Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы icon

Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы



НазваниеVii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы
Дата конвертации27.08.2012
Размер59.26 Kb.
ТипЗакон




VII. ДИНАМИКА ЧАСТНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.


48. Одномерные КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ системы.

I ОДНОМЕРНАЯ СИСТЕМА материальных точек - такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия выражается через одну обобщенную координату q(t). Определение закона движения по известному лагранжиану L, функции

Релея Ф и закону непотенциальных сил эквивалентно определению интегралов движения из уравнения движения, в частности, кинетической энергии. УДЛ



При стационарных связях

,



и уравнение движения принимает вид





Уравнение движения равнозначно двум уравнениям первого порядка








дает или уравнение кривой в пространстве - на плоскости (q,p)

СОСТОЯНИЕ (фаза) -механической системы есть задание значений всех ее

физических величин или независимых из них. Так как закон движения однозначно определяется как



функция начальных значений координат и импульсов, а начальный момент произволен, то состояние системы однозначно определяется координатой и

импульсом gif" name="object16" align=absmiddle width=49 height=19>

^ ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ, Фазовая плоскость )ФП(q,p) - плоскость состояния ЛО - абстрактное пространство ( плоскость) обобщенных координат и импульсов , которые называются фазовыми координатами и в котором вдоль осей координат системы отсчета СО S(V=0, v=0) с началом отсчета в положении равновесия, отложены значения q координаты и импульса p линейного осциллятора - фазовой координаты ЛО.

^ Фазовая точка (ФТ) - точка фазового пространства с фазовыми координатами x(t), p(t) которая в данный момент t соответствует состоянию ЛО.

Вектор состояния - радиус вектор фазовой точки состояния




^ Фаза состояния j - полярный угол j(t) вектора состояния в полярных координатах фазовой точки ФП(X) на фазовой плоскости.

tgj (t)=p`(t)/q(t) при t=t0=0; tgj0=p(0)`/q(0)=

^ Фазовая траектория ФТР(ЛО) - непрерывная последовательность бесконечно малых перемещений фазовой точки dX(t) как линия , которую описывает ФТ. Фазовая точка вследствие движения системы.

^ Угловая скорость- циклическая частота,.



- скорость изменения его фазы вследствие движения

Уравнение движения



эквивалентно двум уравнениям первого порядка и полной системе интегралов

движения

,



в частности в потенциальном поле.



Любая система мгновенно консервативна



Существуют точки остановки



Продолжение движения за них привело бы к невозможному закону движения

в квадратурах . Если смещение от равновесия обозначено x = q - qo



или



зависит только от e и t0, т.е. является 2-м скалярным интегралом движения.

Если U(x)<0, о =T+U(x), так что при -U(x)<0

или -мнимое время.

но -U(x)= MV2/2>0, так что мнимое решение УДдаст неосуществимое движение системы, противоречащее закону сохранения . Поэтому во время движения должен выполняться закон :

-U(x)>0

Значит, в точках x1,x2 , где -U(x)=0 скорость системы должна менять знак на обратный.

^ Точки поворота x1,x2 ... - точки , в которых система меняет знак на противоположный. Они определяются из уравнения точек поворота -U(x)=0 когда потенциальная энергия равна полной и кинетическая обращается в поле, т.е. система останавливается. Точки поворота есть точки останова.




Координаты точек поворота x1(x2 ( зависят только от полной энергии,

Запрещенные области - в которых закон движения получается мнимым, а

кинетическая энергия - отрицательной. - (x1,x2), (x3,) - области координат, в которых решения уравнения движения мнимые, т.е. не выполняется закон сохранения энергии. U(x), движение невозможно.

^ Разрешенные области - в которых закон движения действительный .

РАВНОВЕСИЕ - средняя точка между точками поворота U(x), где

потенциальная энергия достигает минимума , устойчиво



^ Потенциальная яма - разрешенная область между ближайшими конечными точками поворота (x1,x2).

Потенциальный барьер - запрещенная область между ближайшими конечными точками поворота (x2,x3).

Финитное движение - в потенциальной яме, где x<

Инфинитное - между бесконечно удаленными точками поворота.

^ Колебательное движение - периодическое финитное движение, в котором периодически повторяются координаты и импульсы x, в обоих порядках следования.



В потенциальной яме, если точки поворота определены как корни уравнения -U(x)=0 то выражение



разлагается в трехчлен, в котором (x-x1)>0, (x2-x)>0, x)>0

(x) не имеет корней. Замена

x=(t)

дает



где от времени t зависит лишь t)), а x-xi - независимые переменные. Поэтому



Эквивалентно двум уравнениям



Симметризующая замена переменных через координаты точек поворота.




дает




Закон финитного движения в потенциальной яме - колебательный.

Время перехода между точками поворота x1,x2 , равное t-t0 =T/2, есть половина периода колебания, равно времени обратного движения.



- второй скалярный интеграл движения.

Период колебания



второй скалярный интеграл движения.

В точках поворота



Частота колебаний финитной системы зависит от амплитуды-максимального смещения от равновесия



Движение системы около точки остановки x1, x0-x1<< x1, и x-x1<< x1 где потенциальная энергия равна U(x1) = Е0 , представляется первыми слагаемыми разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x1,



Подстановка в формулу для закона движения в квадратурах вблизи, но не в самой точке остановки, дает



отсюда, находится

Очевидно, знак + в правой части нужно поставить, если x0>0, а знак -, если x0 <0. Пусть x0=x, т.е. частица в начальный момент времени t0 находится в точке остановки.

Тогда закон движения вблизи x1 имеет вид:



т.е. частица движется с постоянным ускорением, что и должно быть, т.к. движение происходит под действием постоянной силы. Если отрезок пути S примыкает к точке остановки, то для его прохождения необходимо затратить конечный отрезок времени несмтря на расходимость интеграла

т.е. Малый отрезок пути S вдали от точки остановки частица проходит за время Dt~s? так как в системе подобран ЛГО в вблизи точки остановки частица затрачивает большее время на прохождение малого отрезка пути S, чем вдали от нее , так как скорость частицы вблизи точки остановки стремится к нулю. Вблизи максимума потенциального барьера, где U`(x)=0,(неустойчивое равновесие)

Разложение U(x) в окрестности x1 так как U`| x=x1=0.



Поскольку в точке x1 U(x) имеет максимум, то U``(x1)<0.

где

Отсюда следует закон движения частицы в виде



Знак в показателе экспоненты определяется направлением скорости частицы в начальный момент времени t0 в точке x0. В окрестности точки x1 при приближении к ней



если выбран знак (-) и закон движения принимает вид



при удалении от x1

По достижении x(t) = x1

для прохождения участка пути до точки остановки x1, находящейся в максимуме потенциального барьера, частице необходимо бесконечно большой отрезок времени, т.е. частица может приблизится к x1 лишь асимптотически.




Похожие:

Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconVii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы
Одномерная система материальных точек такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия...
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconSos-резюме Кризис отмирающей цивилизации на Земле, как результат безответственных
В связи с завершением рекогносцировки на основании биоэнергетического баланса систем в едином физическом пространстве, обнародованном...
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы icon71. многомерные колебательные системы
Положение устойчивого равновесия с координатами является положением минимума потенциальной энергии как центра потенциальной ямы
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconВиртуальная школа компьютерных технологий
В данной лекции вводится понятие операционной системы; рассматривается эволюция операционных систем; описываются функции и подходы...
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconТема VII. Оптические свойства коллоидных систем
При падении луча света на дисперсную систему могут наблюдаться следующие явления
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconЛекция 11. Типология, структура и функция информационных систем
СУ» и «системы автоматического управления (техническими объектами) – сау», поскольку «управление» и есть выработка управляющей информации....
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconТипология воспитательных систем сельских малочисленных школ
Специфика воспитательной системы малочисленной школы проявляется в ее индивидуальности, которая может быть представлена моделью воспитательной...
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconДуша -пространственный микропроцессор на динамических неоднородностях
Каждый новый этап развития естественных наук и техники позволял человечеству вводить новые модели для описания человека и всех процессов,...
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconIii. Динамика системы материальных тоЧек. 21. УравнениЯ и интегралы движениЯ системы материальных тоЧек
Система тел согласно принципу делимости тел есть множество n материальных точек, непрерывно занимающих некоторый объем V и дискретно...
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconIii. Динамика системы материальных точек. 21. Уравнения и интегралы движения системы материальных точек
Система тел согласно принципу делимости тел есть множество n материальных точек, непрерывно занимающих некоторый объем V и дискретно...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов