Запрещенные – мнимый.

Лучевое движение МТ в СПЦП колебания между точками поворота около точки минимума потенциальной энергии . Уравнения точек поворота в этом поле дают их лучевые координаты

,

.

Перигей , апогей .

Траектория МТ лежит в кольце между окружностями с этими радиусами и определяется уравнением траектории

.

Период лучевых колебаний совпадает с периодом движения по замкнутой траектории, так как

,

так как при ,

.

2. Тогда возникает естественная замена в уравнении траектории

,




.

Косинус – четная функция аргумента и модуль - тоже, а знак (-) перед корнем соответствует отрицательным значениям и может быть опущен. Иначе !

Уравнение траектории преобразуется в полярных координатах, связанных с фокусом, к виду



- каноническому виду уравнения конического сечения, в котором произвольная постоянная выбирается из условия: при минимальном должен быть максимален, и ,

,

следовательно .

Тогда: фокусное расстояние .

^ Фокальный параметр половины хорды от фокуса от фокуса 1, фокусному расстоянию, до пересечения с траекторией:

.

Эксцентриситет – отношение фокусного расстояния к большой оси

.

I) При , и , - согласно уравнению точек поворота () эксцентриситет



траектория является эллипсом с фокусом в центре силового поля ( - из фокуса!) с большой полуосью



и малой полуосью

.

В силу постоянства секторной скорости



период обращения

,




подчиняется третьему закону Кеплера.

II) При графическое определение

-

гипербола

асимптоты траектории, движение инфинитное.

,

.

При , - траектория обходит фокус – гипербола, пересекает большую полуось в перигее . Движение инфинитное .

III) В СПЦП отталкивания



- уравнение траектории, так как

только при и эксцентриситет



имеет асимптоты, направленные к апсиде, ,

,



под острыми углами.

При

,

так как вся траектория имеет положительные относительно фокуса координаты и из не доходит до фокуса – тоже гипербола.

Вторая частица движется по подобной траектории.


Рис. . Траектории в кулоновском поле




Похожие:

30. Движение в центральном поле icon30. Движение в центральном поле
Нетер определяются свойствами симметрии системы. Самая симметричная – центрально или сферически симметричная система, т е одна материальная...
30. Движение в центральном поле iconТекст сочинения
Параметры страницы: верхнее и нижнее поля по 2 см, правое поле – 1,5 см, левое поле – 3 см
30. Движение в центральном поле iconИтоги пятого всероссийского фестиваля авторской песни «куликово поле» Пресс-релиз
Куликовом поле близ села Монастырщина Тульской области прошел 5-й всероссийский фестиваль авторской песни «Куликово поле», посвящённый...
30. Движение в центральном поле iconИтоги четвёртого фестиваля авторской песни «куликово поле» Пресс-релиз
«Куликово поле», приуроченный ко дню памяти Дмитрия Донского. Фестиваль был организован Министерством образования и науки рф, Государственным...
30. Движение в центральном поле icon«куликовом поле»
Сегодня вечером в селе монастырщина кимов-ского района откроется VI всероссийский фестиваль авторской песни «куликово поле»
30. Движение в центральном поле iconКультура 12 поле воинской славы. Символ культурных побед
Символом стабильности в наше суетное и переменчивое вре­мя стал Всероссийский фестиваль авторской песни «Куликово поле»
30. Движение в центральном поле iconРасширяйте поле радости!
Для сравнения выделим поле страданий, истощающее человеческие души и тела и возрастающее, расширяющееся на почве холодных недоброжелательных...
30. Движение в центральном поле icon4. Не предъявляйте другим чрезмерных требований: каждому своё
Ежедневно 2 – 2,5 часа напрягайте силы физически. Движение – спасение. Движение – лекарство. Упражнение, тренировка, самовоспитание...
30. Движение в центральном поле iconКучи мусора на информационном поле
Первоначально информация на этом поле была распределена равномерно, и вот уже в течение 3 млрд лет земные живые существа бродят по...
30. Движение в центральном поле iconКонтрольная работа №1 по теме: «Равнопеременное движение и равномерное движение по окружности»
Лыжник спускается с горы с начальной скоростью 6 м/с и ускорением 0,5 м/ Какова длина горы, если спуск с нее продолжался 12 с?
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов