43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon

43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ



Название43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Дата конвертации28.08.2012
Размер67.55 Kb.
ТипЗадача

43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ

и принцип экстремального действиЯ

1. Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа



определяет состояние системы координатами и скоростями, которые не являются мерами количества движения, т.е. интергалами движения, для определенных граничных условий. Интегралами в мгновенно изолированных консервативных системах являются обобщенные импульсы



и обобщенная энергия – гамильтониан H. По закону сохранения и превращения обобщенной энерггии



передача энергии от источников сил к системе за бесконечно малфый промежуток времени dt:



может быть выражена через импульсы, являющиеся мерами количества движения и новыми независимыми переменными вместо скоростей

.

Сравнение этих выражений показывает, что



частные производные от L и H по t и обращаются в нуль одновременно и являются для них циклическими, тоже одновременно. Из уравнений движения Лагранжа, в которых диссипативные силы отнесены к непотенциальным для простоты записи



и получаются

канонические уравнения движения, равнозначные уравнениям Лагранжа



- уравнения движения первого порядка, число которых 2s равно удвоенному числу степеней свободы относительно координат и импульсов gif" name="object16" align=bottom width=20 height=24>, непосредственно определяющих состояние системы как независимые меры количества движения .

2. Движение системы материальных точек есть непрерывная последовательность перемещений вдоль независимых обобщенных координат - вдоль степеней свободы – за каждый бесконечно малый промежуток времени , , , на которых системе передаются количества движения- обобщенные импульсы, обобщенные энергии – кинетическая и потенциальная, равная с обратным знаком силовой функции , так что мерой явной и скрытой передаваемой энергии является - Лагранжиан. Он не сохраняется, а накапливается под действием потенциальных сил и выражает меру переданного количества движения, меру взаимодействия.

Действие – физическая величина, равная сумме Лагранжианов на всех бесконечно малых перемещениях, переданных системе, усредненная по времени.

.

В отличие от энергии E, действие различно при перемещениях по разным траекториям, т.к. является мерой взаимодействия.

^ Вариация действия – его изменение вследствие возможного изменения закона движения, т.е. вследствие вариации координат и скоростей системы, допускаемых мгновенно замороженными связями

,



.

В определенном начальном состоянии , и

.

Поскольку



получается

общее уравнение динамики для действия:

.

Движение из определенного начального состояния в определенный начальный момент к определенному конечному в определенный конечный момент , который тоже определяется через

^ Принцип экстремального действия: для действительной траектории действительного (осуществля-

ющегося) закона движения консервативной системы между фиксированными состояниями



действие достигает экстремума.

3. Движение консервативных систем, , определяется общим уравнением динамики, из которого следует

,

что действие является потенциалом для импульсов консервативных систем (но нестационарным потенциалом). Оно передается со скоростью

.



С другой стороны в обобщенные скорости определяются из известных решений



,

так что действие S явно от скоростей не зависит и частная производная по

,

.

Общему уравнению динамики, а с ним – уравнению Гамильтона – равнозначно

Уравнение движения Гамильтона-Якоби

.

Обратно, замена и при

, т.е. при известном полном интеграле




зависящим от

.

Еще одно дифференцирование по , а не по дает

.

^ Канонические уравнения движения

, где

равнозначны уравнению движения Гамильтона-Якоби второго порядка. Если S – решение уравнения Гамильтона-Якоби, то - решение канонических уравнений.

^ Теорема Якоби: если известен полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, т.е. его решение как функция стольких независимых постоянных – импульсов, равных начальным, сколько независимых переменных (второй интеграл), есть , то импульсы - решения (движения) канонических уравнений, которые равнозначны уравнениям Гамильтона-Якоби.


^ 45. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРЕМА ЯКОБИ.

Закон движения механической системы, движущейся вдоль связей - зависимость от времени физических величин, функций обобщенных координат импульсов и времени как независимых переменных



. Co скоростью - полной производной по времени:



Подставляя в предыдущее уравнение и получим:



где:



Последнее уравнение называют скобками Пуассона для величин и .

В консервативных системах

так, что величина есть интеграл движения:



Если же явно от времени не зависит, то, для того чтобы функция канонических переменных была бы интегралом движения, скобки Пуассона с функцией Гамильтона данной механической системы должны обращаться в ноль:



Скобки Пуассона можно определить для любой пары величин зависящих от и :



Используя это определение, не трудно доказать следующее свойства:



Можно ввести понятие фундаментальных скобок Пуассона. Для этого положим одну из функций или равной или .

Тогда:



Положим теперь и . Получаем:



Соотношения называют фундаментальными скобками Пуассона.

Можно показать, что между скобками Пуассона, составленными из трех функций -----существует соотношение:



называемое тождеством Якоби.

Вычислим полную производную по от



и воспользуемся тождеством Якоби, приводя к виду:



Но если и — интегралы движения, то:



Следовательно, что и требовалось доказать.

Мы видели, что полная производная по времени любой функции , --- канонических переменных -, которая не зависит от времени явно , определяется равенством

------

При



и канонические уравнения принимают вид



Если f = H , то [H,H] =0



Если H не зависит от t явно



Гамильтониан есть интеграл движения канонических уравнений движения

и называется обобщенной энергией

  1. Основная задача механики - определение закона движения решением уравнения движения Гамильтона-Якоби

,

ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ УГЯ - его решение, выраженное через столько

произвольных постоянных, сколько независимых неизвестны - s обобщенных

координат и время - всего s + 1






Одна произвольная постоянная аддитивна .

Закон движения - частный случай канонических преобразований , в которых

производящая функция F = S .





Произвольные постоянные должны быть новыми импульсами,



а новые координаты связаны со старыми каноническими преобразованиями









интегралы движения.

Дифференцирование УГЯ по дает





Дифференцирование уравнений = по дает





Сравнение с предыдущей производной от УГЯ дает первое каноническое уравнение



Подобно этому дифференцирование УГЯ по дает



С другой стороны



а из предыдущего следует



так что получается второе каноническое уравнение



Теорема Якоби: если известен полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, т.е. его решение как функция стольких независимых постоянных – импульсов, равных начальным, сколько независимых переменных (второй интеграл), есть , то импульсы - решения (движения) канонических уравнений, которые равнозначны уравнениям Гамильтона-Якоби.




Похожие:

43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon51. энергия линейного осциллятора
Закон движения линейного осциллятора ло определяется либо из уравнения движения либо из эквивалентной ему системы интегралов движения...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon1. 4 законы сохранения и переноса энергии и момента импульса
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек из уравнения движения по известному закону сил
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon84. волны в упругих средах
Уравнение движения упругой Среды есть предел уравнения движения пространственной решетки и в области, где вынуждающие силы не действуют,,...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconМеханика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия
Планка, которая претендует, как квант действия, на роль меры механического движения в микромире
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconПеречень знаний по теме «Кинематика»
«скорость равномерного прямолинейного движения», «средняя скорость», графические модели равномерного и неравномерного прямолинейного...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ icon25. Собственный момент импульса и момент импульса центра масс
Основная задача механики – определение закона движения системы мтi по известному закону сил из уравнения движения
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconОписание электронно-позитронных волн и электромагнитного поля с помощью единого уравнения. Возможность существования псевдоскалярного поля, родственного электромагнитному
Предлагается волновое уравнение в пространстве 7 переменных. Его можно рассматривать как релятивистское обобщение уравнения, получающегося...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconЦель работы. Изучение назначения, принципа действия, конструкции и основных технических характеристик устройств защитного отключения. Принцип действия узо
Устройства защитного отключения, peai ирующие на дифференциальный ток относятся к дополнительным видам защиты человека от поражения...
43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ iconДокументы
1. /Автомобильные климатические установки. Устройство и принцип действия. Программа самообучения...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов