Идеальная жидкость icon

Идеальная жидкость



НазваниеИдеальная жидкость
Дата конвертации28.08.2012
Размер98.39 Kb.
ТипЗадача

ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ

1. Основная задача механики Сплошных сред, в частности — вязкой жидкости — определение поля скоростей из решения МД или равнозначных законов сохранения и переноса , приближенно решается внутри и вне пограничного слоя.

Вязкая жидкость вне пограничного слоя толщиной



для хорошо обтекаемых тел меньшей их размера L, движется как идеальная жидкость (невязкая) соглано 8-и уравнениям законов сохранения и переноса, называемых далее уравнениями движения




относительно 8-и неизвестных функций , так что ситема этих уравнений — полная, замкнутая и потому однозначно определяет решение по начальным и граничным условиям (определяющим произвольные постоянные).

Эти граничные условия — условие непрницаемости пограничного слоя — частицы не могут пересекать твердую границу,



и



В несжимаемой жидкости



Уравнения состояния, например для газа вне пограничного слоя подобно жидкости,



связаны основным термодинамическим равенством:




Из уравнения Эйлера движения жидкости



в потенциальном поле массовых сил для потенциального течения (если в начальный момент вихри отсутствовали, то они отсутствуют всегда) получается уравнение для компонент скорости




В нем второе слагаемое (индекс суммирования преобразуется a®b




перестановкой производных по gif" name="object16" align=absmiddle width=55 height=21> преобразуется к производной от плотности энергии (кинетической)

Подстановка этого преобразования в уравнение Эйлера дает:



для несжимаемой жидкости, где =0

Баротропная жидкость — в которой величина



может быть представлена как градиент потенциала объемного действия сил давления, как для изотермического и адиабатического газа,



Тогда



интеграл Лагранжа — Коши



есть постоянная по всей жидкости:

Теорема Коши — Лагранжа:

Интеграл Лагранжа — Коши в идеальной баротропной жидкости в потенциальном внешнем поле массовых сил при потенциальном течении одинаков во всех геометрических точках идеальной жидкости в данный момент времени.

В стационарном течении несжимаемой жидкости





сохраняется интеграл Бернулли



В нем

производная по направлению линии тока, так что интеграл В сохраняется вдоль линии тока

Подстановка:

в интеграл Лагранжа — Коши дает:



уравнение для потенциала скоростей j и давления р,подобное уравнению Лапласа (при в стационарном движении), но нелинейное,

В уравнении движения Эйлера



величина есть часть от



при



и получается



Уравнение Громека — Ламба



Если внешнее массовое поле потенциально, , то

или


и окончательно:



Поскольку rot grad B =0 , и так как



Здесь согласно дифференциальной формуле



поскольку



в силу сохранения вихревых линий



— уравнение динамической возможности движения баротропной жидкости

Для несжимаемой жидкости получается закон:



переноса вихрей



Если в некоторый момент времени t в жидкости существует вихревая линия , касательная к ,совпадающяя с некоторой материальной линией — линией, походящей через непрерывную последовательность материальных точек, — с жидкой линией. В момент t+dt эта жидкая линия переместиться на место . Отрезок лини пeремещается в смежное положение . По принципу сложения премещений



Поскольку вихревая линия совпадает с материальной




Подстановка этого выражения в выражение для дает



так что материальная линия , которая совпадала с вихревой линией в момент t , остается вихревой линией и в любой момент t+dt

^ Теорема Гельмгольца о сохраняемости вихревых линий :

в движущейся под действием консервативного поля массовых сил идеальной несжимаемой жидкости вихревые линии сохраняются.

Если в момент t=t0 вектор , тогда согласно уравнению динамической возможности движения



вектор угловой скорости равен нулю в любой момент

Если в t=t0 то при (несжимаемость)



жидкая частица вращается в любой момент с

В плоском течении , где ось вихря нормальна плоскости xoy, ротор выражается через векторный потенциал



по определению плоского течения

Таким образом в плоском течении



выражается через векторный потенциал , нормальной плоскости xoy, если существует функция y, такая что




^ ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ

Плоское движение жидкости — движение , в котором все частицы перемещаются параллельно некоторой плоскости xoy. Линии тока в нем - поперечные сечения цилиндров с образующими , перпендикулярными плоскости xoy.

^ Обтекаемое тело — цилиндр , перпендикулярный той же плоскости xoy, образованной параллельным переносом некоторого контура , называемого профилем С, лежащего в плоскости хоу, по нормали к ней .

Все величины в таком потоке относятся к единице длины вдоль нормали к плоскости хоу , т.е. вдоль от oz , так что элемент длины профиля есть элемент поверхности этого цилиндра , длиной 1 м вдоль оz и — вдоль профиля С.

Основная задача механики сплошной среды -вязкой жидкости - определение поля скоростей в каждый момент t времени из уравнений движения по известным граничным и начальным условиям .

Для потенциального течения



скорость определяется потенциалом скоростей , который есть решение уравнения Лаппаса



в котором согласно свойству трансляционной симметрии вдоль оси оz



Однозначное решение получается совместно с другими законами сохранения и переноса , в частности , с уравнением непрерывности в стационарном течении



здесь в силу потенциальности течения при



уравнение непрерывности



удовлетворяется тождественно , так что существует функция y через которую определяются компоненты скорости , но не потенциал . Поле скоростей определяется линиями тока



Последнее выражение - полный дифференциал, равный нулю .

Функция тока



постоянна вдоль линий тока, тогда как потенциал j(x,y) вдоль линий тока изменяется с максимальной скоростью. Вдоль этих линий компоненты скорости, параллельные компонентам касательных к годографу скорости,выражаются через j и y :



и произведение



что означает: нормали к изопотенциальным поверхностям, grad j, и к линиям тока y=const, взаимно перпендикулярны, так что взаимно перпендикулярны эквипотенциальные поверхности и линии тока.





Этот ток j(x,y)=С, создает объемный расход жидкости через каждое сечение потока М0М1×1m , выраженный через направляющие косинусы нормали к М0М1®nx , ny



Бесконечно малое сечение М0М1 потока с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка совпадает с совокупностью двух элементарных сечений



так что расход



Разность значений функции тока в двух точках потока равна объемному расходу сквозь сечение трубки тока ,ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки М0М1. Одна линия тока выбирается за нулевую и вдоль нее . Тогда постоянная



равна расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.


^ КОМПЛКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКРГО БЕЗВИХРЕВОГО СЕЧЕНИЯ.

1. Закон движения идеальной жидкости — поле — определяется двумя скалярными величинами , подобные скалярному и векторному потенциалам — потенциалам скоростей Ъ и функцией тока j(x,y,z), связанные отношениями Коши — Лагранжа



в одну комплексную величину , которая является функцией не отдельно от x и y, а тоже от одного комплексного аргумента

Ее производная по z




Поскольку , то последняя дробь равна еденице и




то есть



При выполнение условий Коши — Римана производная по oz изотропна, то есть дифференцирование по Z не зависит от направления — изотропно.

Это утверждение равнозначно определению аналитических функций.

^ Комплексный потенциал скорости или характеристическая функция течения



есть объединение потенциала скорости и функции тока y в одной аналитической функции комплексного аргумента z=x+iy — вектора положения точки наблюдения z=x+iy

Комплексная скорость (сопряженная)



есть производная от комплексного потенциала



Комплексный потенциал как функция от x,y, устанавливает соответствие (отображение) физической плоскости xoy и плоскости годографа скорости , в результате чего траектории на физической плоскости ставится в соответствие годограф скорости в плоскости годографа.




Если из Уравнений движения найден комплексный потенциал, то интеграл от него, в частности по замкнутому контуру



своей мнимой частью



равен расходу в данной замкнутой трубке тока, а действительной частью



равен циркуляции скорости по этому контуру




^ ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ.


1. На обтекаемое потоком тело или на тело, движущееся относительно жидкости, действует некоторая сила, равная скорости передачи импульса



приложенная к центру масс согласно теореме о движении центра масс



если нет притока массы извне

С другой стороны этот главный вектор внешних сил складывается из поверхностных сил давления — нагрузки



которое по теореме Остроградского — Гаусса преобразуется в оъемные градиенты давления



и массовых объемных сил , так что получается

уравнение Эйлера

Контрольная поверхность S движущегося жидкого (материального) объема V — поверхность, включающяя одни и те же материальные точки, в данный момент t, ограничивающяя рассматриваемый объем V.

^ Жидкий объем — объем, занимаемый всеми МТi в момент t, геометрический объем, ограниченный контрольной поверхностью. За конечное время через контрольную поверхность протекает некоторый жидкий объем.

^ Секундный объемный расход — жидкий объем, протекающий через контрольную поверхность за секунду. Он переносит через элемент поверхности физическую величину в количестве

, где — плотность физической величины

а через конечную поверхность S



Если величиной чвляется плотность импульса, то поток импульса



Если величиной является плотность момента импульса, то поток момента импульса



а если величина — плотность кинетической энергии, то ее поток



Движущаяся жидкость образует (разделяется) множество непересекающихся трубок тока ABCD, через которое протекает жидкость.





^ Бесконечно малое конвективное изменение y в трубке тока — перемещение жидкого объема по ней вдоль линий тока, расположенного между материальными сечениями, проходящими в момент t через множество MTi



Здесь общая часть A/BCD/ сокращается, и



Конвективное изменение величины y равно



За бесконечно малое время это изменение есть дифференциал



Конвективная производная по времени (переносная скорость)



равна потоку величины y через поверхность S




Похожие:

Идеальная жидкость iconМагнитная жидкость
Магнитная жидкость – это коллоидный раствор высокодисперсных частиц твердого ферромагнетика в жидкости-носителе. Жидкость-носитель...
Идеальная жидкость iconДокументы
1. /Идеальная форма.doc
Идеальная жидкость iconДокументы
1. /Чопра - Идеальная энергия.doc
Идеальная жидкость iconДокументы
1. /Морачевский А.Г. Смирнова Н.А. Термодинамика равновесия жидкость-пар. 1989.djvu
Идеальная жидкость iconСверхтекучий гелий газ? (напечатано в журнале "Инженер" №2, 2007)
Эта жидкость кажется невесомой, почти несуществующей. А может, и нет её вовсе – жидкости?
Идеальная жидкость iconВариант 1 какие силы действуют на погруженное в жидкость тело?
Два тела погружаются в воду, как показано на рисунке. Какой динамометр покажет большую силу?
Идеальная жидкость iconСодержание Стр. Вкус жизни
...
Идеальная жидкость iconТема цифровые системы автоматического управления недостающую глубину мысли обычно компенсируют ее длиной
Идеальная система автоматического управления производством – кнопка включения в кабинете директора фирмы. В сопроводительной документации...
Идеальная жидкость iconПетербургское дитя кулис
Однако в реальной жизни Юленьки Коробьиной, прославившейся как актриса Линская, всего было с лихвой — таланта, жизнерадостности,...
Идеальная жидкость icon«Измерение выталкивающей силы, действующей на погружённое в жидкость тело», физика, 7 класс
Опустите грузик, не снимая его с динамометра, медленно в воду и сделайте вывод: зависит ли выталкивающая сила от объёма погружённой...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов