Нечеткие парные сравнения icon

Нечеткие парные сравнения



НазваниеНечеткие парные сравнения
Дата конвертации28.08.2012
Размер86.41 Kb.
ТипЗадача

Недосекин А.О. Нечеткие парные сравнения

Нечеткие парные сравнения



Недосекин А.О., ст. консультант Siemens Business Services, к.т.н.


В практических задачах финансового менеджмента, особенно в ходе сопоставительного анализа финансовых показателей, очень важно выдвигать не только качественные оценки уровня факторов (например, Низкий – Средний – Высокий), но и сравнительную оценку уровня фактора для отдельной корпорации с тем же для индустрии или сектора рынка, или для рынка в целом (например, Намного Ниже – Ниже – На Уровне – Выше – Намного Выше). При этом требуется решить две научные задачи:

  • Выбрать количественный носитель, на базе которого формировать лингвистическую переменную «Соотношение уровней факторов А и В»;

  • Произвести нечеткую классификацию уровней носителя.


Рассмотрим по порядку.

  1. Носитель



Первое, что напрашивается, - это выбрать в качестве носителя относительное отклонение уровня фактора Х по объекту А от того же по объекту В:


АВ = (xB – xА)/ xА . (1)


При этом полученный носитель АВ имеет областью определения всю вещественную ось, а это неудобно для последующей нечеткой классификации. Если измерения проводятся на ограниченном интервале [xmin, xmax] (а в большинстве экономических приложений так оно и есть), то целесообразно нормировать отклонение не по базе сравнения, а по интервалу разбега параметра:


АВ = (xB – xА)/(xmax - xmin) . (2)


Носитель, заданный (2), имеет своей областью определения ограниченный, симметричный относительно нуля интервал [-1,1]. Соответственно, на этом интервале можно определить стандартную нечеткую классификацию соотношения уровней факторов, как это делается, например, в [1].


Интервал измерения [xmin, xmax] может рассматриваться не только как полное множество уровней фактора, но и как калибровочный интервал носителя, на котором определена стандартная нечеткая классификация. Если возникают экстремальные значения x < xmin, x > xmax, вызывающие выход отклонения АВ за пределы интервала [-1,1], то целесообразно распознавать такие соотношения уровней так, как они распознаются для случаев АВ = -1 и АВ = 1 соответственно. Также целесообразно калибровать интервал таким образом, чтобы средние по уровню значения группировались по центру калибровочного интервала.


Поэтому выбор интервала калибровки суть предмет экспертной находчивости, умения эксперта группировать не просто все возможные, но только наиболее значимые, представительные уровни фактора.
Чем грамотнее эксперт сформирует интервал калибровки, тем более показательной (продуктивной) будет классификация.


  1. ^

    Нечеткая классификация уровней фактора



Определим уровень фактора Х формулой:


А,В = (xА,В – xmin)/(xmax - xmin) . (3)


Тогда   [0,1] – стандартному 01-носителю, на котором может быть определена стандартная пятипозиционная классификация, как это сделано в [1]. Введем лингвистическую переменную «Уровень фактора» с терм-множеством значений «Очень низкий, Низкий, Средний, Высокий, Очень Высокий». Для описания подмножеств терм-множества введем систему из пяти соответствующих функций принадлежности трапециедального вида:


. (4.1)


. (4.2)


. (4.3)


. (4.4)


. (4.5)


Построенные функции принадлежности приведены на рис. 1.



Рис. 1. Система трапециевидных функций принадлежности на 01-носителе


Введем также набор так называемых узловых точекj = (0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9), которые являются, с одной стороны, абсциссами максимумов соответствующих функций принадлежности на 01-носителе, а, с другой стороны, равномерно отстоят друг от друга на 01-носителе и симметричны относительно узла 0.5.


Тогда введенную лингвистическую переменную «Уровень фактора», определенную на 01-носителе, в совокупности с набором узловых точек здесь и далее будем называть стандартным пятиуровневым нечетким 01-классификатором.


Сконструированный нечеткий классификатор имеет большое значение для дальнейшего изложения. Его суть в том, что если о факторе неизвестно ничего, кроме того, что он может принимать любые значения в пределах 01-носителя (принцип равнопредпочтительности), а надо провести ассоциацию между качественной и количественной оценками фактора, то предложенный классификатор делает это с максимальной достоверностью. При этом сумма всех функций принадлежности для любого х равна единице, что указывает на непротиворечивость классификатора.


Если при распознавании уровня фактора эксперт располагает дополнительной информацией о поведении фактора (например, гистограммой), то классификация фактора в общем случае не будет иметь стандартного вида, потому что узловые точки классификации и соответствующие функции принадлежности будут лежать несимметрично на носителе соответствующего фактора.


Также, если существует набор из i=1..N отдельных факторов со своими текущими значениями xi, и каждому фактору сопоставлен свой пятиуровневый классификатор (необязательно стандартный, необязательно определенный на 01-носителе), то можно перейти от набора отдельных факторов к единому агрегированному фактору A_N, значение которого распознать впоследствии с помощью стандартного классификатора. Количественное же значение агрегированного фактора определяется по формуле двойной свертки:


, (5)


где j – узловые точки стандартного классификатора, pi – вес i-го факторов в свертке, ij (xi) – значение функции принадлежности j-го качественного уровня относительно текущего значения i-го фактора. Далее показатель A_N может быть подвергнут распознаванию на основе стандартного нечеткого классификатора, по функциям принадлежности вида (4).


Из формулы (5) становится понятным назначение узловых точек в нечетком классификаторе. Эти точки выступают в качестве весов при агрегировании системы факторов на уровне их качественных состояний. Тем самым узловые точки осуществляют сведение набора нестандартных классификаторов (со своими несимметрично расположенными узловыми точками) к единому классификатору стандартного вида, с одновременным переходом от набора нестандартных носителей отдельных факторов к стандартному 01-носителю.


Можно построить матрицу, где по строкам расположены факторы, а по столбцам – их качественные уровни. На пересечении строк и столбцов лежат значения функций принадлежности соответствующих качественных уровней. Дополним матрицу еще одним столбцом весов факторов в свертке pi и еще одной строкой с узловыми точками j. Тогда для расчета агрегированного показателя A_N по (5) в полученной матрице собраны все необходимые исходные данные. Поэтому предлагаемую здесь схему агрегирования данных целесообразно назвать матричной.


Матричные схемы на основе пятиуровневых классификаторов уже давно и довольно успешно применяются для комплексной оценки уровня функционирования многофакторных систем, в том числе и финансовых (например, финансов корпорации).

Все изложение данной статьи базируется на пятиуровневом классификаторе. На самом же деле, уровней в классификаторе может быть произвольное число, и все определяется лишь удобством моделирования. Простейший классификатор – бинарный (хорошо-плохо, высоко-низко), но он представляется слишком грубым, т.к. не фиксирует характерного среднего положения, вокруг которого и группируется большинство количественных состояний в реальной жизни. Поэтому целесообразно говорить о стандартном трехуровневом нечетком 01-классификаторе (состояния Низкий, Средний, Высокий) с функциями принадлежности следующего вида (рис. 2):




Рис. 2. Трехуровневая 01-классификация


. (6.1)


. (6.2)


. (6.3)


Аналогично, матричная схема агрегирования данных на основе трехуровневых классификаторов базируется на формуле:


. (7)


  1. ^

    Соотношение уровней факторов в качественной интерпретации



Сравнение формул (2) и (3) дает:


АВ = А - В. (8)


Если факторы А и В классифицируются на основе стандартной симметричной пятиуровневой классификации, то соотношение уровней также обладает симметричной классификацией, которая может быть получена преобразованием абсцисс исходной классификации по формуле:


y = 2x -1. (9)


Линейное преобразование (9) производит перевод множества точек 01-носителя во множество точек [-1,1]-носителя, на котором определена переменная АВ. Вид функций принадлежности для классификации АВ приведен на рис. 3. Функции рис. 3, расположенные справа налево вдоль оси абсцисс, соответствуют соотношениям {Намного Ниже – Ниже – На Уровне – Выше – Намного Выше} соответственно.




Рис. 3. Классификация соотношения уровней на [-1,1] - носителе


Множество узловых точек классификации рис. 3 – {-0.8, -0.4, 0, 0.4, 0.8} – получено из исходного множества узловых точек преобразованием (9), примененным ко всем абсциссам соответствующих функций принадлежности исходного классификатора. При этом трапециевидность функций принадлежности не претерпевает искажения.


Результирующие функции принадлежности таковы:


. (10.1)


. (10.2)


. (10.3)


. (10.4)


. (10.5)


Если классификатор, описывающий качественные уровни фактора А,В, является нестандартным, то построение результирующего классификатора для АВ производится через преобразование 01-носителя в [-1,1]-носитель, с одновременной привязкой средней узловой точки классификатора к нулевому отсчету:


y = ax2 + bx -1, (11)


где


a = (1 – 2xav)/( xav2 - xav), (12.1)


b = (2xav2 -1)/( xav2 - xav), (12.2)


xav – абсцисса узловой точки, отвечающей среднему уровню фактора (причем при x = xav y = 0). В важном частном случае, когда xav = 0.5, (11) переходит в (9), и преобразование становится линейным. Во всех остальных случаях преобразование нелинейно.


^ Расчетный пример. Качественно сопоставить уровни параметра X (price-to-earnings) для акции А (xA = 25) и индекса B (xВ = 40). Интервал калибровки - [10, 50]. Стандартный классификатор уровней Х представлен шкалой таблицы 1:


Таблица 1. Классификатор уровней фактора Х

^ Качественный уровень

Границы параметра X

Нормированные границы

Очень Высокий(ОВ)

44 - 50

0.85 – 1

ОВ-В

40 - 43.9

0.75 – 0.84

Высокий (В)

36 - 39.9

0.65 – 0.74

В-Ср

32 - 35.9

0.55 – 0.64

Средний (Ср)

28 – 31.9

0.45 – 0.54

Ср-Н

24-27.9

0.35 – 0.44

Низкий (Н)

20 – 23.9

0.25 – 0.34

Н – ОН

16 – 19.9

0.15 – 0.24

Очень Низкий (ОН)

10 – 15.9

0 – 0.14


Решение. Согласно (3 - 4), А = (25 - 10) / (50 – 10) = 0.375, В = (40 - 10) / (50 – 10) = 0.75, АВ = - 0.375. Распознавание по (10.2) определяет соотношение как «Ниже» (сомнения в классификации наступают, когда xA вырастает до 28, а различать уровни мы перестаем, когда xA доходит до 36).


Список цитируемых источников





  1. Недосекин А.О. Стратегическое планирование с использованием нечетко-множественных описаний // Аудит и финансовый анализ, №2, 2003. – Также на сайте: http://sedok.narod.ru/s_files/2003/Art_110203.doc .









Похожие:

Нечеткие парные сравнения iconНечеткие последовательности, нечеткие прямоугольные матрицы, нечеткие функции и операции над ними
Нечеткая последовательность – это пронумерованное счетное множество нечетких чисел
Нечеткие парные сравнения iconПрезентацию на тему: «Фонетика» Выполнила ученица 5 а класса
...
Нечеткие парные сравнения iconНечеткие знания
Назовем формальным знанием высказывание естественного языка, обладающее следующей структурой
Нечеткие парные сравнения iconДокументы
1. /Тэрано Т. Асаи К. Сугэно М. Прикладные нечеткие системы.djvu
Нечеткие парные сравнения iconДля людей с крепкой психикой
Сравнения традиций арийских (славянских) и неарийских народов (см. Русская библиотека)
Нечеткие парные сравнения iconПеревод Д. Сафоновой
Количественный анализ сравнения поведения резидентных и транзитных форм косаток Центрального Побережья Британской Колумбии
Нечеткие парные сравнения iconУбийство живого новорожденного, приготовление, поедание. Документальные кадры
Сравнения традиций арийских (славянских) и неарийских народов (см. Русская библиотека)
Нечеткие парные сравнения iconБазовые нечеткие описания для фондового менеджмента
Прежде чем вводить определение квазистатистики, целесообразно определиться с исходным термином «статистика». Этот термин многозначен...
Нечеткие парные сравнения iconОшибки статистического анализа в психологических исследованиях
Необоснованное использование параметрического t-критерия Стьюдента для сравнения средних значений показателей по группам
Нечеткие парные сравнения iconНечеткие числа и операции над ними
Выделим два терм-множества значений: T1 = «U у лежит в диапазоне примерно от a до b» с нечетким подмножеством М1 и безымянное значение...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов