43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon

43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ



Название43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Дата конвертации27.08.2012
Размер81.79 Kb.
ТипЗадача




43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ

и принцип экстремального действиЯ

1. Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа



определяет состояние системы координатами и скоростями, которые не являются мерами количества движения, т.е. интергалами движения, для определенных граничных условий. Интегралами в мгновенно изолированных консервативных системах являются обобщенные импульсы



и обобщенная энергия – гамильтониан H. По закону сохранения и превращения обобщенной энерггии



передача энергии от источников сил к системе за бесконечно малфый промежуток времени dt:



может быть выражена через импульсы, являющиеся мерами количества движения и новыми независимыми переменными вместо скоростей

.

Сравнение этих выражений показывает, что



частные производные от L и H по t и обращаются в нуль одновременно и являются для них циклическими, тоже одновременно. Из уравнений движения Лагранжа, в которых диссипативные силы отнесены к непотенциальным для простоты записи



и получаются

канонические уравнения движения, равнозначные уравнениям Лагранжа



- уравнения движения первого порядка, число которых 2s равно удвоенному числу степеней свободы относительно координат и импульсов gif" name="object16" align=bottom width=20 height=24>, непосредственно определяющих состояние системы как независимые меры количества движения .

2. Движение системы материальных точек есть непрерывная последовательность перемещений вдоль независимых обобщенных координат - вдоль степеней свободы – за каждый бесконечно малый промежуток времени , , , на которых системе передаются количества движения- обобщенные импульсы, обобщенные энергии – кинетическая и потенциальная, равная с обратным знаком силовой функции , так что мерой явной и скрытой передаваемой энергии является - Лагранжиан. Он не сохраняется, а накапливается под действием потенциальных сил и выражает меру переданного количества движения, меру взаимодействия.

Действие – физическая величина, равная сумме Лагранжианов на всех бесконечно малых перемещениях, переданных системе, усредненная по времени.



В отличие от энергии E, действие различно при перемещениях по разным траекториям, т.к. является мерой взаимодействия.

^ Вариация действия – его изменение вследствие возможного изменения закона движения, т.е. вследствие вариации координат и скоростей системы, допускаемых мгновенно замороженными связями

,



.

В определенном начальном состоянии , и

.

Поскольку



получается

общее уравнение динамики для действия:

.

Движение из определенного начального состояния в определенный начальный момент к определенному конечному в определенный конечный момент , который тоже определяется через

^ Принцип экстремального действия: для действительной траектории действительного (осуществляющегося) закона движения консервативной системы между фиксированными состояниями



действие достигает экстремума.

3. Движение консервативных систем, , определяется общим уравнением динамики, из которого следует

,

что действие является потенциалом для импульсов консервативных систем (но нестационарным потенциалом). Оно передается со скоростью

.



С другой стороны в обобщенные скорости определяются из известных решений



,

так что действие S явно от скоростей не зависит и частная производная по

,

.

Общему уравнению динамики, а с ним – уравнению Гамильтона – равнозначно

Уравнение движения Гамильтона-Якоби

.

Обратно, замена и при

, т.е. при известном полном интеграле




зависящим от

.

Еще одно дифференцирование по , а не по дает

.

^ Канонические уравнения движения

, где

равнозначны уравнению движения Гамильтона-Якоби второго порядка. Если S – решение уравнения Гамильтона-Якоби, то - решение канонических уравнений.

^ Теорема Якоби: если известен полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, т.е. его решение как функция стольких независимых постоянных – импульсов, равных начальным, сколько независимых переменных (второй интеграл), есть , то импульсы - решения (движения) канонических уравнений, которые равнозначны уравнениям Гамильтона-Якоби.


^ 45. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРЕМА ЯКОБИ.

Закон движения механической системы, движущейся вдоль связей - зависимость от времени физических величин, функций обобщенных координат импульсов и времени как независимых переменных



. Co скоростью - полной производной по времени:



Подставляя в предыдущее уравнение и получим:



где:



Последнее уравнение называют скобками Пуассона для величин и .

В консервативных системах

так, что величина есть интеграл движения:



Если же явно от времени не зависит, то, для того чтобы функция канонических переменных была бы интегралом движения, скобки Пуассона с функцией Гамильтона данной механической системы должны обращаться в ноль:



Скобки Пуассона можно определить для любой пары величин зависящих от и :



Используя это определение, не трудно доказать следующее свойства:




Можно ввести понятие фундаментальных скобок Пуассона. Для этого положим одну из функций или равной или .

Тогда:



Положим теперь и . Получаем:



Соотношения называют фундаментальными скобками Пуассона.

Можно показать, что между скобками Пуассона, составленными из трех функций -----существует соотношение:



называемое тождеством Якоби.

Вычислим полную производную по от



и воспользуемся тождеством Якоби, приводя к виду:



Но если и — интегралы движения, то:



Следовательно, что и требовалось доказать.

Мы видели, что полная производная по времени любой функции , --- канонических переменных -, которая не зависит от времени явно , определяется равенством

При



и канонические уравнения принимают вид



Если f = H , то [H,H] =0



Если H не зависит от t явно



Гамильтониан есть интеграл движения канонических уравнений движения

и называется обобщенной энергией

  1. Основная задача механики - определение закона движения решением уравнения движения Гамильтона-Якоби

,

ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ УГЯ - его решение, выраженное через столько

произвольных постоянных, сколько независимых неизвестны - s обобщенных

координат и время - всего s + 1





Одна произвольная постоянная аддитивна .

Закон движения - частный случай канонических преобразований , в которых

производящая функция F = S .





Произвольные постоянные должны быть новыми импульсами,



а новые координаты связаны со старыми каноническими преобразованиями









интегралы движения.

Дифференцирование УГЯ по дает





Дифференцирование уравнений = по дает





Сравнение с предыдущей производной от УГЯ дает первое каноническое уравнение



Подобно этому дифференцирование УГЯ по дает



С другой стороны



а из предыдущего следует



так что получается второе каноническое уравнение



^ Теорема Якоби: если известен полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, т.е. его решение как функция стольких независимых постоянных – импульсов, равных начальным, сколько независимых переменных (второй интеграл), есть , то импульсы - решения (движения) канонических уравнений, которые равнозначны уравнениям Гамильтона-Якоби.


^ 46. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ.

Закон движения консервативной системы следует из решения УГЯ

,





УГЯ для УКОРОЧЕННОГО ДЕЙСТВИЯ



получается в виде системы двух уравнений





Но здесь

УГЯ консервативной системы равнозначно двум независимым уравнениям





так что в них время отделяется от других координат

Если они решены, то есть найдены



где

то дифференцирование дает уравнение фазовой траектории



По первой теореме Якоби новая каноническая координата



Разрешение этих уравнений дает закон движения по фазовой траектории



Закон движения системы с циклическими координатами



которые одновременно не входят и в L и в H, определяется из УГЯ , в котором






Здесь





Здесь сопряженный циклической координате



,



Решение УГЯ

линейно относительно циклических координат и подстановка в ( ) дает для неконсервативной системы



где Wm явно циклических координат не содержит

В консервативной системе УГЯ равнозначно





Похожие:

43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon51. энергия линейного осциллятора
Закон движения линейного осциллятора ло определяется либо из уравнения движения либо из эквивалентной ему системы интегралов движения...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon1. 4 законы сохранения и переноса энергии и момента импульса
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек из уравнения движения по известному закону сил
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon84. волны в упругих средах
Уравнение движения упругой Среды есть предел уравнения движения пространственной решетки и в области, где вынуждающие силы не действуют,,...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconМеханика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия
Планка, которая претендует, как квант действия, на роль меры механического движения в микромире
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconПеречень знаний по теме «Кинематика»
«скорость равномерного прямолинейного движения», «средняя скорость», графические модели равномерного и неравномерного прямолинейного...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon25. Собственный момент импульса и момент импульса центра масс
Основная задача механики – определение закона движения системы мтi по известному закону сил из уравнения движения
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconОписание электронно-позитронных волн и электромагнитного поля с помощью единого уравнения. Возможность существования псевдоскалярного поля, родственного электромагнитному
Предлагается волновое уравнение в пространстве 7 переменных. Его можно рассматривать как релятивистское обобщение уравнения, получающегося...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconЦель работы. Изучение назначения, принципа действия, конструкции и основных технических характеристик устройств защитного отключения. Принцип действия узо
Устройства защитного отключения, peai ирующие на дифференциальный ток относятся к дополнительным видам защиты человека от поражения...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconДокументы
1. /Автомобильные климатические установки. Устройство и принцип действия. Программа самообучения...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов