Вероятностные распределения с нечеткими параметрами icon

Вероятностные распределения с нечеткими параметрами



НазваниеВероятностные распределения с нечеткими параметрами
Дата конвертации28.08.2012
Размер121.08 Kb.
ТипДокументы

Недосекин А.О. Вероятностные распределения с нечеткими параметрами

Вероятностные распределения с нечеткими параметрами



Недосекин Алексей Олегович, ст. консультант компании Сименс Бизнес Сервисез, канд. техн. наук


Введение



Лофти Заде в [1] приводит весьма обстоятельную классификацию распределений специального типа, употребление которых в научной практике связано с разрешением лингвистической неопределенности. Среди этих формализмов выделяются следующие:


  • Распределения, основанные на возможностях. Общеупотребительный ныне формализм, введенный Заде еще в 1978 году [2]. Пример: высказывание «Кароль молод» неявно содержит в своем составе нечеткое подмножество А1 = «Молодой возраст», определенное на носителе Х = «Годы жизни человека»; на этом же носителе определена соответствующая функция принадлежности, характеризующая возможность того, что данное фиксированное значение носителя Х = u отвечает содержанию понятия «молод» (или, - что то же самое, - возможность события, что Каролю сейчас ровно Х = u лет);

  • ^ Классические вероятностные распределения (неопределенность не лингвистического, а статистического свойства);

  • Нечетко-вероятностные распределения. Пример: «Похоже, что Кароль молод». Здесь неявно содержится лингвистическая переменная А = «Степень уверенности говорящего», определенная на [0,1]-носителе и имеющая смысл аксиологической вероятности, выраженной в терминах естественного языка;

  • ^ Распределения случайных нечетких множеств с фиксированной вероятностной мерой;

  • Распределения, основанные на нечетких графах. Например, есть две нечеткие классификации (fuzzy granulations). Тогда некоторый функционал, определенный на декартовом произведении двух выделенных нечетких классификаций, имеет смысл распределения, основанного на возможностях.


Вполне возможно дополнить классификацию Заде еще одной группой формализмов – вероятностными распределениями с нечеткими параметрами. Этот синтетический тип распределений комбинирует классические вероятностные распределения и распределения, основанные на возможностях.


Вероятностные и возможностные распределения совместно описывают поведение сущности, которая называется нечеткой случайной величиной, введенной в самом общем виде в [3, 4]:

R:     Е1, (1)


где Е1 – одномерное эвклидово пространство, а  и  есть элементы вероятностного (, B, P) и возможностного (, P(), ) пространств соответственно.
И здесь, как представляется, очень важен порядок слов: случайные нечеткие величины, упомянутые Заде в его классификации, - это совсем не то же самое, что нечеткие случайные величины (другой порядок следования элементов в декартовом произведении (1)).


Впервые в России применение нечетких случайных величин в экономических и математических задачах предпринято научной школой Тверского государственного университета (А.В.Язенин, И.А.Язенин, В.А.Рыбкин, см. работы этих авторов в [5]). Частное введение и применение в практических задачах формализма «Вероятностное распределение с нечеткими параметрами» (Пытьев [6], Недосекин [7, 8]) показывает необходимость обсуждать эту тему отдельно от всей проблематики теории нечетких случайных величин, как весьма актуальную для моделирования данных.


Актуальность же состоит в том, что есть насущная необходимость снять допущение о статистической однородности наблюдаемых событий для построения вероятностных гипотез. Действительно, в большинстве экономических приложений теории вероятностей статистическая однородность наблюдаемых событий не может быть доказана. Соответственно, невозможно использование при анализе классических статистических вероятностных гипотез. Если же представленный набор данных все же позволяет судить о проявлении некоторого закона (выраженного в вероятностной или иной форме), тогда можно говорить о правдоподобии получаемых оценок вероятностных распределений, а представленный набор данных может быть охарактеризован как квазистатистика [7,8]. В этих ухудшенных информационных условиях невозможно (или не имеет смысла) говорить о точечных оценках параметров вероятностных распределений. По мере ухудшения информационной ситуации падает и правдоподобие таких оценок; а со снижением правдоподобия можно говорить о том, что оценки размываются, а их допустимые значения лежат в определенном интервальном диапазоне и характеризуются определенной мерой возможности.


Таким образом, формальной предпосылкой для введения вероятностных распределений с нечеткими параметрами служат словесные оценки типа:


^ ПАРАМЕТР ЯВЛЯЕТСЯ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ С ПАРАМЕТРАМИ: ПЕРВЫЙ НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ – ПРИМЕРНО 10, ВТОРОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ – МЕЖДУ 2 И 3

(2)

^ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ЯВЛЯЕТСЯ НЕСТАЦИОНАРНЫМ, А ПАРАМЕТРЫ ПРОЦЕССА – МЕДЛЕННО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УБЫВАЮЩИЕ ДО +0 ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ

(3)


И в итоге, после анализа дополнительных соображений, относящихся к словесным моделям вида (2) и (3), мы можем строить вероятностные распределения с нечеткими параметрами и производить анализ данных на их основе. При этом по построению указанные вероятностные распределения являются вероятностно-возможностными - по своему содержательному наполнению (и здесь порядок слов, поставленных через дефис, уже не так важен).


Несмотря на то, что вероятностные распределения с нечеткими параметрами уже достаточно успешно применяются в практике экономического моделирования [7,8] (особенно в ходе решения задач портфельной оптимизации), я счел необходимым вернуться к вопросу более обстоятельного математического рассмотрения упомянутого формализма. Собственно, это и есть цель настоящей статьи.


  1. ^

    Основы теории вероятностных распределений с нечеткими параметрами



Пусть имеется классическое одномерное вероятностное распределение, которое характеризуется плотностью распределения p(x | N, Z), где Z - вектор параметров распределения размерностью N. Например, нормальное распределение имеет плотность p(x | 2, r, 2), где r – первый начальный момент распределения, 2 - второй центральный момент распределения.


Теперь предположим, что параметры ^ Z распределения могут принимать любые значения в диапазоне [Z1, Z2] (N-мерный параллелепипед). В этом случае мы имеем несчетное множество классических вероятностных распределений с параметрами Z  [Z1, Z2].


Определим на параллелепипеде [Z1, Z2] многомерное распределение, основанное на возможностях того, что каждый параметр вектора Z принимает то или иное значение в диапазоне [Z1, Z2]. В качестве основания для построения подобного распределения возможностей мы можем использовать схему, предложенную в [7]. Суть схемы в следующем. Пусть у нас есть нормированная функция правдоподобия, которая принимает значения от 0 (на концах интервала [Z1, Z2]) до 1 (на исходных точечных значениях параметров Z, которые мы обозначим как Zp). Тогда, по мере убывания функции правдоподобия от единицы до нуля с определенным шагом, диапазон возможных значений вектора Z размывается от Zp вплоть до [Z1, Z2]. Выполнив такое размытие, мы получаем набор заданных сегментным образом нечетких чисел, которые могут быть в первом приближении аппроксимированы системой треугольных нечетких чисел вида (Z1, Zp, Z2). Более точно: интерпретируя функцию правдоподобия как множество уровней возможности, мы можем восстановить параметры распределения сегментным способом, как набор интервалов для соответствующих уровней принадлежности. При этом полученные параметры будут иметь функцию возможности LR-вида (к которому, в частности, относится и треугольное представление).


Плотность вероятностного распределения с нечеткими параметрами – это нечеткая функция, определенная на вещественной оси и принимающая значения в форме нечетких чисел. Чтобы получить эти значения, необходимо произвести мягкие вычисления данной функции плотности по сегментным правилам: для заданного уровня принадлежности выполнить математические операции над сегментами (интервалами) нечетких чисел параметров [9]. Примеры по ходу дальнейшего изложения прояснят данный тезис.


Также, восстанавливая функцию распределения по плотности, необходимо определить операцию мягкого интегрирования, опять же сегментным способом. В результате интегрирования с числовыми пределами мы получаем нечеткое число; неопределенное интегрирование дает на выходе нечеткую функцию. В частности, в [9] показано, что если на определенном интервале интегрируется функция LR-вида [10], то результатом интегрирования является число LR-вида. Аналогичным образом следует определить и мягкое дифференцирование (восстановление плотности распределения по функции распределения).


Таким образом, вероятностное распределение с параметрами в форме нечетких чисел – это всего лишь комбинация уже зарекомендовавших себя описаний: классического вероятностного распределения и распределения возможностей на параллелепипеде параметров. Если распределения возможностей не задано, то все значения параметров равновозможны, и мы приходим к вероятностным распределениям с интервальными параметрами. Если интервальный параллелепипед параметров сжимается в точку, то имеет место классическое распределение вероятностей.


Задавая вероятностное распределение с нечеткими параметрами, мы стремимся учесть два типа неопределенности: а) связанную с индетерминизмом в проявлениях внешнего мира (используются классические вероятности) и б) связанную с ограниченной уверенностью эксперта в интерпретации полученных данных вероятностными распределениями (используются возможности).


Рассмотрим примеры математических операций на введенных вероятностных распределениях.


  1. ^

    Примеры математических операций на распределениях с нечеткими параметрами




Пример 1. Плотность равномерного распределения имеет вид


f(x) = , (4)

где [a,b] – нечеткий интервал, концы которого a и b являются треугольными нечеткими числами а = (1, 2, 3) и b = (5, 6, 7). Определить вид функции распределения и возможность его аппроксимации функцией LR-вида.


Решение 1. В соответствии с правилами действительного интегрирования,


F(x) = = . (5)

Сегментное восстановление (5) позволяет получить F(x) для x = 2,4,6, как это показано на рис. 1.




Рис. 1. Вид F(x) для x = 2,4,6


Из рис. 1 видно, что треугольный вид параметров распределения вовсе не обещает того, что и само распределение будет треугольным. В частности, при x=4 возможностное распределение F(4) претерпевает усечение, что связано с граничными условиями, заложенными в (5), и число F(4) теряет LR-вид. Таким образом, и в целом функция распределения F(x) не имеет LR-вида.


Пример 2. Плотность экспоненциального распределения имеет вид


f(x) = exp(-x), x>0, (6)


где  = (0.8, 1, 1.2) – треугольное нечеткое число. Требуется определить, в какой степени (6) может быть аппроксимировано функцией LR-вида.


Решение 2. Распределение возможностей для нечеткой функции (6) имеет вид рис 2:




Рис 2. Вид f(x) для ч = 0,1,2


Видно, что по результатам сегментного восстановления на всей области определения f(x) получаются очень хорошие приближения f(x) функциями LR-вида (даже треугольного вида). Восстановим аналитический вид этих треугольных функций, используя правила мягких вычислений [9,10]:


f(x)  (fmin(x), fav(x), fmax(x)), (7.1)


где


fmin(x) = min (minexp(-maxx), minexp(-minx), maxexp(-minx),
maxexp(-maxx)) (7.2)


fav(x) = avexp(-avx), (7.3)


fmax(x) = max (minexp(-maxx), minexp(-minx), maxexp(-minx),
maxexp(-maxx)). (7.4)

С ростом x качество аппроксимации несколько ухудшается, но это не столь важно, т.к. это ухудшение происходит в области низких значений плотности и совершенно не сказывается на восстановлении по плотности f(x) функции распределения F(x), что достигается интегрированием (7) в пределах (-,x] . В [10] доказывается треугольно-нечеткий вид F(x), т.к. и f(x) аппроксимируется треугольной функцией:


F(x)  (Fmin(x), Fav(x), Fmax(x)), (8.1)


где


Fmin(x) = 1 - exp(-minx) (8.2)


Fav(x) = 1- exp(-avx), (8.3)


Fmax(x) = 1 - exp(-maxx), (8.4)


Связь между (7) и (8) – это связь между производной и первообразной функциями, и следует отметить, что эта связь не является механической, аналогичной тому же в области классических вещественных функций, но выстраивается в соответствии, в том числе, с правилами мягких вычислений (вынесение нечеткого параметра за экспоненту при дифференцировании вызывает необходимость применения к этой операции функции перемножения, заданной сегментным способом).


Пример 3. Нормальное распределение имеет треугольные параметры r = (5.5,6,6.5),  = (1.5,2,2.5). Определить вид функции распределения F(x).


Решение 3. Функция F(4,6,8) имеет вид рис. 3.



Рис. 3. Функция распределения F(4,6,8).


Видно, что F(4,6,8) не слишком отличается от треугольного. В любом случае, F(x) имеет LR-вид. Это чрезвычайно важное свойство нормального распределения с треугольно-нечеткими параметрами, которое может быть полезно использовано в экономических приложениях и, в частности, в задачах нечеткой оптимизации фондового портфеля.


Например, мы предположили, что доходность актива распределена нормально (это естественное допущение, в т.ч. для винеровской модели ценового поведения фондового актива). Но мы не сможем определить параметры этого распределения вполне точно в подавляющем большинстве случаев (из-за отсутствия статистической однородности данных). Поэтому мы прибегаем к модифицированному нормальному распределению с нечеткими параметрами (в самом первом приближении – треугольными). И, если каждый актив портфеля может быть задан парой треугольных чисел, а также существует матрица треугольных чисел коэффициентов корреляции между активами, то в координатном пространстве «риск – доходность» может быть решена задача Марковица, записанная в нечеткой постановке: добиться максимума доходности портфеля при фиксированном его риске.


Решением задачи Марковица такого вида в координатах «риск-доходность» будет эффективная граница в форме криволинейной полосы. Если один из активов безрисковый (треугольный параметр риска по нему близок к нулю), то эффективная граница становится прямолинейной и аппроксимируется функцией линейно-треугольного вида [8] (рис. 4):




^ Рис. 4. Прямолинейная эффективная граница для случая двух активов


r = (r2 – r1)*/ 2+r1, (9)


где номер индекса: 1 – безрисковый актив, 2 – рисковый актив, r* - доходность актива (треугольное число), * - риск актива (треугольное число), r - доходность портфеля (нечеткая функция),  - риск портфеля (скалярная переменная). Формулу (9) можно переписать в треугольном виде:


r  {(r2min – r1max)/2max, (r2av – r1av)/2av, (r2max – r1min)/2min)} *  + {r1min , r1av, r1max}
= K* + r1, (10)

где К – известный в фондовом менеджменте показатель Шарпа, записанный в треугольно-нечеткой форме (угол наклона линий эффективной границы).


Задача Марковица в нечеткой постановке может быть поставлена и решена лишь в том случае, если в модели заранее предполагается, что доходность актива – нормально распределенная нечеткая случайная величина. Если это не так, то требуется необходимое обоснование того, почему риск актива может быть охарактеризован в модели лишь вторым центральным моментом функции распределения доходности актива. В этом как раз и состоял смысл ряда претензий, в свое время выдвигаемых к теории Марковица (говорили о несоответствии реальных распределений активов нормальному закону, об ассиметрии реальных распределений и их остроконечности). Правда, сейчас эта полемика уже совсем потеряла свою остроту (в силу потери стационарности фондовых процессов после 2000 года сами распределения исчезли как факт). Тем не менее, проблема обоснованности возможностной оптимизации к фондовому менеджменту сохраняет свою актуальность. Такое обоснование, как мы здесь показали, находится в сфере моделирования фондовых процессов вероятностными распределениями с нечеткими параметрами.


Вывод




Комбинирование вероятностных и нечетко-множественных описаний в рамках формализма нечеткой случайной величины – чрезвычайно эффективный путь моделирования потоков неоднородных данных и нестационарных случайных процессов с плохо идентифицируемыми параметрами. И особую значимость в теории приобретает понятие вероятностного распределения с нечеткими параметрами и обоснования вида такого распределения в практических приложениях.


^

Перечень цитируемых источников





  1. Zadeh L.A. Toward a perception-based theory of probabilistic reasoning with imprecise probabilities // Journal of Statistical Planning and Inference 105 (2002). – Также на сайте http://sedok.narod.ru/s_files/poland/Zadeh.pdf .

  2. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets & Systems, 1, 1978.

  3. Puri M.D., Raleski D.A. Fuzzy Random Variables // J. Math. Anal. Appl., 1986, v. 114.

  4. Nahmias S. Fuzzy Variables in Fuzzy Environment // In: Advances in fuzzy set theory, NHCP, Amsterdam, 1979.

  5. Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. Тверь, ТГУ, 2002.

  6. Пытьев Ю. П. Возможность: Элементы теории и применения. М.: Эдиториал УРСС, 2000

  7. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. СПб, Сезам, 2002. - Также на сайте: http://sedok.narod.ru/sc_group.html#book_2 .

  8. Недосекин А.О. Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях. СПб, Сезам, 2003. – Также на сайте: http://sedok.narod.ru/sc_group.html#book_2 .

  9. Dubois D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. New York, 1980.

  10. Dubois D., Prade H. Fuzzy Real Algebra: Some Results // Fuzzy Sets and Systems, 2, 1979.




04.02.2003




Похожие:

Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconВероятностное распределение с нечеткими параметрами
Пусть имеется квазистатистика и ее гистограмма и пусть одна из возможных плотностей вероятностной функции распределения, приближающая...
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconТема: Линейные уравнения с параметрами
Задачи с параметрами – это высший пилотаж, ибо человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет...
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconОперации над нечеткими числами
Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) вводит набор операций над нечеткими числами. Эти...
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconМетод областей в решении и исследовании в задачах с параметрами
...
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconПроцедуры с параметрами Задания Первая группа
Напишите процедуры с параметрами, при выполнении которых черепашка нарисует следующие узоры
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconДокументы
1. /КНДР Задачи с параметрами Пивоварова Д/Задачи с параметрами. СОШ при Посольстве РФ...
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconПриложение 3
При этом функция распределения будет иметь вид: w(X,y,z,t). Требуется определить характер этой зависимости и, в частности, зависимость...
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconПоложение о порядке распределения компенсационных выплат за дополнительную работу, не входящую в круг должностных обязанностей работников муниципального общеобразовательного учреждения
Настоящее положение о порядке распределения компенсационных выплат (далее Положение) определяет порядок распределения, виды и характер...
Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconДокументы
1. /Вероятностные распределения.doc
2. /Главный...

Вероятностные распределения с нечеткими параметрами iconТема №1. Протоколы распределения ключей с использованием симметричных криптоалгоритмов
Управление ключами: виды распределения ключей, зависимость числа ключей от длины и алфавита, время жизни ключа
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов