40. УравнениЯ движения лагранжа icon

40. УравнениЯ движения лагранжа



Название40. УравнениЯ движения лагранжа
Дата конвертации28.08.2012
Размер72.01 Kb.
ТипЗадача

40. УравнениЯ движениЯ Лагранжа

1. Основная задача механики неголономные систем материальных точек МТi, движущихся вдоль идеальных и неинтегрируемых кинематических связей есть определение закона движения как последовательности действительных перемещений , выраженных через независимые перемещения вдоль независимых обобщенных координат, решением уравнений Лагранжа I-го рода, которые равнозначны общему уравнению динамики

.

Это уравнение выражается через независимые перемещения вдоль обобщенных координат (вдоль степеней свободы преобразованием)

,

.

Подстановка этих преобразований преобразует общее уравнение динамики

,

,

,

.

Общее уравнение динамики неголономных систем в независимых координатах

.

В нем обобщенные силы инерции Даламбера



,



выражаются как скорости передачи кинетической энергии системе от источников сил.

^ Общее уравнение динамики после подстановки приобретает вид

,

в котором левая часть есть сила инерции, а в правой части



выделяется потенциальная сила и составляющие непотенциальных сил, подобные силам инерции, т.е. зависящие от скоростей материальных точек, подобно силам электромагнитной индукции и самоиндукции

gif" name="object17" align=bottom width=429 height=51>,

,

которые выражаются в свою очередь через кинетический (скоростной) потенциал подобно выражению сил инерции через скорости так же, как потенциальные силы – через потенциальную энергию и обобщенные координаты

, т.к. .

Присоединение этих сил к силам левой части общего уравнения динамики, выраженном через полные производные по времени, выражает его



через Лагранжиан (функцию Лагранжа) – величину, равную сумме кинетической энергии силовой функции и скоростного потенциала



Обобщенные силы выражаются как градиенты лагранжиана в пространстве измерений обобщенных координат и скоростей .

^ Уравнения движения равнозначные общему уравнению динамики совместно с уравнениями неинтегрируемых связей



в независимых обобщенных координатах выражается как

уравнения движения Лагранжа II-го рода ()

,

.

41. Функции Лагранжа и РэлеЯ,

гироскопиЧеские силы

1. Основная задача механики – определение закона движения по закону обобщенных сил решением уравнения движения Лагранжа (УДЛ)



решается путем изучения свойств лагранжиана



и уравнений неинтегрируемых связей

.

В лагранжиане кинетическая энергия





складывается из квадратичной и линейной форм по и формы, не зависящей явно от . Квадратичная часть



выражается через массовый (инерционный) коэффициент . Линейное слагаемое



и слагаемое нулевого порядка



содержит и отличны от нуля только при движении вдоль не стационарных связей и могут называться энергией переносного движения вместе со связями



обращаются в нуль, когда система S имеет s корней, т.е. разрешима

.

Условие разрешимости этой системы – от нуля ее определителя

.

Тогда единственным решением этой системы является все одновременно!



Кинетическая энергия системы, движущейся по стационарным связям



обращается в нуль, только если все обобщенные скорости одновременно обращаются в нуль.

2. Обобщенно-потенциальные силы выражаются через лагранжиан



и не могут зависеть сами от себя, т.е. от ускорений , так что обобщенный потенциал, содержащий квадратичную форму по



приводит к силам, зависящим от ускорений, т.е. от самих себя, что противоречит принципу причинности.

Обобщенно-потенциальная энергия V – линейная форма от скоростей

.

^ Обобщенная сила

.

содержит обобщенно-потенциальные составляющие

.

Последнее слагаемое в обобщенной силе , так, что обобщенно потенциальная сила


,

,




Содержит ротор от векторного потенциала

вихревого силового поля.


Рис. . Составляющие гироскопической силы

^ Гироскопические (вихревые) силы

,

работа которых



тождественно равна нулю



В разных системах единиц координаты и скорости выражаются пропорциональными числами:, так что



и для кинетической энергии справедлива теорема Эйлера об однородных функциях

.

3. ^ Диссипативные силы содержат составляющую, пропорциональную скорости

,

,

,

,

.

Система, движущаяся вдоль стационарных связей, , имеет диссипативную функцию – квадратичную .Уравнения движения Лагранжа выражаются через вириал сил умножением почленно на и суммированием по 

.

Вириал от силы инерции () есть слагаемые производной от произедения

.

Подстановка в уравнение движения Лагранжа (УДЛ), приведенное к виду (и суммирование по ) вириала сил, дает

.

При финитном движении координаты и скорости повторяются через период , так что усреднение по периоду

, ,



показывает, что из уравнения движения следует теорема вириала

.

При финитном движении средняя кинетическая энергия голономной системы равна половине среднего вириала сил. При стационарных связях в потенциальных полях





Подстановка этих выражений в УДЛ приводит их к виду



42. интегралы уравнений движениЯ Лагранжа

1. Основная задача механики – отыскание закона движения по законам обобщенных сил , т.е. по известному лагранжиану решением уравнений движения Лагранжа

,



есть решение системы s дифференциальных уравнений 2-го порядка, т.к. L и  - квадратичные формы от скоростей . После дифференцирования по они становятся линейными формами, а дифференцирование по времени t приводит их к уравнениям 2-го порядка. Разрешение закона движения относительно 2s произвольных постоянных дает

первые интегралы уравнений движения Лагранжа – 2s физических величин



- функций обобщенных координат и скоростей, которые в силу свойств уравнений Лагранжа – т.е. Лагранжиана – остаются постоянными во все время движения. Свойства Лагранжиана определяются в частности его полной производной по времени. Для голономных систем:





, ,

Так что

.

В стационарных консервативных системах сохраняется, т.е. является интегралом движения величина H

.

^ Обобщенная энергия – Гамильтониан – есть первый интеграл движения системы, которая мгновенно, т.е. с момента t, становится стационарной голономной и консервативной. В других системах верен

^ Закон превращения обобщенной энергии: скорость передачи обобщенной



энергии равна скорости изменения Лагранжиана из мощности непотенциальных сил.

2. Обобщенная энергия

.

Здесь V – линейная форма по и , а выражения

,

.

Гамильтониан H совпадает с полной механической энергией только, если



связи (но не Лагранжиан, не сама система) стационарные. В голономной системе со стационарныи связями

,

,

.

В консервативной голономной системе со стационарными связями гамильтониан является порлной механической энергией, выраженной функцией координат и импульсов и сохраняется (ИД!).

3. Уравнение движения Лагранжа равнозначно полной системе интегралов движения и выражается как основной закон динамики через импульс

.

В изолированной системе, где или в системе, Лагранжиан которой не зависит от координаты



обобщенный импульс, соответетвующий этой координате, сохраняется.

^ Циклические координаты – от которых Лагранжиан не зависит. Обобщенные импульсы, сопряженные циклическим координатам, сохраняются.

Независимость Лагранжиана от циклической координаты есть его неизменность при ее приращении

,

при .

^ Теорема Нетер: каждому свойству симметрии голономной консервативной системы соответствует циклическая координата и закон сохранения сопряженного с ней обобщенного импульса.

Циклической координатой является угол поворота твердого тела вокруг некоторой оси,

.

Момент импульса относительно оси угловой симметрии сохраняется!


^ 43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ

и принцип экстремального действиЯ

1. Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа



определяет состояние системы координатами и скоростями, которые не являются мерами количества движения, т.е. интергалами движения, для определенных граничных условий. Интегралами в мгновенно изолированных консервативных системах являются обобщенные импульсы



и обобщенная энергия – гамильтониан H. По закону сохранения и превращения обобщенной энерггии




Похожие:

40. УравнениЯ движения лагранжа icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
40. УравнениЯ движения лагранжа icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
40. УравнениЯ движения лагранжа icon40. УравнениЯ движения лагранжа
Это уравнение выражается через независимые перемещения вдоль обобщенных координат (вдоль степеней свободы преобразованием)
40. УравнениЯ движения лагранжа iconПрименение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве

40. УравнениЯ движения лагранжа icon8. взаимодействие между движущимися частицами. Сила лоренца в настоящее время считается, что аналитическое выражение для силы Лоренца не выведено из уравнений Максвелла или специальной теории относительности
Обычно выражение для этой силы получают из уравнения Лагранжа для динамики частицы, в котором функция Лагранжа подбирается в таком...
40. УравнениЯ движения лагранжа icon51. энергия линейного осциллятора
Закон движения линейного осциллятора ло определяется либо из уравнения движения либо из эквивалентной ему системы интегралов движения...
40. УравнениЯ движения лагранжа icon84. волны в упругих средах
Уравнение движения упругой Среды есть предел уравнения движения пространственной решетки и в области, где вынуждающие силы не действуют,,...
40. УравнениЯ движения лагранжа icon1. 4 законы сохранения и переноса энергии и момента импульса
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек из уравнения движения по известному закону сил
40. УравнениЯ движения лагранжа iconПеречень знаний по теме «Кинематика»
«скорость равномерного прямолинейного движения», «средняя скорость», графические модели равномерного и неравномерного прямолинейного...
40. УравнениЯ движения лагранжа icon25. Собственный момент импульса и момент импульса центра масс
Основная задача механики – определение закона движения системы мтi по известному закону сил из уравнения движения
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов