71. многомерные колебательные системы icon

71. многомерные колебательные системы



Название71. многомерные колебательные системы
Дата конвертации27.08.2012
Размер55.19 Kb.
ТипДокументы



71. МНОГОМЕРНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ


п.1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ.

Многомерная колебательная система- голономная система материальных точек МТI C

J=3N-K степенями свободы, которым соответствуют обобщенные координаты qi с K стационар-

ными идеальными геометрическими связями , движущаяся вблизи устойчивого равновесия. Ее за-

кон движения определяется уравнениями Лагранжа



c Лагранжаном



и функцией Релея



Положение устойчивого равновесия с координатами является положением минимума потенциальной энергии как центра потенциальной ямы.



Движение системы в яме есть колебания между точками поворота определяемыми из закона сохранения энергии



При малых смещениях от положения равновесия



потенциальная энергия представляется первыми тремя слагаемыми разложения в степенной ряд

по





gif" name="object19" align=absmiddle width=34 height=21> -тензор упругости возвращающих сил вдоль обобщенных координат


Уравнения движения Лагранжа колебательной системы есть система уравнений движения вдоль

вдоль каждой обобщенной координаты (степени свободы) -дифференциальных уравнений второ-

го порядка . Каждое из них равнозначно двум уравнениям первого порядка, как уравнения Лагранжа - системе двух канонических уравнений первого порядка. Решение одного из уравнений этой пары дает зависимость координат от скоростей так, что состояние системы

определяется обобщенными координатами и скоростями



^ Фазовое пространство многомерной колебательной системы - абстрактное пространство обобщенных координат и скоростей 2s измерений ,или их отклонений от равновесных значений.

^ Фазовая точка - точка фазового пространства с координатами (фазовыми координатами) соответствующая состоянию системы .

^ Вектор состояния - радиус-вектор фазовой точки.

Комплексное фазовое пространство - ФП ,в котором по осям координат отложены

^ Комплексный вектор состояния

Дифференцирование уравнения движения ,умножение результата на мнимую единицу и сложение

с исходными





72. ^ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ.


Свободные колебания многомерной системы - все колебания в отсутствие - после выключения -

внешних вынуждающих сил

Закон движения свободно колеблющейся системы есть решение у-й Лагранжа



Выделение в них слагаемые с одной координатой



приводит их к уравнениям вынужденных колебаний системы вдоль каждой координатной оси отдельно под действием смещений вдоль оси a,но вынуждающей колебания вдоль степеней свободы b через связи mababab.В силу этого подобия решрния уравнений Лагранжа многомерной колебательной системы должно иметь вид закона движения вынужденных колебаний линейного осциллятора

его подстановка в уравнение движения дает



систему уравнений амплитуд



Предполагаемое решение Cb(t) является действительным решением,если амплитуды bb0 есть реше-

ния уравнения амплитуд.

Последнее имеет ненулевые решения, если определитель этой системы обращается в нуль



или




Корни этого характеристического уравнения комплексные

ln=ln//+iln/ ,n=1...s

Ихподстановка в общий закон движения

дает

1) Если l//n>0 , то неограничено возрастает со временем , что невозможно по

закону сохранения энергии

l//n<0, l/n º wn

Тогда возможны два крайних случая

а)ú l//n ú>>wn и за время смещение x//a(t) от равновесия монотонно убывает к нулю , движение апериодическое - неколебательное ,время затухания меньше периода

б) l//n<n и за время затухания ,гораздо больше периода смещения вдоль каждой степени свободы



условно периодически колеблется как линейный осциллятор с координатой вдоль этой степени свободы qb(t) .Движение системы — затухающие колебания отклонения каждой обобщенной координаты Xa(t) от равновесного значения qa0 с собственной частотой wn0

в) l//n=0 - движение вдоль координаты qa



- незатухающее гармоническое колебание с собственной частотой wn.

Амплитуды для каждого колебания счастотой wn определяются из уравнений амплитуд связанных колебаний системы вдоль всех степеней свободы qa , из которых независимой остается одна Она в уравнениях амплитуд выделяется в правую часть - столбец с индексом g, и как произвольная задается в виде граничного условия .



и из системы уравнений амплитуд удаляется (вычеркивается) уравнение , содержащее a=g, соответствующее произвольно задаваемой амплитуде Хng0. остальные s-1 уравнения составляют неоднородную систему определителем однородной части



в котором строка и столбец с номерами a=g и b=g вычеркнуты .

Решение сокращенной системы амплитуд




задается определителем , которыц получается из

заменой столбца b=g на столбец правоц части системы



соответствующий определенноц амплитуде Хa0 колебания вдоль степени свободы qa с частотой wn при заданной произвольно амплитуде Хg0n ,которая является общим множителем столбца bagn и выносится из определителя



В числителе этого выражения множителем является определитель сокращенной системы амплитуд , в котором столбец a=g заменен на столбец bagn и выносится из определителя



В числителе этого выражения множителем является определитель сокращенной системы ам-

плитуд , вкотором столбец g=a заменен на столбец , вычеркнутый при составлении сокращенной

системы



Вместе с Хng0 оказываются произвольными постоянными

определяемыми начальными условиями Хng0

Подстановка их и корней характерестического уравнения в одно из возможных частных решений уравнения движения дает частное решение т. е. один из возможных законов движения

- собственная частота s-мерной

колебательной системы ,мнимая часть n-го корня характеристического уравнения , а hn=l//n - его действительная часть - показатель затухания.

- Согласно свойству линейности уравнений движения , если есть их решение , то и суперпозиция всех частных решений есть их общее решение , - общий закон движения многомерной колебательной системы




ТЕОРЕМА ДЕБАЯ

Движение s-мерной колебательной системы вдоль каждой степени свободы

есть наложение синусоидальных колебаний со всеми возможными s собствен-

ными частотами wn и всевозможными амплитудами



выражающимися через произвольно задаваемые амплитуды Хng0 колебаний

вдоль одной из степеней свободы для колебаний с каждой возможной часто-

той wn




Похожие:

71. многомерные колебательные системы iconТема 13. Многомерные сигналы и системы
Человек и бездна – две бесконечномерных системы в разных функциональных пространствах с одной точкой пересечения. И лучше держаться...
71. многомерные колебательные системы iconVii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы
Одномерная система материальных точек такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия...
71. многомерные колебательные системы iconVii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы
Одномерная система материальных точек такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия...
71. многомерные колебательные системы iconСпециализация: «Строительные машины и оборудование» Специальность
Химические системы: растворы, дисперсные системы, катализаторы и каталитические системы, полимеры и олигомеры
71. многомерные колебательные системы iconЗнаковые системы
В основе знаковой системы лежит набор знаков, называемый алфавитом. Эти знаки имеют определенную физическую природу. С некоторыми...
71. многомерные колебательные системы iconЛекция 11. Типология, структура и функция информационных систем
СУ» и «системы автоматического управления (техническими объектами) – сау», поскольку «управление» и есть выработка управляющей информации....
71. многомерные колебательные системы iconВопрос 23 Новаторские воспитательные системы, их сущность и специфика
В современном мире существуют многообразные воспитатель­ные системы, отличающиеся друг от друга видом, местонахожде­нием, временем...
71. многомерные колебательные системы iconПочему Россия оказалась в числе самых отсталых стран по производству и
Там же появились и все широко употребимые системы управления базами данных, операционные системы компьютеров, машины для информационного...
71. многомерные колебательные системы iconСредства и системы телефонии
Основой такой системы являются электронные телефонные аппараты различных модификаций, обладающие следующими свойствами
71. многомерные колебательные системы iconУрок по теме «Системы линейных уравнений»
Т. к. , то данная система не будет иметь решений, т к графики, соответствующие уравнениям системы, параллельны
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов