Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов icon

Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов



НазваниеНечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов
Дата конвертации28.08.2012
Размер230.45 Kb.
ТипДокументы

Недосекин А.О. Нечеткий DPBP и обновленный подход к рациональному отбору инвестиционных проектов

Нечеткий DPBP и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов



Недосекин А.О., ст. консультант Siemens Business Services, к.т.н.


  1. DPBP как нечеткое число



Сроком окупаемости инвестиционного проекта с учетом дисконтирования денежных потоков (DPBP – Discounted Pay-Back Period) называется [1, с. 319] продолжительность наименьшего периода, по истечении которого накопленный дисконтированный эффект (DAE – Discounted Accumulated Effect) становится и в дальнейшем остается неотрицательным. Этот срок исчисляется от того же момента времени, что и срок окупаемости без дисконта.


Если ставка дисконтирования денежных потоков проекта (RD – Rate of Discount) совпадает с внутренней нормой доходности проекта (IRR – Internal Rate of Return), то в этом случае чистая современная ценность проекта (NPV – Net Present Value) равна нулю, а DPBP совпадает со сроком реализации проекта T. Для дискретного описания T задается как горизонт инвестирования IH (Investment Horizon) – число стандартных интервалов проекта (обычно под интервалом проекта понимается квартал или год). Кстати,


NPV = DAE (n = IH) = , (1)


где CFi – Cash Flow – чистый денежный поток на i–ом интервале проекта, включающий в себя чистую прибыль и амортизацию, накопленные на данном операционном интервале (на нулевом интервале – в начале проекта – чистый денежный поток составляют стартовые инвестиции в проект).


Очень серьезной проблемой является дефиниция DPBP в том случае, если проект не окупается за число интервалов IH. Вариантов решения два:

  • экстраполировать DAE (n) на случаи n > IH. Если при экстраполяции видно, что при любых сколь-нибудь значительных n DAE (n) < 0, то DPBP = ;

  • отказаться от установления DPBP, считая его неопределимым.


Во всех случаях, когда речь идет о восстановлении нечеткого числа DPBP и об оценке риска проекта по этому критерию, экстраполяция необходима. Во всех прочих случаях (в том числе и в случае стандартной оценки) достаточно сказать, что проект не окупается на интервале горизонта проекта.


В [1, 320] совершенно справедливо указывается, что использовать показатель DPBP в качестве критериального при отборе инвестиционных проектов совершенно недопустимо. Резоны здесь следующие:

  • использование DPBP облегчает возможность умышленного искажения расчетов эффективности в целях превращения неэффективного проекта в эффективный. Для этого достаточно перенести часть затрат по проекту с первых лет его реализации на последующие, предусмотрев, например, кредит или приобретение товаров в рассрочку.
    Тот факт, что подобный кредит вообще никогда не будет погашен или погашен через много лет, на величине срока окупаемости не отражается никак;

  • показатель DPBP не удовлетворяет требованиям рационального экономического поведения. Так, при увеличении доходов или уменьшении расходов по проекту в достаточно далекие годы расчетного периода срок окупаемости не изменится (не обеспечивается монотонность);

  • можно показать на расчетных примерах трех независимых проектов А, B и C, что если DPBPА < DPBPB, то DPBPАС > DPBPBС, где AC – консолидация проектов A и С, BC – консолидация проектов B и С. Т.е. нарушается аксиома независимости [1, с. 78], когда консолидация независимых друг от друга проектов приводит к альтернативному результату сравнения эффективности проектов, чем это имеет место для проектов по отдельности.


Приводится и тот убийственный довод, что во время Второй мировой войны Гитлер приказал не финансировать любые проекты, требующие более 6 месяцев для получении результатов. Впоследствии выяснилось, что реализация некоторых из них могла существенно улучшить военное положение Германии.


Но что же тогда говорит в пользу и защиту DPBP, если уж не в качестве критерия эффективности проекта, то хотя бы в качестве граничного условия? Вся мировая практика инвестиционного проектирования, которая продолжает использовать этот фактор в инвестиционном анализе. Потому что если NPV и IRR, по существу, характеризуют рентабельность инвестиций, то DPBP – это показатель времени, за которое требуемая рентабельность проекта может быть обеспечена. А ограничение по времени, привязка к срокам – это неотъемлемый элемент любого планирования, описания любого инвестиционного процесса.


Можно легко перейти от NPV к показателю рентабельности вложений ROIС – Return on Investment Capital, поделив NPV на чистую современную ценность инвестиций (NPVI – Net Present Value of Investments):


. (2)


И этим доказывается «рентабельностность» фактора NPV. А что до IRR, то по построению этот фактор есть не что иное как рентабельность полных затрат.


Но ни по NPV, ни по IRR мы ничего не сможем сказать об уровне DPBP, равно как и наоборот. Все три выделенных нами фактора (NPV, IRR, DPBP) являются производными от дисконтированных денежных потоков, на которых они основаны, и в ходе определения этих факторов часть информации о потоках неизбежно теряется. Поэтому в составе каждого из наших трех факторов находится частичка информации, которой не достает двум остальным. Таким образом, ни один из трех факторов не может претендовать на всеобъемлющий характер в оценке проекта.


Из всего сказанного следует, что исследование показателя DPBP столь же целесообразно, как и показателей NPV и IRR. Если потоки проекта рассматриваются как нечеткие последовательности [2], то все оценки проекта становятся размытыми, в том числе и DPBP. Много уже сказано о нечетких NPV и IRR [3 (с обзором состояния вопроса), 4, 5, 6, 7], и на этом фоне DPBP - видимо, в силу своей проблемности - выглядит прямо-таки фигурой умолчания. Попробуем здесь исправить это положение.


Пусть  - уровень доверия к исходным данным проекта (уровень принадлежности соответствующих нечетких чисел);   [0,1]. При =1 доверие к данным максимально, и они отображаются в модели традиционно, скалярными точечными величинами, По мере снижения достоверности каждому уровню  соответствует интервал достоверности оценки параметра Х:


 [х1, х2] . (3)


Интервалы вида (3) также принято называть сегментными интервалами. Укажем, что по мере снижения достоверности разброс параметра (длина сегментного интервала) хотя бы не снижается (а в большинстве случаев растет). Совокупность сегментных интервалов (3) параметра Х, их счетное или несчетное множество, образуют нечеткое число показателя Х.


Операции с нечеткими числами могут быть определены на интервалах соответствующих уровней принадлежности. Такая мягкая арифметика, введенная Дюбуа и Прадом [8], дает возможность перейти от исходных данных проекта к результирующим данным [DAE1, DAE2] для   [0,1].


Пусть здесь и далее, для удобства изложения, мы будем интерпретировать DPBP не как непрерывное время окупаемости, а как дискретное число интервалов n , причем:


DPBP = , (4)


причем DAE (n) определяется по (1), с учетом возможной экстраполяции за горизонт инвестирования IH.


В нечеткой интерпретации:


DPBP = [n1, n2], (5)


где


n1 =, (6.1)

n2 =. (6.2)

Подчеркнем инверсность индексов интервалов в левых и правых частях (6): чем выше накопленный доход и чем быстрее он растет, тем ниже срок окупаемости (рис. 1).




^ Рис. 1. Вид нечеткого накопленного эффекта DAE(n) при фиксированном 


Из рис. 1 видно, что проект может окупаться как за 4, так и за 5 интервалов, при данном уровне  доверия к данным. И в этом примере DPBP = [4, 5].


Рассмотрим более общий пример. Пусть DAE – треугольные числа общего вида, вершины которых сведены в табл. 1. Горизонт инвестирования IH – 12 интервалов.

^

Табл. 1. Накопленный эффект как треугольные нечеткие числа


Номер интервала N

DAE(n), млн. руб.

минимум (min)

среднее (av)

максимум (max)

0

-300

-250

-140

1

-350

-300

-200

2

-400

-350

-250

3

-430

-380

-280

4

-450

-400

-300

5

-410

-360

-260

6

-350

-300

-200

7

-290

-240

-140

8

-260

-190

-90

9

-180

-100

10

10

-120

20

120

11

-50

70

170

12

-50

100

250



На рис. 2 приведены соответствующие табл. 1 последовательности DAE(n) для наихудшего, среднеожидаемого и наилучшего варианта развития событий. Каждому номеру интервала соответствует треугольное число DAE(n), т.е. по мере снижения уровня достоверности длина соответствующего сегментного интервала растет линейно.


Видно, что окупаемость проекта начинается с n=9. На рис. 3 приведены соответствующие треугольные числа DAE(9, 10, 11, 12). Соответствующие сегментные интервалы сведены в табл. 2 (для дискретности по уровню   = 0.1).




Рис. 2. DAE (min, av, max)




Рис. 3. DAE (9, 10, 11, 12)


Табл. 2. Сегментные интервалы для DAE (9, 10, 11, 12)

Alpha

DAE(9)

DAE(10)

DAE(11)

DAE(12) = NPV

min

max

min

max

min

max

min

max

0

-180

10

-120

120

-50

170

-50

250

0.1

-172

-1

-106

110

-38

160

-35

235

0.2

-164

-12

-92

100

-26

150

-20

220

0.3

-156

-23

-78

90

-14

140

-5

205

0.4

-148

-34

-64

80

-2

130

10

190

0.5

-140

-45

-50

70

10

120

25

175

0.6

-132

-56

-36

60

22

110

40

160

0.7

-124

-67

-22

50

34

100

55

145

0.8

-116

-78

-8

40

46

90

70

130

0.9

-108

-89

6

30

58

80

85

115

1

-100

-100

20

20

70

70

100

100


Выделим в табл. 2 жирным шрифтом плюс италик компоненты, определяющие содержание условия (6.1) (для оценки минимального срока окупаемости n1) , а просто жирным шрифтом – компоненты, определяющие содержание условия (6.2) (для оценки максимального срока окупаемости n2). Применив к выделенным компонентам условие (6), получим набор сегментных интервалов для DPBP (табл. 3, рис. 4):


^ Табл. 3. DPBP как набор сегментных интервалов

Alpha

DPBP

min

max

0

9

нет

0.1

10

нет

0.2

10

нет

0.3

10

нет

0.4

10

12

0.5

10

11

0.6

10

11

0.7

10

11

0.8

10

11

0.9

10

10

1

10

10




Рис. 4. Нечеткое число DPBP


Чтобы установить возможность того, что проект не окупится за некоторый заданный пограничный срок, например G=11 интервалов, необходимо воспользоваться способом оценки риска по NPV общего вида, который предложен в [9]. Но перед этим необходимо произвести экстраполяцию данных по DAE(n>12), причем произвести эту экстраполяцию в нечеткой постановке задачи, на уровне сегментных интервалов (в формате табл. 2). Соответствующее доопределение исходной задачи представлено в табл. 4.


^ Табл. 4. Сегментные интервалы для DAE (13, 14, 15)

Alpha

DAE(13)

DAE(14)

DAE(15)

min

max

min

max

min

max

0

-50

300

-40

350

-20

400

0.1

-36

290

-16

335

7

385

0.2

-22

280

8

320

34

370

0.3

-8

270

32

305

61

355

0.4

6

260

56

290

88

340

0.5

20

250

80

275

115

325

0.6

34

240

104

260

142

310

0.7

48

230

128

245

169

295

0.8

62

220

152

230

196

280

0.9

76

210

176

215

223

265

1

150

150

200

200

250

250

Жирным шрифтом в табл. 4 выделено соответствие условию (6.2). С учетом экстраполяции нечеткое число DPBP имеет вид табл. 5 (рис. 5):


^ Табл. 5. DPBP как набор сегментных интервалов (с учетом экстраполяции)

Alpha

DPBP

min

max

0

9



0.1

10

15

0.2

10

15

0.3

10

14

0.4

10

12

0.5

10

11

0.6

10

11

0.7

10

11

0.8

10

11

0.9

10

10

1

10

10




Рис. 4. Нечеткое число DPBP (с учетом экстраполяции DAE)


Теперь переходим непосредственно к оценке риска неокупаемости проекта за 11 интервалов, причем:

  • при  = 0 – однозначно не окупается ( = 1);

  • при  = 0.1 и 0.2 он окупается с геометрической вероятностью  = ;

  • при  = 0.3 он окупается с геометрической вероятностью  = ;

  • при  = 0.4 он окупается с геометрической вероятностью  = ;

  • во всех остальных случаях – однозначно окупается.


Тогда риск неокупаемости за G=11 интервалов:


Risk (G=11) = Poss (DPBP > G) = = 0.1 (1 +0.8 + 0.8 + 0.75 + 0.5) = 0.385. (7)

Также, с учетом (7), справедливо:


Risk (G<=10) = 1, (8.1)


Risk (G=12) = 0.1 (1 + 0.6 + 0.6 + 0.5) = 0.27, (8.2)


Risk (G=13) = 0.1 (1 + 0.4 + 0.4 + 0.25) = 0.205, (8.3)


Risk (G=14) = 0.1 (1 +0.2 + 0.2) = 0.14, (8.4)


Risk (G>=15) = 0.1 (8.5)


Оценки (7) и (8) образуют риск-функцию проекта [10], как зависимость уровня риска от предельно возможного срока окупаемости проекта. По всему видно, что риск неокупаемости проекта за число интервалов IH = 12 весьма значителен (27%). Косвенно это связано с тем, что существует возможность отрицательного NPV (правда, она невелика – всего 3%). Расчет проведен с помощью калькулятора оценки риска IRC[11]. Если бы экстраполированная зависимость DAE(n) гарантировано выходила бы на окупаемость за дополнительное расчетное время (плюс 3 интервала), то риск был бы, конечно, ниже.


Такой суровый разрыв в оценках риска проекта, если производить оценку по NPV и по DPBP, говорит нам о том, что NPV как один из возможных вариантов математической свертки денежных потоков, уже латентно содержит в своей структуре определенный характер оценки риска. Прежде всего, это статическая оценка по состоянию на конец горизонта инвестирования, а риск изменяется по ожидаемому финансовому результату NPV. И эта оценка совершенно игнорирует возможность протекания процесса за скобками горизонта инвестирования, она вообще игнорирует время как модельный фактор (если не считать вопросов, связанных с дисконтированием денежных потоков). Например, для оценки нечеткого NPV не играет никакой роли, когда проект входит в зону окупаемости, потому что этот временной лаг не участвует в расчетах NPV по определению.


Напротив, фокус времени проекта является главным для идентификации DPBP в нечеткой форме. Мы вынуждены даже настаивать на экстраполяции потоков за горизонтом инвестирования, рискуя навлечь на себя упреки в некорректности модели. Но если не рассматривать IH как конец времени, за которым нет ничего, кроме вечности, – а полагать его расчетным параметром, наряду с прочими параметрами модели, то тогда возникает конструктивная возможность построить законченное описание DPBP и, соответственно, говорить о рисках, связанных с неокупаемостью. И речь здесь идет уже не о деньгах, а о сроках.


Таким образом, DPBP – это динамическая оценка проекта.


Выявленный нами факт существенного риска проекта по фактору неокупаемости дает возможность инициаторам проекта настаивать на отсрочке завершения проекта на 3 интервала вперед, в целях минимизации риска неокупаемости. Оценка только по NPV не дает нам совершенно никаких оснований для тревоги. То есть, выражаясь техническим языком, налицо ошибка контроля второго рода - пропуск угрожающей ситуации (ошибка первого рода – это ложная реакция на несуществующую угрозу).


И здесь, завершая рассмотрение данного раздела работы, надо еще раз подчеркнуть одну очень важную и не весьма удобную для понимания мысль:


  • ^ Возможность отрицательного NPV по проекту не совпадает с возможностью неокупаемости проекта, потому что не совпадают поля событий в обоих случаях. В первом случае речь идет о событиях, протекающих на горизонте инвестирования, во втором случае – на интервале, открываемом возможностью проекта быть окупаемым (удобно назвать этот интервал горизонтом окупаемости), который пересекается с горизонтом инвестирования, но никогда не совпадает с ним. Речь идет о различных носителях для чисел NPV и DPBP соответственно. В первом случае это [0, IH], во втором – [Tmin, ], где Tmin – минимальный срок окупаемости проекта по всем возможностям его реализации.



  1. ^

    Новый подход к отбору проектов



То, что мы обнаружили в свойствах DPBP и в порядке его оценки, заставляет нас существенно пересмотреть сам подход к отбору проектов на множестве альтернатив, который основывается на критериях эффективности. Мы находим, что тройка критериев {NPV, IRR, DPBP} обеспечивает нам определенную полноту для принятия решения по выбору проектов. Однако высказанные ранее соображения не позволяют нам использовать DPBP в качестве критериального показателя. Это вызывает серьезные проблемы при постановке задачи отбора проектов как задачи многокритериальной оптимизации.


Представляется, что надо ставить и решать не прямую, а двойственную к ней однокритериальную задачу оптимизации проектного выбора, при этом в качестве целевой функции выбирать не эффективность проекта, а его риск.


Поясним нашу идею. Пусть имеется набор показателей {NPV, IRR, DPBP}, который мы далее будем рассматривать не как набор критериев эффективности проекта, а как набор лимитированных факторов (далее – граничных факторов проекта). На эти факторы целесообразно наложить условия вида:


NPV >= NPVmin, IRR >= IRRmin, DPBP <= DPBPmax . (9)


В простейшем частном случае должно выполняться:


NPV >= 0, IRR >= RD, DPBP <= IH . (10)


Множество граничных условий (10) можно назвать естественными граничными условиями проекта. Однако в реальности ограничения вида (9) могут быть ужесточены или ослаблены относительно естественного уровня (10). Например, проект может допускать некоторую убыточность и пониженную внутреннюю норму доходности на заданном инвестиционном горизонте (с возможностью последующей окупаемости через некоторое время).


Интерпретируем каждый граничный фактор проекта как нечеткое число и сопоставим каждому граничному фактору проекта свою меру риска, которая оценивается как возможность невыполнения ограничений вида (9). Обозначим это


RiskN = Poss (NPV < NPVmin), (11.1)


RiskI = Poss (IRR < IRRmin), (11.2)


RiskD = Poss (DPBP > DPBPmax) (11.3)


(для NPV, IRR и DPBP соответственно). Тогда задача выбора оптимального проекта из совокупности альтернатив имеет вид: j-ый проект из N альтернатив признается оптимальным, если выполняется:


jopt = {j | max (N, I, D) (RiskNj , RiskIj RiskDj) = min}, (12)

где граничные условия


NPVj >= NPVj min, IRR >= IRRjmin, DPBPj <= DPBPjmax , j = 1..N (13)


являются исходными для оценки соответствующих (11) рисков.


Задача (12) не является задачей возможностной оптимизации, т.к. ее целевая функция, аргументы и граничные условия носят привычный скалярный вид. Весь анализ возможности находится внутри расчета рисков по (11).


Соотношения (12) – (13) могут быть обобщены на произвольное число критериев. Так, в оценке могут участвовать популярные сегодня в инвестиционном анализе критерии ROIC, EVA (Economic Value Added) и другие. Но суть оптимизации остается без изменений: требуется минимизировать риск проекта с учетом требований инвестора к уровню граничных факторов.


Заключение



Мы внимательно рассмотрели нечеткий вид показателя DPBP и обнаружили, что события, отвечающие DPBP, частично относятся к периоду, находящемуся за правой границей горизонта инвестирования. Это создает определенные трудности для анализа DPBP в нечеткой постановке задачи. Однако, если сделать горизонт инвестирования проекта эластичным, то можно восстановить все возможности окупаемости проекта посредством экстраполяции - и тем самым определить DPBP как нечеткое число.


Носители DPBP и NPV не совпадают (как не совпадают поля соответствующих событий). Поэтому оценка возможности убытков по завершении срока проекта RiskN не совпадает с оценкой риска неокупаемости RiskD (обычно риск по критерию неокупаемости выше, т.к. носитель DPBP не имеет фиксированной верхней границы, и эта бесконечность дурно влияет на риск). Проект может не окупиться никогда; про деньги такого не скажешь – убытки всегда ограничены современной ценностью инвестиций NPVA плюс накопленная сумма непокрытых операционных убытков.

Значимость DPBA для инвестиционного анализа трудно переоценить, потому что такой анализ проходит в ином разрезе, нежели традиционный анализ по NPV – он проходит в разрезе времени, как в рамках, так и за рамками проекта. С такой стороны – зарамочной – на проект смотреть непривычно, но очень полезно, т.к. результатом подобного анализа является законченное представление об ожидаемой динамике денежных потоков проекта (NPV такого представления не дает).


DPBP значим, несет новую «запроектную» информацию, но не может выступать в качестве критерия. NPV привычен, «безопасен» в анализе (от него не ждешь сюрпризов), но, как оказалось, малоинформативен. Поэтому в полноценном инвестиционном анализе нужно что-то кардинально менять. И, как представляется сейчас, самым конструктивным способом обновления может являться переход от анализа проектов по критериям эффективности к анализу проекта на основе мажоритарного риска, который служит в качестве монокритерия. Такой подход к проблеме был невозможен еще пару лет назад, когда не было обоснованного способа оценки риска инвестиционного проекта (интервально-вероятностные схемы оценки не в счет, т.к. само слово «вероятность» меня, например, отталкивает применительно к нашему случаю). А если говорить о минимаксных схемах типа Гурвица – то в таких постановках оценке риска места нет (как нет места и гибкости). Только нечеткие описания создают необходимую гибкость для моделирования. В этих описаниях содержится только то, на что разработчик модели действительно рассчитывает, причем этот расчет описан не абстрактно (на уровне вероятностных шансов), а конкретно (на уровне ожидаемых разбросов параметров). В этом смысле денежные потоки как интервальные и/или нечетко-числовые последовательности обладают привлекательностью, свойственной инженерным моделям (под «инженерным» здесь понимается конструктивность, наглядность, простота, тесная связь с объектом исследования).


^

Список цитируемых источников





  1. Виленский П. Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. – М.: Дело, 2002.

  2. Buckley J. The Fuzzy Mathematics of Finance // Fuzzy Sets & Systems, 1987, N 21.

  3. Kuchta D. Fuzzy Capital Budgeting // Fuzzy Sets and Systems, 111, 2000.

  4. Dimova L., Sevastjanov P., Sevastianov D. Fuzzy Capital Budgeting: Investment Project Valuation and Optimization // Chenstohova Tech. Univercity Proceedings, 2001. – Also on site: http://sedok.narod.ru/s_files/poland/DimSevSev2003.doc .

  5. Dimova L., Sevastjanov P., Sevastianov D. On the Fuzzy Internal Rate of Return // Chenstohova Tech. Univercity Proceedings, 2001 . – Also on site: http://sedok.narod.ru/s_files/poland/FuzzyIRR2.zip .

  6. Кофман А., Хил Алуха Х. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями, Минск: Вышэйшая школа, 1992.

  7. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ рисков фондовых инвестиций. СПб, Типография «Сезам», 2002. – Также на сайте: http://sedok.narod.ru/sc_group.html.

  8. Dubois D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems. - N.Y., Academic Press, 1980.

  9. Недосекин А.О. Оценка риска инвестиций по NPV произвольно-нечеткой формы. – На сайте: http://sedok.narod.ru/s_files/2003/Art_100303.doc .

  10. Недосекин А.О. Риск-функция инвестиционного проекта. – На сайте: http://sedok.narod.ru/s_files/2003/Art_260503.doc .

  11. IRC – калькулятор для оценки риска прямых инвестиций. – На сайте: http://sedok.narod.ru/inv_risk_calc.html .





Похожие:

Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconКонкурс инвестиционных проектов. Организаторы
В рамках Выставки проводится конкурс инвестиционных проектов с последующей организацией инвестиционных ресурсов для лучших десяти...
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconМетодические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов и их отбору для финансирования

Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconНеформальное введение
...
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconМетодическое пособие по экологической оценке инвестиционных проектов (по диагонали на зеленом фоне: компонент рпои)
Охватывает пять главных аспектов проекта технический, организационный, экономический, финансовый, экологический
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconМетодические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов: (Вторая редакция). Официальное издание. М.: Экономика, 2000. 421 с
Список литературы по дисциплинам: «Экономическая оценка инвестиций», «Инвестиционный анализ»
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconКомплементарная многократная эмпирическая декомпозиция: новый шум расширил метод анализа данных
Этот новый метод дает imf с rms, аналогичным eemd, но он эффективно устранил шум остатка в imf. Проведены численные эксперименты,...
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconРоль методики оценки эффективности инвестиционных проектов в формировании системы проектного финансирования
России па обьективные экономико-математические расчеты, и, во-вторых, в сильнейшей зависимости качества расчетов от качества используемой...
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconПикотехнология – новый подход в моделировании пространственной структуры белка кушелев А. Ю. 1, Соколик В. В. 2
...
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconНовый подход к оптимизации фондового портфеля в нечеткой постановке задачи
Недосекин А. О. Новый подход к оптимизации фондового портфеля в нечеткой постановке задачи
Нечеткий dpbp и новый подход к рациональному отбору инвестиционных проектов iconНовый методологический подход в исторической психологии. Занимаясь исторической психологией по теме «реконструкция средневековой личности»
В связи со всем вышеперечисленным, метод палеопсихологической реконструкции следует понимать как своеобразный системный историко-психологический...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов