Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы
|
| VII. ДИНАМИКА ЧАСТНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 48. Одномерные КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ системы. I ОДНОМЕРНАЯ СИСТЕМА материальных точек - такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных  точек в силу их связи-взаимодействия выражается через одну обобщенную координату q(t). Определение закона движения по известному лагранжиану L, функции Релея Ф и закону непотенциальных сил  эквивалентно определению интегралов движения из уравнения движения, в частности, кинетической энергии. УДЛ При стационарных связях   , и уравнение движения принимает вид    Уравнение движения равнозначно двум уравнениям первого порядка    дает  или  уравнение кривой в пространстве - на плоскости (q,p)СОСТОЯНИЕ (фаза) -механической системы есть задание значений всех ее физических величин или независимых из них. Так как закон движения однозначно определяется как  функция начальных значений координат и импульсов, а начальный момент произволен, то состояние системы однозначно определяется координатой и импульсом ^ q,p) - плоскость состояния ЛО - абстрактное пространство ( плоскость) обобщенных координат и импульсов , которые называются фазовыми координатами и в котором вдоль осей координат системы отсчета СО S(V=0, v=0) с началом отсчета в положении равновесия, отложены значения q координаты и импульса p линейного осциллятора - фазовой координаты ЛО. ^ - точка фазового пространства с фазовыми координатами x(t), p(t) которая в данный момент t соответствует состоянию ЛО. Вектор состояния   - радиус вектор фазовой точки состояния  ^ j - полярный угол j(t) вектора состояния  в полярных координатах фазовой точки ФП(X) на фазовой плоскости. tgj (t)=p`(t)/q(t) при t=t0=0; tgj0=p(0)`/q(0)=  ^ ФТР(ЛО) - непрерывная последовательность бесконечно малых перемещений фазовой точки dX(t) как линия , которую описывает ФТ. Фазовая точка вследствие движения системы. ^ - циклическая частота,.  - скорость изменения его фазы вследствие движения Уравнение движения  эквивалентно двум уравнениям первого порядка и полной системе интегралов движения  ,   в частности в потенциальном поле.  Любая система мгновенно консервативна  Существуют точки остановки  Продолжение движения за них привело бы к невозможному закону движения в квадратурах . Если смещение от равновесия обозначено x = q - qo  или  зависит только от e и t0, т.е. является 2-м скалярным интегралом движения. Если U(x)<0, о =T+U(x),  так что при -U(x)<0или  -мнимое время.но -U(x)= MV2/2>0, так что мнимое решение УД даст неосуществимое движение системы, противоречащее закону сохранения . Поэтому во время движения должен выполняться закон :-U(x)>0 Значит, в точках x1,x2 , где -U(x)=0 скорость системы должна менять знак на обратный. ^ x1,x2 ... - точки , в которых система меняет знак на противоположный. Они определяются из уравнения точек поворота -U(x)=0 когда потенциальная энергия равна полной и кинетическая обращается в поле, т.е. система останавливается. Точки поворота есть точки останова.  Координаты точек поворота x1(x2 ( зависят только от полной энергии, Запрещенные области - в которых закон движения получается мнимым, а кинетическая энергия - отрицательной. - (x1,x2), (x3,) - области координат, в которых решения уравнения движения мнимые, т.е. не выполняется закон сохранения энергии. U(x), движение невозможно. ^ - в которых закон движения действительный . РАВНОВЕСИЕ - средняя точка между точками поворота U(x), где потенциальная энергия достигает минимума , устойчиво  ^ - разрешенная область между ближайшими конечными точками поворота (x1,x2). Потенциальный барьер - запрещенная область между ближайшими конечными точками поворота (x2,x3). Финитное движение - в потенциальной яме, где x< Инфинитное - между бесконечно удаленными точками поворота. ^ - периодическое финитное движение, в котором периодически повторяются координаты и импульсы x,  в обоих порядках следования. В потенциальной яме, если точки поворота определены как корни уравнения -U(x)=0 то выражение  разлагается в трехчлен, в котором (x-x1)>0, (x2-x)>0, x)>0 (x) не имеет корней. Замена x=(t) дает  где от времени t зависит лишь t)), а x-xi - независимые переменные. Поэтому  Эквивалентно двум уравнениям  Симметризующая замена переменных через координаты точек поворота.  дает  Закон финитного движения в потенциальной яме - колебательный. Время перехода между точками поворота x1,x2 , равное t-t0 =T/2, есть половина периода колебания, равно времени обратного движения.  - второй скалярный интеграл движения. Период колебания  второй скалярный интеграл движения. В точках поворота  Частота колебаний финитной системы зависит от амплитуды-максимального смещения от равновесия  Движение системы около точки остановки x1, x0-x1<< x1, и x-x1<< x1 где потенциальная энергия равна U(x1) = Е0 , представляется первыми слагаемыми разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x1,  Подстановка в формулу для закона движения в квадратурах вблизи, но не в самой точке остановки, дает  отсюда, находится  Очевидно, знак + в правой части нужно поставить, если x0>0, а знак -, если x0 <0. Пусть x0=x, т.е. частица в начальный момент времени t0 находится в точке остановки. Тогда закон движения вблизи x1 имеет вид:  т.е. частица движется с постоянным ускорением, что и должно быть, т.к. движение происходит под действием постоянной силы. Если отрезок пути S примыкает к точке остановки, то для его прохождения необходимо затратить конечный отрезок времени несмтря на расходимость интеграла  т.е.  Малый отрезок пути S вдали от точки остановки частица проходит за время Dt~s? так как в системе подобран ЛГО в вблизи точки остановки частица затрачивает большее время на прохождение малого отрезка пути S, чем вдали от нее , так как скорость частицы вблизи точки остановки стремится к нулю. Вблизи максимума потенциального барьера, где U`(x)=0,(неустойчивое равновесие)Разложение U(x) в окрестности x1 так как U`| x=x1=0.  Поскольку в точке x1 U(x) имеет максимум, то U``(x1)<0.  где  Отсюда следует закон движения частицы в виде  Знак в показателе экспоненты определяется направлением скорости частицы в начальный момент времени t0 в точке x0. В окрестности точки x1 при приближении к ней  если выбран знак (-) и закон движения принимает вид  при удалении от x1  По достижении x(t) = x1  для прохождения участка пути до точки остановки x1, находящейся в максимуме потенциального барьера, частице необходимо бесконечно большой отрезок времени, т.е. частица может приблизится к x1 лишь асимптотически. |
Похожие:
 | Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы Одномерная система материальных точек такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия... | | Sos-резюме Кризис отмирающей цивилизации на Земле, как результат безответственных В связи с завершением рекогносцировки на основании биоэнергетического баланса систем в едином физическом пространстве, обнародованном... |
| 71. многомерные колебательные системы Положение устойчивого равновесия с координатами является положением минимума потенциальной энергии как центра потенциальной ямы | | Виртуальная школа компьютерных технологий В данной лекции вводится понятие операционной системы; рассматривается эволюция операционных систем; описываются функции и подходы... |
| Тема VII. Оптические свойства коллоидных систем При падении луча света на дисперсную систему могут наблюдаться следующие явления | | Лекция 11. Типология, структура и функция информационных систем СУ» и «системы автоматического управления (техническими объектами) – сау», поскольку «управление» и есть выработка управляющей информации.... |
| Типология воспитательных систем сельских малочисленных школ Специфика воспитательной системы малочисленной школы проявляется в ее индивидуальности, которая может быть представлена моделью воспитательной... | | Душа -пространственный микропроцессор на динамических неоднородностях Каждый новый этап развития естественных наук и техники позволял человечеству вводить новые модели для описания человека и всех процессов,... |
| Iii. Динамика системы материальных тоЧек. 21. УравнениЯ и интегралы движениЯ системы материальных тоЧек Система тел согласно принципу делимости тел есть множество n материальных точек, непрерывно занимающих некоторый объем V и дискретно... | | Iii. Динамика системы материальных точек. 21. Уравнения и интегралы движения системы материальных точек Система тел согласно принципу делимости тел есть множество n материальных точек, непрерывно занимающих некоторый объем V и дискретно... |