I. кинематика предмет классиЧеской механики icon

I. кинематика предмет классиЧеской механики



НазваниеI. кинематика предмет классиЧеской механики
Дата конвертации28.08.2012
Размер152.97 Kb.
ТипЗакон




I. КИНЕМАТИКА


1. Предмет классиЧеской механики.

Механика - система законов движения наблюдаемых тел, выраженных зависимостью от времени всех измеряемых физических величин Fk(t).

Тело - наблюдаемый объект, отделенный от других и независимый от них.

Пространство - объект, остающийся после удаления всех тел неограниченно.

Место - часть пространства, в котором обнаруживается тело.

Событие - изменения отношений тел друг к другу.

Время - последовательность событий в одном месте, отвлеченная от самих событий.

^ Меры - тела, принятые за неизменные образцы.

Измерения - сравнение тел с мерами, выраженные числами.

Физические величины Fk - отношения тел с мерами, выраженные числами.

Постулат № 1 делимости тел (вещества): тела могут быть разделены на части (примерно равные), сохраняющие свойства исходного тела, до предела делимости.

^ Предел делимости - очередное деление тел, при котором части приобретают новые свойства по отношению к исходному телу.

Материальная точка (МТ) - часть тела, возникающая в процессе его деления почти пополам почти бесконечное число раз до предела делимости.

Линия (материальная) - непрерывное упорядоченное множество материальных точек, в котором для каждой предыдущей существует одна последующая.

^ Прямая - линия, вырождающаяся в точку для некоторого наблюдателя.

Расстояние - отрезок прямой r между двумя материальными точками.

Поверхность - непрерывное упорядоченное множество линий, в котором для каждой предыдущей существует одна последующая.

^ Постулат № 2 абсолютно твердого тела: существуют абсолютно твердые тела, в которых расстояния между любыми двумя материальными точками постоянны, неизменны.



^ Мера расстояния длины - отрезок прямой между двумя материальными точками на образцовом твердом теле.


Длина линии - сумма длин последовательных бесконечно малых расстояний ri; между двумя последовательными МТi на линии

Постулат № 3: геометрия, векторная алгебра и остальная математика есть выражение законов движения физических тел.

^ Постулат № 4 однородности и изотропности пространства-времени: измерение всех физических величин дают одинаковые результаты до, и после перемещения или поворота системы тел и протекания времени.

^ Перемещение материальной точки – вектор начало, и конец которого есть последовательное начальное и конечное положение материальной точки.

Траектория материальной точки - линия, образованная последовательными ее бесконечно малыми перемещениями.

Движение - последовательность бесконечно малых перемещений всех материальных точек системы тел.

^ Периодическое движение - повторяющаяся последовательность перемещений материальных точек тела.

Часы - периодически движущееся тело.

Измерение времени - совпадение начального и конечного положений (мест) тела с положениями часов через некоторое число периодов их движения.

^ Закон движения - зависимость всех физических величин Fk(t) от времени.

Механическая теория - способы предсказания законов движения, измерения в силу их погрешностей дают ... приближенный закон движения.

^ Постулат № 5, закон сложениЯ перемещений: перемещения материальной точки равносильно бесконечному множеству последовательностей перемещений, в которых конец одного есть начало другого, а начала и концы - совпадают. - векторная сумма других перемещений.

^ Разность перемещений - перемещение, сумма которого с вычитаемым равна уменьшаемому.

Механизм - система тел, преобразующая движение одних тел в движение других тел.

Машина - система тел, преобразующая немеханические виды движений в механические, наблюдаемые.



  1. ^ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТа.

Движение материальной точки есть непрерывная последовательность ее бесконечно малых перемещений через бесконечно малые промежутки времени . Согласно принципу наложения перемещений каждое элементарное перемещение есть разность конечных перемещений из одной точки на некотором теле в начало и конец вектора . . (1)

^ Тело отсчета (ТО) - тело, относительно которого определяется положение и перемещение материальных точек МТi.

Ориентир O - неоднородность тела отсчета, выделяющая на нем некоторую МТ.

^ Начало отсчета (НО) - один из ориентиров и МТ  O на нем.

Координатная линия (КЛ) - линия, проходящая через начало отсчета и другой ориентир или однозначно с ней связанная (параллельная), проходящая через некоторую МТ  точку наблюдения (ТН), так что любая МТi может быть достигнута из начала отсчета перемещениями вдоль минимального числа координатных линий (пересекающихся) непрерывно.

^ Постулат № 6 трехмерности пространства: любая материальная точка N может быть достигнута из начала отсчета О последовательностью непрерывных независимых перемещений вдоль трех пересекающихся координатных линий (3-х измерений).

Координата материальной точки - длина отрезка координатной линии от начала отсчета O до проекции этой МТ на данную координатную линию вдоль других КЛ, в частности - вдоль одной из них.

^ Система координат (СК) - минимум ориентиров, координатных линий КЛ и мер расстояний вдоль них, необходимый для однозначного определения положений и перемещений материальных точек МТi по ним.

^ Система отсчета (СО) - совокупность тела отсчета, системы координат и часов. Любое перемещение есть разность перемещений из начала отсчета O в начало и конец этого перемещения.

Радиус-вектор материальной точки или точки наблюдения - ее место-вектор (перемещение) из начала отсчета O в место (положение) МТ(t) материальной точки в данный момент.

^ Система прямолинейных прямоугольных координат - система координат, в которой координатные линии - перпендикулярные прямые, являющиеся пересечением трех семейств параллельных равноотстоящих плоскостей. Согласно постулату трехмерности пространства радиус-вектор материальной точки есть сумма составляющих перемещений вдоль прямых перпендикулярно пересекающихся координатных линий с единичными векторами .


Рис.2. Прямолинейные координаты

Криволинейные координаты материальной точки - любые однозначные монотонные функции ее прямоугольных координат

, , . (2)

^ Закон перехода к криволинейным координатам

, , . (3)

Система трёх уравнений относительно трёх неизвестных прямоугольных координат обратного преобразования однозначно разрешаются, т.е. четвертой нет.

^ Координатная поверхность (КП) - поверхность одной постоянной координаты

. (4)

Координатная линия (КЛ) - пересечение двух координатных поверхностей

. (5)

Единичные векторы координатных линий - единичные векторы касательных к ним в каждой их точке.

Согласно закону сложения перемещений бесконечно малое (элементарное, малое) перемещение материальной точки

. (6)

есть сумма составляющих вдоль координатных линий. Его величина





Перемещения вдоль координатных линий

,

поправки неортогональности пропорциональны приращениям координат вдоль них и определяются производными о закона перехода

.

Выражение в последних фигурных скобках



Ортогональные координаты - система координат, в которых в каждой точке пространства координатные линии пересекаются перпендикулярно. . Тогда

, (7)

- определяется коэффициентами Ламе . С другой стороны

, , (8)

^ Элемент координатной поверхности

(9)

- вектор, по величине равный площади элемента этой поверхности, ограниченного бесконечно близкими элементами перемещения вдоль координатных линий, лежащих ней, по направлению совпадающий с единичным вектором нормальной

, (10)

,

- якобиан перехода к .



  1. ^ СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ.

Сферическая система координат (СФСК) - система координат, в которой одно из семейств координатных поверхностей - координатные сферы, ориентирами в начале отсчета O, проходящие через ТН N. - функции прямоугольных с тем же началом отсчета ^ O.

Полярная ось - ось OZ исходных прямоугольных координат.

КП1 - координатная сфера (КС) с центром в начале отсчета, содержащая ТН N , т.е. радиуса, равного величине радиус-вектора точки наблюдения. Ее уравнение.

.

^ Полюс Р - пересечение координатной сферы и полярной оси OZ.

КП2 - меридианная плоскость (МП) - плоскость, содержащая полярную ось и точку наблюдения N. Уравнение

.

Угол между ней и плоскостью xz постоянен.

КП3 - полярный (азимутальный) конус (ПК) - конус с вершиной в начале отсчета и осью, совпадающей с полярной осью, содержащей ТН N.

Q = C2 = const.

КЛ1 - Радиус r - отрезок луча из начала отсчета O в ТН - пересечение МП и ПК, содержащих ТН N.

.

Единичный вектор направлен вдоль луча от начала отсчета!

КЛ2 - меридиан - окружность с центром в НО, лежащая в МП - пересечение КС и МП.

Единичный вектор - касательный к меридиану, направленный от полюса.

.

^ Нулевой меридиан (НМ) - меридиан в плоскости XZ исходной СК.

КЛ3 - азимут - окружность пересечения КС и ПК

.

^ Единичный вектор - касательный к азимуту и направленный от НМ.

Эти направления - направления отсчета положительных значений координат.

^ Сферические координаты - длины отрезков координатных линий

1) r - от начала отсчета О к полюсу Р;

2) - от полюса Р до пересечения с азимутом вдоль НМ;

3) - от этого пересечения до ТН N вдоль азимута.

^ Полярный угол - угол между полярной осью и лучом - радиусом ТН N, измеряемый дугой меридиана .

Азимутальный угол  азимут - угол между плоскостью НМ и МП ТН, измеряемый дугой азимута ТН. Координатами могут служить эти углы, измеряемые соответствующими дугами.

Закон перехода:

,

,

,



,

,



,




  • конус, опирающийся на элемент поверхности координатной сферы радиуса, равного единице.











  • Рис. 3. Сферические координаты.



^ 4.ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

Движение материальной точки МТ - есть непрерывная последовательность ее бесконечно малых перемещений

.

за последовательные бесконечно малые промежутки времени dt. Эти перемещения согласно принципу сложения перемещений есть разности радиус-векторов начала и конца перемещения материальной точки.

^ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ МТ материальной точки - зависимость от времени её радиус-вектора

. (11)

- параметрическое уравнение линии, образованной бесконечно малыми последовательными перемещениями МТ.


Рис. 5. Траектория и годограф скорости

Траектория МТ материальной точки - непрерывная линия, образуемая последовательными бесконечно малыми перемещениями материальной точки, совпадающая с геометрическим местом последовательных ее положений с радиус-векторами .

^ Уравнение траектории - уравнение, получаемое исключением из закона движения времени как параметра

.

За один и тот же промежуток времени dt или t материальная точка МТ совершает разные перемещения или одно и то же перемещение за разные промежутки времени - так что неоднозначная характеристика движения МТ.

^ Скорость материальной точки есть её перемещение за бесконечно малый промежуток времени, отнесенное к единице времени

. (12)

по направлению совпадает с бесконечно малым перемещением. В криволинейных координатах



со временем изменяется не только величина составляющих , но и направления единичных векторов составляющих.

.

В прямоугольных координатах ,

.

В криволинейных координатах

. (13)

Частная производная по от и по от v дают

,



в силу ортогональности координат!

В движении материальной точки ее скорость изменяется подобно изменению радиус-вектора. За бесконечно малое время dt

.

Для сравнения скоростей в последовательные моменты векторы скорости в эти моменты параллельно самим себе переносятся началами в одну точку - полюс P.

Годограф скорости - кривая, образуемая концами векторов скорости , если их начала помещены в одну точку Р - полюс.

Ускорение материальной точки МТ - предел вектора разности скоростей в бесконечно близкие моменты, определяемый как разность векторов скорости на годографе, отнесенная к единице времени

(14)

и приложенный? к материальной точке. Он? - вектор - параллелен касательной к годографу и разности перемещений за два непрерывных ьесконечно малых последовательных промежутка

.

Согласно закону сложения перемещений векторная алгебра и векторный анализ ускорений и скоростей совпадает с алгеброй и анализом перемещений. В частности

.

Здесь скалярное произведение есть часть от полной производной

,

так что

.

В сферических координатах ,

, (15)



,




^ 5. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ в естественных координатах.

Естественная система координат (ЕСК), в которой начало отсчета O расположено на траектории материальной точки и одна из координатных линий КЛ1 - сама траектория. Координата МТ вдоль нее - длина траектории (пути) от начала отсчета ^ O до точки наблюдения N - до материальной точки. Ее единичный вектор - единичный вектор касательной к траектории

,




Рис. 7. Естественные координаты


Приращение единичного вектора касательной в движении нормально самой касательной и лежит в плоскости, содержащей отрезок траектории и его хорду

. Вектор

Главная нормаль к траектории единичный вектор второй координатной линии КЛ2, нормальный касательной в плоскости, содержащей касательную и ее приращение .

Соприкасающаяся плоскость - КП1 - координатная плоскость, содержащая касательную к траектории и главную нормаль к ней и следовательно, отрезок траектории и его хорду .

Бинормаль - единичный вектор третьей координатной линии КЛ3 - нормальный к касательной и главной нормали

Спрямляющая плоскость - КП2 - координатная плоскость, содержащая касательную и бинормаль .

^ Нормальная плоскость - КП3 - координатная плоскость, содержащая главную нормаль и бинормаль и нормальная к траектории.

Вектор скорости материальной точки



за бесконечно малое время поворачивается вокруг бинормали в соприкасающейся плоскости вместе с касательной на угол



вместе с главной нормалью вследствие смещения на по траектории, так что на тот же угол поворачивается главная нормаль, оставаясь в этой же плоскости. Поэтому они - главные нормали в смежных точках траектории - начале и конце перемещения - пересекаются в одной точке O - в центре окружности, касательной к траектории в двух этих смежных точках (касание второго порядка).

Угол смежности - - угол поворота касательной к траектории материальной точки вследствие ее перемещения в смежную точку - конец , конец элемента ее дуги - измеряемый дугой касательной второго порядка окружности.

^ Центр кривизны O траектории МТ материальной точки - точка пересечения главных нормалей, построенных в смежных точках.

Окружность кривизны траектории материальной точки - окружность с центром в центре кривизны O, касательная второго порядка к траектории в смежных точках.

^ Радиус кривизны траектории материальной точки - радиус окружности кривизны, направленный вдоль обратной главной нормали

.

^ Угол смежности - угол поворота касательной к траектории вследствие смещения материальной точки равен углу поворота главной нормали и углу между смежными радиусами кривизны.

^ Кривизна траектории материальной точки - скорость поворота касательной к траектории вследствие перемещения материальной точки по дуге траектории

.

Длина дуги траектории с точностью до бесконечно малых высших порядков равна длине дуги окружности кривизны

.

Выше получено

так что .

Тогда соотношения



выражают переход от естественных координат к прямоугольным.

.

Кручение траектории материальной точки - скорость поворота ее бинормали в движении, т.е. скорость поворота соприкасающейся плоскости

.

Поскольку , то как для , но лежит в соприкасающейся плоскости в начале и конце перемещения (по определению), т.е. вращается только вокруг на и и , так что кручение (величина)

.

Радиус кручения - величина обратная скорости кручения

.

Формулы Бине

.

^ 6. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ЕСТЕСТВЕННЫХ КООРДИНАТАХ.

1. Закон движения материальной точки определяется последовательными перемещениями неоднозначна, т.к. за один промежуток могут произойти разные перемещения. Необходима еще величина, определяющая этот закон.

Скорость материальной точки МТ




равна длине, приведенной за дуги траектории, а по направлению совпадает с касательной к ней в точке траектории .

.

За бесконечно малое время материальная точка движется по дуге окружности кривизны, касающейся траектории в начале и конце перемещения в соприкасающейся плоскости вокруг бинормали как мгновенной оси, поворачиваясь вместе с касательной на угол смежности

.

с угловой скоростью мгновенного вращения

.

Величина скорости при этом



пропорциональна угловой скорости.

^ Угловая скорость материальной точки - вектор, по величине равный скорости изменения угла смежности , а по направлению параллельный бинормали и проходящий через центр кривизны O, так что поворот касательной с его конца выглядит против часовой стрелки

.

^ Линейная скорость



Ускорение материальной точки в естественных координатах

,

,

лежит в соприкасающейся плоскости и складывается из нормального - центростремительного (к центру кривизны) и касательного ускорений. Касательное складывается из местного углового и ускорения, вызванного изменением кривизны по длине ТР.

^ Величина углового ускорения - скорость изменения угловой скорости мгновенного вращения

.

Угловое ускорение - вектор, направленный по оси мгновенного вращения (или против, если замедление) так, что с его конца правое вращение выглядит против часовой стрелки, а по величине равный величине углового ускорения.

Касательное ускорение - составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, а значит вдоль касательной к траектории.

есть сумма местного ускорения и поворотного.

^ Нормальное ускорение - составляющая ускорения, направленная по главной нормали к траектории в соприкасающейся плоскости



направлено по главной нормали к центру кривизны и называется центростремительным ускорением.

По измеренным ускорениям и скоростям определяется радиус кривизны траектории

.

Ускорение материальной точки лежит в соприкасающейся плоскости и в естественных координатах имеет две составляющих - касательное и нормальное ускорения.





Похожие:

I. кинематика предмет классиЧеской механики iconI. кинематика предмет классиЧеской механики
Механика система законов движения наблюдаемых тел, выраженных зависимостью от времени всех измеряемых физических величин Fk(t)
I. кинематика предмет классиЧеской механики iconДокументы
1. /Арнольд В.И. Математические Методы Классической Механики.djvu
I. кинематика предмет классиЧеской механики icon«Кинематика»
Урок проводится как обобщающий после изучения темы «Кинематика прямолинейного движения»
I. кинематика предмет классиЧеской механики icon3. Создание первой естественно-научной картины мира в древнегреческой культуре
Формирование непосредственных предпосылок классической механики — первой фундаментальной естественнонаучной теории
I. кинематика предмет классиЧеской механики iconК вопросу об обосновании квантовой механики
В данной работе на основании проведения аналогии с классической физикой показано, что на роль скрытого параметра может претендовать...
I. кинематика предмет классиЧеской механики iconДоклад по дисциплине "История и методология науки" от 20. 12. 2008
Из-за этого многие выводы сто кажутся нам, привыкшим к законам классической механики, абсурдными. Перечислим эти выводы
I. кинематика предмет классиЧеской механики iconСемиков С. Кризис классической физики начала XX века: была ли неклассическая физика выходом из него?
Специальной Теории Относительности (сто), которая оказалась совместима с электродинамикой Максвелла, но отвергала классическую механику....
I. кинематика предмет классиЧеской механики iconВопросы по истории экономических учений (2 курс в/о)
Зарождение классической политэкономии в Англии (У. Петти) Зарождение классической школы во Франции (П. Буагильбер)
I. кинематика предмет классиЧеской механики iconТурышев М. В., О движении замкнутых систем, или при каких условиях не выполняется закон сохранения импульса., «Естественные и технические науки»,№3(29), 2007, issn 1684-2626, с. 28-41
В данной работе, в рамках традиционной классической механики, будет показано что, возможно движение замкнутой механической системы...
I. кинематика предмет классиЧеской механики icon1. 4 основная задача механики сплошной среды
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек каждой мтi системы уд по известному закону сил
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов