VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек icon

VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек



НазваниеVI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек
Дата конвертации27.08.2012
Размер152.71 Kb.
ТипЗадача




VI. АналитиЧескаЯ механика

35.Сильные взаимодействиЯ и свЯзи

в системе материальных тоЧек.

1. Основная задача механики – определение закона движения системы большого числа материальных точек по заданному закону сил решением уравнений движения



при начальных и граничных условиях неразрешима. В таких сложных системах взаимодействия, определяющие из системы различных тел, разделяются на два класса: сильные и слабые. Вдоль некоторого множества координат действуют стлы гораздо большие, чем вдоль других

,

так что приближенно эти силы почти бесконечно велики и приводят к образованию тел, подобных твердым телам. Тогда закон движения вдоль координат, по которым действуют неограниченные силы не может быть определен динамически, т.е. решением основной задачи механики, а задается кинематически некоторыми уравнениями линий, поверхностей и т.п., по которым движется система вдоль остальных координат: по поверхности земли, по рельсам и т.п.

Связь – система тел, частично определяющая закон движения системы материальных точек явно, кинематически уравнениями или неравенствами относительно координат и скоростей материальных точек (состояние системы определяется не только координатами, и не импульсами - скоростями)

.

^ Удерживающая связь - выраженная уравнениями.

Неудерживающая связь - выраженная неравенствами.

Текущая (реономная) связь – связь (система тел!), изменяющаяся со временем, выраженная уравнениями и неравенствами, содержащими время явно.

.

^ Реономная система движущаяся по текущим связям.


Стационарная связь – связь, неизменная со временем, выраженная уравнениями и неравенствами, не содержащими времени явно



склерономные системы – движущиеся вдоль стационарных связей.

^ Геометрическая связь – выраженная уравнениями и неравенствами относительно только координат (и времени)

,

маятник: на шаровом подвесе.


Рис. . Маятник на шаровом подвесе Рис. . Маятник с горизонтально

движущейся муфтой подвеса.

– геометрическая связь неудерживающая по j. Из геометрической связи полным дифференцированием получается дифференциальная связь.

^ Дифференциальная связь – выраженная уравнениями и неравенствами относительно производных и дифференциалов некоторых функций координат.

.

^ Кинематическая связь – выраженная уравнениями и неравенствами относительно скоростей материальных точек системы

,

пример –маятник с горизонтально движущейся муфтой подвеса

Интегрированием этих связей может получиться множество большого числа геометрических связей, т.к. интегрирование дает рад произвольных постоянных

.

^ Интегрируемая кинематическая связь – из которой почленным интергированием получается геометрическая связь.

Линейная интегрируемая связь – в уравнения и неравенства которой скорости материальных точек входят как неизвестные переменные линейной формы

.

^ Голономная система – система материальных точек, движущаяся по интегрируемым кинематическим и геометрическим связям (ползун на штоке, шестерня на конце кривошипа, ...)

.

^ Неголономная система – движущаяся по связям, не сводящимся к геометрическим. В частности, когда функции могут быть определены лишь из решения основной задачи механики. Например, диск, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости (y, x), так что его плоскость вертикальна (одно из двух колес на оси). Его координаты – координаты центра масс x, y, угол поворота и угол между его осью и осью OX – задают закон движения по плоскости. Перемещение центра масс за dt перпендикулярно оси диска



Эти уравнения можно проинтегрировать только, если решена вся задача механики из УД.

^ Замороженная связь – которая с некоторого момента t становится стационарной, например, умножением кинематической связи на dt

, где ,





ЗАМОРАЖИВАНИЕ СВЯЗЕЙ -исключение из их уравнений явной зависимости от времени.

МГНОВЕННОЕ ЗАМОРАЖИВАНИЕ - исключение этой зависимости из дифференциальных связей, ранозначных исходным. Это производится почленным вычитанием уравнений дифференциальных связей


,


Их разность есть уравнение мгновенно замороженной дифференциальной связи, а после интегрирования по ri - равнозначной геометрической связи относительно возможных перемещений, возникающих при переходе от одной возможной траектории к другой в тот же момент.


Рис. . Возможные и виртуальные перемещения.

^ 36. Возможные, виртуальные, действительные перемещениЯ и реакции свЯзей

1. Движение системы материальных точек по закону есть непрерывная последовательность бесконечно малых перемещений каждой из них вдоль связей. Эти перемещения частично частично определяются кинематически уравнениями связей – непосредственно – геометрическими, и

через скорости - кинематическими.

^ Возможные перемещения – перемещения материальных точек системы , допускаемые связями, их уравнениями. Например, из кинематической связи умножением на dt



определяется часть перемещений или их составляющих вдоль координатных линий (например, для корабля ). Эти уравнения и неравенства, например, геометрических связей содержат число неизвестных большее числа уравнений, т.е. удовлетворяются бесконечным множеством возможных перемещений вдоль разных возможных по связи траекторий

,

которые дифференцированием приводятся к виду кинематических интегрируемых связей и умножением их на dt

,



для любых пар возможных траекторий.

^ Замораживание связей есть исключение из их уравнений явной зависимости от времени. Мгновенное замораживание – исключение этой зависимости из дифференциальных связей, равнозначных исходным, что производится почленным вычитанием уравнений дифференциальных связей

.

Их разность есть уравнение мгновенно замороженной дифференциальной , а после интегрирования по - равнозначной геометрической связи, относительно приращений возможных перемещений, возникающих при переходе от одной возможной траектории к другой в тот же момент (из одной точки).

^ Виртуальные перемещения - - возможные перемещения материальных точек системы, допускаемые мгновенно (в момент t) замороженными связями, из одной точки по K разным траекториям в один и тот же момент t.

Виртуальное перемещение – часть возможного, вызванная изменением траектории на другую возможную траекторию материальной точки

,

т.е. – изменением аналитического вида уравнения траектории через параметр a, т.е. – есть – ее закона движения, и равно первому слагаемому разложения закона движения по степеням da



с точностью до бесконечно малых порядков.

Вариация функции y(x) от переменной x есть функция



равная разности между этой функцией и любой другой Y(x), возникающей как изменение функционального соотношения (соответствия) между y и x.

Виртуальное перемещение есть вариация радиус-вектора материальной точки вследствие изменения траектории, т.е. функциональные соотношения между x,y,z координатами материальной точки в законе движения вдоль замороженной связи ().

^ Вариация производной



равна производной от вариации. Аналогично

дифференциал вариации равен вариации от дифференциала.

^ Вариация определенного интеграла

.

В заданных определенных точках x1, x2 вариации y(x) обрашаются в нуль . Интеграл I достигает минимума, когда его вариация , что равнозначно

Уравнение Эйлера

.

Синхронное варьирование – определение вариации в один момент времени , т.е. при замораживании связей. Виртуальное перемещение совпадает с синхронной вариацией закона движения.

^ Действительное перемещение материальных точек системы есть возможное перемещение, определяемое связями и уравнениями движения

,

.

Произвольная сила



содержит составляющие (), разрушающие связи.

Возмущения – составляющие сил, выводящие систему из связей.

Реакции связей - силы противодействия, приложенные к материальным точкам системы со стороны связей и уравновешивающие возмущения так, что система под действием реакций двигается без связей так же, как без реакций по связям .

.

^ Активные силы – силы, действующие на материальные точки системы независимо от связей.

Определение реакций выражается как

Принцип освобождаемости связей – связи равнозначны совокупности их реакций, приложенных к материальным точкам системы так, что из уравнения движения с реакциями следует тот же закон движения, что вдоль связей без реакций.

Согласно принципу разложения сил реакция связей разлагается на нормальную к связи и касательную составляющие

,

так что

.

Касательные реакции коллинеарны действительным перемещениям .

^ Гладкая связь – равнозначная реакциям, не имеющим касательной составляющей

.

Идеальная связь – реакция которой не производит работы

.

В естественных координатах (естественных для связей, в которых лежат траектории МТi) ускорения материальных точек



лежат в соприкасающейся плоскости траектории, так что уравнения движения принимают вид

.

Если материальные точки движутся вдоль поверхнгости, то уравнения связей для каждой из них одинаковы и выражаются системой двух уравнений

,

например, маятник с люфтом подвесной муфты, скользящей вдоль опорной плоскости согласно уравнению движения

.

^ 37.Обобщенные координаты, импульсы и силы,

уравнениЯ движениЯ Лагранжа I-го рода

Основная задача механики – определение закона движения голономной системы материальных точек МТi, движущихся вдоль K удерживающих геометрических и интегрируемых кинематических связей (- голономной системы), выраженных уравнениями



частично решена заранее, т.к. из этих уравнений определяется k координат через остальных, остающихся произвольными, т.е. независимыми, или через s произвольных функций от них обратно



как координаты материальных точек твердого тела через координаты его центра масс и любой его материальной точки (через углы Эйлера).

^ Обобщенные координаты – системы материальных точек МТi есть любые независимые физические величины

,

определяющие однозначно и монотонно из уравнений связей значения кординат всех материальных точек системы.

^ Обобщенные скорости системы МТi – полные производные по времени от обобщенных координат

.

Обобщенные импульсы системы материальных точек - любые независимые физические величины, однозначно и монотонно определяющие из уравнений связей из уравнений движения (как интегралы движения) значений всех импульсов всех материальных точек системы.

^ Уравнения связей голономных систем геометрические



и равнозначны такому же числу интегрируемых дифференциальных связей



относительно скоростей или импульсов материальных точек и преобразуются к виду уравнений

,

выражающих обобщенные импульсы через обычные.

Обобщенные силы - - скорости передачи обобщенных импульсов системе МТi от источников сил и обратно вследствие взаимодействия вместе с обычными импульсами

.

Силы, действующие на материальные точки системы, совершают работу – преобразуют все виды энергии в кинетическую.

За dt на перемещениях



равную работе обобщенных сил на перемещениях вдоль обобщенных координат , так что

.

Хотя размерности и не совпадают с размерностями обычных сил и перемещений , размерности работы тех и других одинаковы.

Передача обобщенного импульса вследствие взаимодействия за бесконечно малое время dt



складывается за конечное время в полный передаваемый

.

Вместе с обычной силой



обобщенная сила разлагается на потенциальную, диссипативную и непотенциальную составляющие

.

В течение бесконечно малого промежутка времени dt любая связь почти (с точностью до б.м.в.п.) заморожена, так что действие силы выделяет действительное перемещение из множества виртуальных свободно, хотя связи эту свободу ограничивают.

Степени свободы – независимые виртуальные перемещения голономной системы материальных точек , определяемые их g геометрических и h интегрируемых кинематических связей



через остальные возможные перемещения .

^ Число степеней свободы голономной системы материальных тчоек равно числу их координат 3N без числа уравнений связей. Влияние связей на бесконечно малые возможные перемещения материальных точек, т.е. выбор из них виртуальных, выражается полным диференцированием уравнений геометрических связей



и добавлением неинтегрируемых (линейных) кинематических

.

Решение уравнений движения совместно с этими уравнениями свящзей возможно, если исключены зависимые виртуальные перемещения (вариации), т.е. коэффициенты при них в этой системе уравнений равны нулю. Явное выделение этих зависимых перемещений достигается умножением уравнений связей на неопределенные множители и Лагранжа, суммированием их по зависимым вариациям и объединением со свойством идеальности связей (голономность!)

,

.

Коэффициенты при зависимых не произвольных (!) вариациях – обращаются в нуль и дают уравнения независимости

,

определяющие реакции связей совместно с уравнениями движения. Их объединение дает уравнения Лагранжа I-го рода



относительно 3N координат и неопределенных множителей Лагранжа , составляющих полную систему, имеющую однозначное решение.

Законы сохранения и передачи количеств движения получаются добавлением реакции связей. Для голономных систем УД равнозначны системе ИД

,

,

,

.

Энергия сохраняется при стационарных связях

.


38.Общее уравнение динамики,

равновесие и принцип Даламбера

Основная задача механики голономных систем материальных точек МТi с идеальными удерживающими связями ексть решение уравнений движения Лагранжа I-го рода – системы уравнений относительно 3N координат и неопределенных множителей .

По определенным таким путем из уравнений связей через уравнения независимости определяются реакции связей. Исключение зависимых виртуальных перемещений из уравнений движения Лагранжа I-го рода осуществляется умножением их почленно на виртуальные перемещения и суммированием по всем материальным точкам

.

Замена внутренних сумм обратно на реакции связей и подстановка получающегося в уравнение идеальности связей



дает

общее уравнение динамики (Даламбера)

.

1) Автоматический учет идеальности связей позволяет опустить знак активности у сил, т.к. возмущения не совершают работы.

2) Уравнения связей опускаются, т.к. замена перемещений материальных точек на виртуальные производится из уравнений связей.

В общем уравнении динамики выражения



есть работы сил инерции, приложенных со стороны МТi к источнику сил на виртуальных перемещениях. Эти силы «уравновешены» действительными активными силами как противодействиями динамически, т.е. в движущейся вместе с материальной точкой неинерциальной системе отсчета S¢.

^ Эффективные силы инерции (Даламбера) – силы инерции, которые в сопутствующей системе отсчета уравновешены противодействиями активных сил реакциями связей

.

Переход от уравнений движения Лагранжа I-го рода к общему уравнению динамики есть исключение зависимых виртуальных перемещений, так что в общем уравнении динамики виртуальные перемещения независимые, произвольные и потому не равные нулю, так что в нем равны нулю коэффициенты при них, если эти уравнения выражены через независимые

.

При , т.е. , сила , в частности, может быть во все время движения – в статике, но

.

Равновесие – состояние системы материальных точек, в котором каждая из них находится в покое или равномерно и прямолинейно движется, если она находилась в покое или равномерно двигалась в начальный момент .

Поскольку материальных точек движутся, то



- необходимое условие равновесия в статике, когда все силы, действующие на МТi системы, не равны нулю, но уравновешены друг другом.

Если обратно, выполняется условие , но система выходит из равновесия, т.е. , то произвольно виртуальное перемещение может быть выбрано параллельно силе и возникает противоречие

,

так что справедлив

принцип виртальных перемещений (работ): необходимое и достаточное условие равновесия есть равенство нулю суммы всех виртуальных работ активных сил

,

где

,

так что

.

В статике получается принцип виртуальных работ: необходимым и достаточным условием равновесия системы МТi является равенство нулю суммы виртуальных работ обобщенных сил по независимым виртуальным перемещениям и независимы равенство нулю всех обобщенных сил, тогда как .

В динамике

^ Общее уравнение динамики в обобщенных координатах голономных систем



совпадает с принципом виртуальных перемещений, если к активным силам прибавлены силы инерции, так что получается

принцип Даламбера: при движении голономной системы с идеальными удерживающими связями сумма элементарных работ активных сил и сил инерции вдоль всех виртуальных перемещений в бесконечно малой окрестности действительного перемещения равна нулю, т.е. состояние действительного перемещения есть состояние динамического равновесия в сопутствующей инерциальной системе отсчета.


^ 39. УстойЧивость равновесиЯ и движениЯ

1. В статистическом равновесном состоянии при бесконечно малых виртуальных перемещениях от него



потенциальная энергия системы представляется первыми слагаемыми ее разложения в степенной ряд по малым смещениям

.

В равновесии

,

так что обобщенные силы при малых отклонениях от равновесия

,

- тензор (коэффициентов) упругости,- - является возвращающей квазиупругой.

^ Возвращающая сила – противоположная (виртуальному) смещению от равновесия.

Квазиупругая сила – возвращающая сила, по велечине пропорциональная смещению от равновесия. ^ Тензор упругости - - множество коэффициентов пропорциональности квазиупругой силы,

определяющих вклад в ее составляющую, действующую вдоль координаты вследствие смещения вдоль координаты , равного единице.

^ Устойчивое равновесие – при отклонении от которого возникает возвращающая сила, вследствие действия которой любое малое отклонение от равновесия в начальный момент



остается малым и в любой другой момент

.

Если сила возвращающая, то коэффициенты упругости и положение равновесия – минимум потенциальной энергии.

^ Неустойчивое равновесие – в котором любое виртуальное смещение от него вызывает неограниченное отклонение от равновесия под действием отклоняющей силы ,

.

В неустойчивом равновесии потенциальная энергия достигает максимума.

Следствие: равновесие устойчиво, если изолирован.

^ Безразличное равновесие – около которого любое виртуальное начальное перемещение продолжается неограниченно и равномерно, т.е. возвращающая сила при нем не возникает



(равновесие) и .

Если не изолирован, т.е. вдоль , а вдоль - бесконечно близкий максимум, то

Седлообразное равновесие – устойчивое вдоль одних координат и неустойчивое – вдоль других, нормальных.

2. Согласно принципу Даламбера



состояние движения есть динамическое равновесие, виртуальное отклонение от которого



есть изменение – вариация траектории. Если вариации траектории

, то

,

а обратно ,

, ,

,



.

В равновесии (в стационарном движении)

,

если скорость постоянна! При отклонении от стационарности





Похожие:

VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconVii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы
Одномерная система материальных точек такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия...
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconVii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы
Одномерная система материальных точек такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия...
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconIii. Динамика системы материальных точек. 21. Уравнения и интегралы движения системы материальных точек
Система тел согласно принципу делимости тел есть множество n материальных точек, непрерывно занимающих некоторый объем V и дискретно...
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconIii. Динамика системы материальных тоЧек. 21. УравнениЯ и интегралы движениЯ системы материальных тоЧек
Система тел согласно принципу делимости тел есть множество n материальных точек, непрерывно занимающих некоторый объем V и дискретно...
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconII. Динамика материальной точки. 12. Закон инерции и постулат взаимодействия
Законы движения материальных точек и постулат делимости тел допускают удаление тел на бесконечно большие расстояния друг от друга,...
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconII. Динамика материальной тоЧки. 12. Закон инерции и постулат взаимодействиЯ
Законы движения материальных точек и постулат делимости тел допускают удаление тел на бесконечно большие расстояния друг от друга,...
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек icon27. ЗадаЧа двух тел
Задача двух тел – отыскание закона движения системы двух тел материальных точек с массой и радиус-вектором и с массой и радиус-вектором,...
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconДокументы
1. /Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. 1989.djvu
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconДокументы
1. /Джонсон К.Механика контактного взаимодействия.1989.djvu
VI. АналитиЧескаЯ механика 35. Сильные взаимодействиЯ и свЯзи в системе материальных тоЧек iconЗакон движения твердого тела. Твердое тело система бесконечно большого числа материальных точек, расположенных непрерывно в пространстве в каждом бесконечно малом объеме внутри замкнутой поверхности тела, расстояния между которыми
Твердое тело система бесконечно большого числа материальных точек, расположенных непрерывно в пространстве в каждом бесконечно малом...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов