Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача icon

Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача



НазваниеLouis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача
Дата конвертации28.08.2012
Размер390.46 Kb.
ТипЗадача

О двух видах собственных форм (eigenforms)


 В.И.Моисеев, 2011 г.


Аннотация. В статье проводится интерпертация в терминах Проективно Модальных Онтологий и L-противоречий ряда идей, представленных в статье Луиса Хирша Кауффмана (Louis Hirsch Kauffman) под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задачами на собственные формы так называемого «исчисления стрелок» (более популярного представления идей Проективно Модальных Онтологий), выделении на этой основе двух видов собственных форм и определении бесконечной собственной формы для решения парадокса Рассела, что оказывается существенно связанным с логикой L-противоречий.


Abstract. The article offers one interpertation of ideas presented in the article «Eigenform» by Louis Hirsch Kauffman  in terms of Projectively Modal Ontology and L-contradictions. The main novelty of this paper is in the connection between Eigenform’s equations and ideas of Projectively Modal Ontology such that two kinds of Eigenforms are distinguished on this basis and the definition of an infinite Eigenform is made to solve the paradox of Russell, which is significantly associated with the logic of L-contradictions.


В этом тексте я проведу интерпертацию в терминах Проективно Модальных Онтологий и L-противоречий ряда идей, представленных в статье Луиса Хирша Кауффмана (Louis Hirsch Kauffman) под названием «Eigenform» («Собственная форма»)1. Я благодарю В.И.Аршинова за обращение моего внимания на эту тематику и знакомство с текстом Кауффмана.

Основная новизна статьи состоит в соединении с задачами на собственные формы так называемого «исчисления стрелок» (более популярного представления идей Проективно Модальных Онтологий), выделение на этой основе двух видов собственных форм и определение бесконечной собственной формы для решения парадокса Рассела, что оказывается существенно связанным с логикой L-противоречий.

Вначале я кратко изложу основные идеи статьи Кауффмана, а затем перейду к интерпретации и развитию ее положений.


  1. ^ Основные идеи статьи Кауффмана




    1. Идея собственной формы


Кауффман пишет, что его статья представляет собой обсуждение понятия «собственной формы», в рамках которого объект представляется знаком устойчивых (инвариантных) образцов поведения. Понятие «собственной формы» было впервые выдвинуто австрийским физиком и математиком Хайнцем фон Ферстерем (Heinz von Foerster) в его работе2, а затем развито самим Кауффманом в ряде его работ3.

Идея собственной формы тесно связана с понятиями рекуррентности или самореферентности (обращенности на себя).
Фон Ферстер был основателем так называемой «кибернетики второго порядка», где речь шла о создании кибернетики самой кибернетики. В рамках такой рефлексивной позиции предметом исследования оказывается не только некоторый объект, но и сам исследователь. Возникает как бы «зацикленный на себя», «петлевой», «рекурсивный» тип знания, в котором рефлексия над знанием всегда органично включена в предмет самого знания. С другой стороны, настроенное на такое самообращение к себе знание позволяет впервые сфокусировать внимание и начать более рационально выражать разного рода рефлексивные предметности, например, человеческое «я». Кауффман приводит в связи с этим известное определение «я», данное фон Ферстером: «I am the observed link between myself and observing myself» («я есть наблюдаемая связность между собой и наблюдением себя»).

Устойчивые сущности нашего мира, которые мы привыкли называть «объектами» (столы, деревья, дома и т.д.), фон Ферстер предложил понимать как собственные формы некоторых субъектных операторов наблюдения, проводя здесь аналогию с конструкциями квантовой механики, где наблюдаемые величины возникают в связи с проекциями состояния микрообъекта на собственные векторы некоторых операторов. Форма понимается в данном случае предельно широко – как некоторая определенность, возникающая в связи с архитектурой различий (distinctions), данной в едином пространстве наших восприятий. В таком понимании идея формы звучит в согласии с фундаментальными представлениями Спенсера-Брауна и его известной работой «Законы формы»4, в основании формального исчисления которого положена первичная операция «различия».

Если использовать операторную символику, то для выражения собственного значения оператора можно записать символическое уравнение


О(А) = В,


где О – оператор, сопоставленный субъекту-наблюдателю (observer), А – аргументор, на который действует оператор, В – значение, получаемое после действия О на А.

В этом случае идею объектов как символом собственных форм субъектных операторов можно выразить очень просто – как поиск таких значений аргумента А, на которых оператор образует так называемые «неподвижные точки» (fixed points), т.е. выполняется уравнение на собственные формы оператора:


О(А) = А.


Объекты – это и есть такие неподвижные точки операторных отображений.

Отсюда делается вывод, что нельзя говорить об объектах самих по себе, как о некоторых «вещах в себе», лежащих вне нашего пространства субъектной рецепции (афферентации). Без предварительного фона субъектных операторов объекты вообще не имеют смысла, и могут возникнуть только в существенно субъектной среде, представленной как система операторов восприятия (обобщенной афферентации) и деятельности (эфферентации). В том числе в виде таких собственных форм субъектных операторов возникают и «внутренние вещи» - наши мысли, чувства, состояния сознания и, наконец, наше собственное «я». Возможно, и сами операторы также могут быть представлены как инварианты некоторых иных операторов. Способность аргументам становиться операторами и наоборот – также одна из характерных особенностей «исчисления собственных форм».

Понятно, что здесь чувствуется претензия на некоторое предельно универсальное исчисление, которое одновременно в своих основах должно быть очень простым и гибким. Авторы этого направления ищут некоторый прото-язык форм с простейшим и максимально пластичным алфавитом и синтаксисом. Статья Кауффмана написана в таком же стиле. Он пытается использовать максимально наглядные и первичные фундаментальные конструкции, не связываясь с какими-то слишком конкретными математическими структурами, например, с теми же векторными пространствами и операторами на них. Отсюда и тяга к максимальному упрощению символики, стремлению предельно облегчить систему обозначений и средств, оставив только самое необходимое. Поэтому и приведенное выше уравнение на собственные формы следует понимать в рамках также максимально общего структурного языка – это пока просто запись некоторого функтора О и некоторого его аргументора А, и функтор действует на аргументор. Упрощая еще больше, можно снять скобки, используя еще более простую прото-запись:


(*) ОА = А


Ограничив себя таким образом, очень непросто сделать какие-либо содержательные выводы, и статья Кауффмана – прекрасный пример того, сколь многого можно добиться при минимуме выразительных средств.



    1. ^ Неподвижная точка рекурсии


Функторное уравнение ОА=А представляет собой частный случай рекурсивного определения – когда нечто определяется через себя. В более общем виде рекурсия принимает индексированный вид:


ОА = А*,


где А и А* - это разные состояния одного, так что одно и то же продолжает определяться через себя, но в форме разных своих состояний.

Первое следствие, которое делает Кауффман из уравнения на собственные формы (*), как раз связано с рекурсивным характером этого уравнения.

Если ОА=А, то на место А можно подставить ОА, получив:


ООА = А,


и так можно продолжать до бесконечности, получая последовательности:


^ ОО…ООА = А


Обозначим бесконечную композицию операторов О через J, тогда по-прежнему получим равенство:

JA = A


Замечательно, что теперь можно бесконечную композицию J рассмотреть как новый аргументор для оператора О, получив новое уравнение для собственной формы:


ОJ = J


Причем, этот вид собственной формы верен для любой рекурсии. Если дана рекурсия


F(X) = X*,


то, по-прежнему обозначая через J бесконечную композицию FFF…, можно записать уравнение для J как собственной формы оператора F:


FJ = J


Так Кауффман доказывает теорему, что любая рекурсия обладает собственной формой (кстати, если D – оператор уменьшения композиции операторов на один элемент, то также получаем: DJ = J).


    1. ^ Конечная неподвижная точка


Не обязательно обращаться к бесконечности, чтобы найти собственную форму. Например, в рамках лямбда-исчисления, предложенного в свое время Чёрчем и Карри (Church-Curry5), где используются два основных правила: 1. Именование – для каждого выражения можно образовать имя, 2. Рефлексивность – каждое выражение может выступить и как функтор, и как аргументор для любого другого выражения, - в этом случае можно показать существование собственных форм и на конечном шаге.

Кауффман описывает следующий пример. Пусть выражение G («gremlin») задано таким образом, что

GX = F(XX).


Тогда, подставляя на место Х выражение G, получим:


GG = F(GG),


т.е. выражение GG окажется собственной формой оператора F. Если F – тождественное преобразование, то G просто удваивает всякое выражение. Но когда он начинает действовать на себя, получается удивительная вещь – все остается неизменным.



    1. ^ Фрейминг и собственные формы


Кауффман показывает все новые примеры, где возможно нахождение собственных форм тех или иных операторов, и такие формы оказываются всегда связанными с очень глубокими и интересными проблемами в той или иной области.

Например, в теории множеств определенное напряжение всегда вызывала конструкция так называемого синглетона – множества {x}, имеющего в качестве единственного своего элемента некоторый объект х. Процедура построения синглетона лежит в основании известного метода построения натуральных чисел – ноль 0 выражается пустым множеством  (которое есть синглетон небытия {}), единица 1 определяется как синглетон на пустом множестве {}, двойка - как множество вида {,{}}, и далее используется индуктивное определение:


n+1 = {1,2,…,n}.


С другой стороны, что означают объекты {x}, {{x}}, {{{x}}}…? Даже если х – реальный объект, например, яблоко, то трудно подобрать какую-то осмысленную интерпретацию для таких множеств, как {яблоко}, {{яблоко}}, {{{яблоко}}} и т.д.

Более того, если взять процеуру образования синглетона бесконечное число раз, то тот объект х, который был в самом начале, просто исчезнет, и мы получим некоторый «пустой внутри» объект с бесконечным числом скобок:


W = {{{{{{{{…}}}}}}}}


Подобные странности привели к призывам (например, в лице Куайна) вообще запретить возникновение последовательностей скобок (framing) над одним объектом для случая реальных, объектно интерпретируемых сущностей. Для этого достаточно запретить образование синглетонов для всех непустых множеств (иначе пустое множество нельзя будет отличить от непустого, построенного в конце концов на основе пустого множества), т.е. {x} = x е.т.е. x не есть пустое множество.

В то же время такое решение приведет к невозможности построить числа описанным выше способом, поскольку {} = {{}} = {} = , т.е. уже единица станет равной нулю.

Кауффман описывает другую возможность.

Пытаясь избежать фрейминга для «реальных» объектов, можно выделить некоторый специальный класс объектов (specials), отличных от пустого множества, для которых фрейминг будет запрещен, т.е. будет выполнено условие a = {a} совпадения со своим синглетоном. Можно допустить, что если а и b – специальные объекты, то {a,b} – также специальный объект. Так будет возникать теоретико-множественная иерархия специальных объектов, в том числе стартующая с некоторых базовых объектов, и средствами которой можно моделировать, например, мир физических объектов, для которых кажется бессмысленным фрейминг.

В то же время можно сохранить и обычную иерархию множеств с фреймингом, которая будет строиться относительно пустого множества как стартового элемента. В частности, сюда будут относиться числа. Такими множествами можно моделировать ментальные объекты.

Давайте теперь посмотрим, говорит Кауффман, на объект W.

Его можно начать строить, начиная с пустого множества, поскольку любой стартовый объект, с которого начинал строиться W, все-равно исчезнет в бесконечном фрейминге. Построение W с пустого множества означает, что W может быть отнесен к ментальным объектам. С другой стороны, для W выполнено условие {W} = W совпадения со своим синглетоном, т.е. этот объект формально может быть отнесен и к специальным множествам, для которых запрещен фрейминг.

Выходит, что объект W – это такой «кентавр» («amphibian living»), который принадлежит сразу двум мирам – и миру физических сущностей, и миру ментальных объектов.

В то же время W оказывается собственной формой для оператора фрейминга. Если S(x) = {x}, т.е. S – теоретико-множественный оператор образования синглетона, то


S(W) = W,


и W – собственная форма оператора S.

Так, рассуждает Кауффман, «психофизическая» природа W, позволяющая ему присутствовать и в ментальном, и в физическом мире, оказывается связанной с характером этого объекта как собственной формы некоторого оператора. Правда, Кауффман должен был бы заметить, что определение в качестве собственных форм оператора S характерно для всех специальных объектов, в том числе для моделирующих обычные физические вещи. Поэтому нужно подчеркнуть важность для инвариантной – ментально-физической – природы объекта W еще бесконечность фрейминга, т.е. процедуру перехода к бесконечности для композиции оператора S при образовании объекта W:


W = SSS… = SSS…(x) для любого неспециального х.



    1. ^ Семиотические собственные формы


Далее Кауффман обращается к примеру возникновения собственных форм в случае некоторой смиотической концепции, где возникает феномен так называемого «означающего сдвига» (the indicative shift). Как будет ясно из дальнейшего, подобный процесс возникает в связи с выражением ситуации самореферентности в случае теоремы Геделя о неполноте.

Чтобы более строго выразить семиотические конструкции, которые использует Кауффман, я явным образом и более традиционно введу обозначение ряда семиотических операторов. Пусть х – некоторое имя, у – его денотат (объект, обозначаемый именем). Тогда введем операторы: 1. Именования (номинации) n: ny = x – этот оператор сопоставляет денотату его имя. 2. Денотации d: dx = y – оператор сопоставляет имени его денотат.

Далее Кауффман развивает представление о возможности ситуации, когда имя становится равноправной частью вместе с объектом в составе некоторой единой целостности (например, сначала мы узнаем человека отдельно от имени (особенно когда еще не вполне запомнили его имя), а затем, запомнив хорошо его имя, мы уже воспринимем человека всегда вместе с его именем), так что возникает некоторая композиция (у о х) – объект-имя, где о – обозначение операции композиции между объектом и именем (полагаем, что эта операция не обязательно коммутативна).

Теперь введем третий оператор означающего сдвига m (для его имени Кауффман использует большую букву М и называет m «метаименем»), определив его, вслед за Кауффманом, следующим образом:


d(m(a)) = da o a - денотат метаимени а есть композиция денотата а и самого а


Иными словами, метаимя обозначает денотат имени вместе с самим именем.

Переход от имени к метаимени – это и есть означающий сдвиг.

Используя введеные средства, Кауффман развивает далее несколько иллюстраций возникновения семиотических собственных форм.

Чтобы объяснить первую его иллюстрацию, давайте начнем применять оператор метаимени многократно – начнем получать последовательность:


dma = da o a


d(m2(a)) = dma o ma = da o a o ma


d(m3(a)) = dm2a o m2a = da o a o ma o m2a


d(m4(a)) = dm3a o m3a = da o a o ma o m2a o m3a





d(mn(a)) = dmna o mna = da o a o Cn-1k=1mka,


где Cn-1k=1mka = ma o m2a o m3a o … o mn-1a – сокращенное обозначение последовательной композиции элементов (подобно обозначению суммы).


Можно ли из этой общей формулы получить теперь некоторую собственную форму? Попробуем перейти к бесконечности (n), получим:


d(m(a)) = da o a o Ck=1mka


Чтобы добиться здесь инвариантности, Кауффман предполагает, что первое имя а и его денотат da - это некоторые нейтральные элементы композиции о. Обозначим их через 1, т.е. а = da = 1, и, кроме того, m1 = m. Тогда последнее равенство мы можем привести к виду:


d(m) = Ck=1mk


Поскольку Ck=1mk = limn(Cn-1k=1mk) = limn(m0.5(n-1)(n-2)) = m, то окончательно получим:


d(m) = m


Это означает, что бесконечная композиция оператора метаимени является собственной формой оператора денотации. Так находится Кауффманом первая семиотическая собственная форма.

Вторую собственную форму он определяет следующим образом.

Пусть nm = M, т.е. М – имя оператора метаимени. Определим теперь денотат метаимени М. По определению, имеем:


d(mM) = dM o M


Поскольку dM = m – денотат М есть оператор метаимени m, то окончательно получим:


d(mM) = m o M


В записи, которую использует Кауффман и которая отлична от применяемой мной, специальное использование композиции справа опущено, и как бы само собой получается равенство. Но при более тонком анализе мы должны иметь в виду, что слева и справа в общем случае могут использоваться разные операции – слева используется операция применения метаимени m к своему имени М, т.е. mM, в то время как справа используется некоторая операция композиции (о) денотата и его имени. В общем случае эти две операции могут быть разными, и потому, если мы переходим к случаю собственной формы, то необходимо явно проговорить условие совпадения этих двух операций.

Итак, если операция композиции о будет операцией применения функтора к аргументору, то будет достигнуто следующее соотношение:


d(mM) = mM,


т.е. элемент mM станет конечной собственной формой оператора денотации.

Оператор mM – это композиция6


m o n o m - метаимя имени метаимени,


через которую Кауффман предлагает интерпретировать семиотическую природу человеческого Я, способную одновременно мыслить некий объект и именовать его – здесь Кауффман вспоминает определение фон Ферстера «я есть наблюдаемая связность между собой и наблюдением себя».

Поэтому Кауффман предлагает ввести Я как семиотический оператор I вида:


I = mM


Тогда приведенное выше уравнение можно записать просто:


dI = I,


т.е. Я есть собственная форма оператора денотации, и Я совпадает со своим денотатом, или, можно сказать, что Я есть и свое имя, и свой денотат.

В самом деле, если dI = I, то nI = ndI = I – имя Я есть вновь Я, если принимать, что композиция операторов nd уничтожает друг друга.


    1. ^ Диагональные объекты и собственные формы


Наконец, Кауффман описывает в терминах семиотических операторов самореферентность, которая была использована Геделем в его знаменитой теореме о неполноте.

Как известно, Гедель применил отображение формул теории в множество натуральных чисел (т.н. геделева нумерация), построив формулу В(х), утверждающую, что формула с геделевым номером х не доказуема в теории. Заметим, что это ситуация метаименования, поскольку х – это переменная в том числе по геделевым номерам выражений, т.е. по именам, денотатами которых являются выражения. Тогда вся формула В(х) – это выражение вида «денотат(имя)», имя которого будет метаименем. Вот откуда «ноги растут» у идеи метаимени. Кауффман представляет формулу В(х) в виде В(m), где, по-видимому, оператор метаимени m представляет переменную х, которая в общем случае также есть не просто имя, а метаимя, поскольку это имя выражений с именами (геделевыми номерами). Далее у Геделя на место х подставляется геделев номер g = g(В(х)) формулы В(х), так что получается формула В(g), геделев номер которой g* = g(В(g)) вообще-то не совпадает с g, и ситуация здесь не вполне самореферентная (в формуле В(g) говорится о недоказуемости формулы В(х), а не формулы В(g), но последняя выводится из В(х) как частный случай).

Кауффман представляет эту ситуацию более самореферентно. Как уже говорилось, он формулу В(х) передает в виде объекта В(m), а не просто В. Тогда получаем:


dg = B(m) – именем формулы В(m) является геделев номер g


Отсюда, переходя к метаимени для геделева номера (как имени), получим:


d(mg) = dg o g = B(m) o g


Понимая композицию B(m) o g как применение оператора В(m) к аргументу g (тем самым выражается подстановка константы на место переменной), так что B(m)g = B(mg), окончательно получим:


d(mg) = B(mg)


Это и значит, что в формуле В(mg) утверждается недоказуемость ее самой, что составляет центральную идею теоремы Геделя о неполноте. Если формула В(mg) будет доказана, то окажется, что она истинна, т.е. выполненной будет ее семантика, которая как раз означает, что эта формула недоказуема. Следовательно, формула В(mg) не может быть доказана, хотя она истинна. Тем самым, не все истины теории доказуемы, т.е. теория неполна.

Последнее равенство легко представить в виде уравнения на собственную форму. Имея в виду, что nd – это тождественный оператор, получим:


nd(mg) = mg = n oB(mg),


откуда:


n oB(mg) = mg,


т.е. метаимя геделева номера является собственной формой оператора n oB.

Так и в этом случае центральная часть задачи оказывается связанной с заданием собственной формы для некоторого оператора.

Наконец, последний операциональный пример, который рассматривает Кауффман в связи с идеей собственных форм, - это случай парадокса Рассела и связанного с ним диагонального метода.

Если обозначить через АВ тот факт, что В является элементом множества А, т.е. ВА, то множество Рассела, как известно, образуется по правилу:


Rx  xx,


т.е. это множество всех множеств, не являющихся своими элементами (здесь  - логическое равенство).

Если теперь мы зададим вопрос, каково само R, является ли оно своим элементом или нет, то мы получим противоречие (подставляя R на место х):


RR  RR,


Но это означает, если рассматривать последнее выражение как операторное уравнение для оператора отрицания , что формула RR является неподвижной точкой (собственной формой) этого оператора. Подобную же структуру мы встречаем и в случае использования диагонального метода при доказательстве теоремы о невозможности установления биекции (взаимно-однозначного соответствия) между множеством и его булеаном (множеством всех подмножеств данного множества).

Сам Кауффман связывает интерпретацию последнего уравнения с введением промежуточного – между истиной и ложью – истинностного значения i, для которого i=i, т.е. отрицание его есть оно само. Такое истинностное значение можно интерпретировать в теории множеств как состояние «переменного множества», способного менять свои элементы во времени.



  1. ^ Исчисление стрелок и два вида собственных форм


Далее я постараюсь дать свою интерпретацию представленных выше идей о собственной форме и разного рода их иллюстрациям.

В своей переинтерпретации я буду пользоваться идеями Проективно Модальных Онтологий7, которые, следуя установке на поиск простого фундаментального языка, я постараюсь здесь изложить как некоторое достаточно простое символическое исчисление – своего рода «исчисление стрелок»8.

Пусть есть некоторые объекты а,b,c,…, которые будем называть «модусами». Для них определим еще два класса объектов – так называемых «моделей» m1,m2,m3,… и «модулей» e1,e2,e3,… Будем также использовать два вида «стрелок» - направленных вниз  и вверх .

Правила работы с такими объектами следующие.

Если дан модус а, его модель m и стрелка вниз , то можно образовать новый объект вида

b = am,


который обозначается как «а при (органичивающем) условии m» и называется «модой» модуса а.

Отношение моды и модуса характеризуется отношением нестрогого порядка, которое я буду, как и в случае чисел, обозначать в виде ≤, т.е.


am ≤ a – мода аm меньше или равна а.


Нестрогий порядок ≤ определяется в данном случае на основе отношения модуса и его моды:


b ≤ a е.т.е. найдутся такая модель m и стрелка , что b = am


Для нестрого порядка выполнены обычные свойства рефлексивности9 (а≤а) и транзитивности (a≤b и b≤c влечет a≤c, т.е. мода моды модуса является модой модуса). Равенство = понимается обычно – как выполнение двух нестрогих порядков:


a=b е.т.е. a≤b и b≤a


Стрелка вверх  двойственна к стрелке вниз в том смысле, что она позволяет образовывать модусы из мод. Если дана мода b, ее модуль е и стрелка вверх , то можно образовать новый объект вида


a = be,


который читается как «b при (расширяющем) условии е» и является модусом для моды b, т.е. выполнено соотношение:


be  b – модус be больше или равен b.


Таким образом, стрелки вниз в общем случае опускают объекты от большего к меньшему (от модусов к их модам), а стрелки вверх, наоборот, поднимают объекты от меньшего к большему (от мод к модусам).

Теперь применим это исчисление стрелок к описанным выше конструкциям.

Первое, что хотелось бы заметить, связано с основным операторным уравнением FA=B.

В этом случае можно рассмотреть F как нечто большее (модус), аргумент А – как модель (ограничивающее условие) этого модуса, и значение В – как нечто меньшее (моду), получаемое из А на основе некоторой стрелки , т.е. запись FA=B можно представить в виде:


FA = B,


где стрелка  будет означать действие оператора-модуса на свой аргумент-модель.

Тогда основное уравнение на собственные формы оператора примет вид:


FA = А.


Оно будет выражать такие модели модуса F, которые одновременно окажутся модами модуса F.

Пока это просто формальные игрушки, связанные с представлением того же самого в другом языке. Попытаемся продвинуться теперь более глубоко в исследовании идеи собственных форм, используя исчисление стрелок.

Далее я постараюсь развить представление о двух видах уравнения (*) на собственные формы, различие которых будет связано именно с понятием модусов и мод. Выделение этих двух видов, в свою очередь, будет представлено как два вида (кстати, тоже две моды) одного подхода, существенно связанного с исчислением стрелок.

Рассмотрим некоторый пример, иллюстрирующий симметрию, поскольку уравнение на собственные формы также можно рассмотреть как поиск некоторого вида симметрии (чего-то неизменного в определенном преобразовании)10. В качестве простейшего примера симметрии рассмотрим вращение равностороннего треугольника вокруг своей оси. Повороты на углы, кратные 120 градусам, будут приводить к совпадению треугольника с самим собой, выражая его поворотную симметрию.

Отметим это выражение – «совпадение треугольника с самим собой». Оно звучит противоречиво, поскольку здесь, с одной стороны, треугольник меняется при поворотах, а, с другой стороны, совпадает с собой. Такая конструкция вообще возникает, когда мы говорим, что «объект изменяется во времени». Здесь, с одной стороны, речь идет об изменении, а, с другой, меняется все тот же объект, который остается собой во всех изменениях. Такие парадоксы обычно решаются разделением на два уровня – вариативный и инвариантный. Меняющийся объект дан сразу на двух уровнях – на вариативном уровне он дан разными своими меняющимися состояниями, на инвариантном – неизменной составляющей.

То же мы видим и в случае симметрии, когда говорим, что «треугольник совпадает с собой» при поворотах на углы, кратные 120 градусам. Вариативный уровень связан с состояниями треугольника, например, с различением именования его вершин и того угла, на который данное состояние повернулось относительно некоторого выделенного состояния. Все такие состояния могут быть не равны между собой (кроме случаев равенства себе при повороте на ноль градусов), даже если используются только повороты, кратные 120 градусам. Их можно называть «именованными» состояниями – каждое из них как бы уникально поименовано, отличаясь от остальных. Поэтому нельзя говорить, что именованные состояния сохраняются при поворотах, отличных от нуля градусов. Они всегда меняются в любом ненулевом движении. А что же сохраняется? По-видимому, сохраняется то, что мы называем «формой» треугольника, которая безразлична к отдельным именованным состояниям, выражая только равностороннюю треугольность фигуры, и именно она и сохраняется при поворотах. Итак, повороты, кратные 120 градусам, действуют на именованные состояния фигуры, всегда меняя их в ненулевых углах поворота, но сохраняя «неименованное» бытие фигуры, связанное с ее треугольной формой. Здесь мы вновь видим два уровня – уровень вариативный, представленный именованными состояниями треугольника, и уровень инвариантный, который представлен треугольной «формой» фигуры.

Во всех прочих случаях, когда речь идет о симметриях и инвариантностях, может быть применен тот же анализ и выделены те же два уровня – вариативный и инвариантный, по которым как бы «размазана» двухуровневая самость-идентичность объекта. Будем вариативные состояния объекта называть его вариалами, а его инвариантное представительство – инвариалом. Сам объект – это инвариал, т.е. некоторое многоединство своих вариалов.

В каком отношении находятся между собой инвариал и вариалы объекта? Я буду предполагать, что это отношение порядка, которое возникает в исчислении стрелок, когда инвариал объекта может быть представлен как «модус», т.е. нечто большее, а вариалы объекта – как его «моды», т.е. нечто меньшее. В самом деле, если мы посмотрим на описанный выше пример симметрии треугольника при поворотах, то форма треугольника продолжает быть и в каждом его именованном состоянии, как бы включая их в себя как свои части. В этом смысле инвариал объекта есть некоторая «сумма» вариалов, большая каждого отдельного вариала.

Выразим теперь эту конструкцию в исчислении стрелок.

Пусть А – инвариал объекта, Вi – его вариалы, mi – модели, ei – модули. Тогда можем записать:


Bi = Ami - вариал есть мода инвариала-модуса, и


A = Biei – инвариал есть модус каждого вариала-моды.


Поскольку вариалы не равны инвариалу, то здесь имеем дело со стогим неравенством:


Bi < A – вариалы строго меньше инвариала (строгий порядок, как известно, получается из нестрогого запретом равенства: A

Что выступает в качестве моделей и модулей в примере с симметрией? Модель mi – это те специфицирующие условия, которые выделяют из всего инвариала ту его часть, которая соответствует вариалу Bi. Например, чтобы выделить конкретный вариал из инвариала, нужно задать некоторое начальное положение треугольника, которое принимается за нулевой угол, и задать тот угол (вместе со знаком), поворот на который приведет к данному вариалу (разные углы будут задавать разные вариалы). Единство этих условий – начальный (нулевой) вариал и угол поворота относительно него – и будут моделью (ограничивающим условием) mi, наложение которого на инвариал приведет к данному вариалу Bi. Наоборот, в качестве модуля ei выступят условия деспецификации данного вариала Bi – условия снятия с него всех спецификаций и расширения даного именованного состояния до инвариантной треугольной формы.

Пусть теперь А – треугольник, а Т – разного рода преобразования (трансформации), которые к нему могут быть применены (в частности, повороты вокруг его центра). Мы можем записать операторное уравнение на собственные формы в виде:


ТА = А


Если фиксировать оператор Т, то это уравнение на поиск неподвижных точек функтора Т. Пусть Т – повороты на углы, кратные 120 градусам. Тогда в качестве А могут выступить два вида состояний – как некоторые вариалы (например, при повороте на 0 градусов), так и сам инвариал, поскольку именно он не меняется в преобразованиях своей симметрии, а в большинстве таких преобразований вариалы, как было отмечено, не сохраняются.

В связи с этим можно и в общем случае говорить о двух видах собственных форм. Чтобы дать их определение более строго, соединим идеи операторного и стрелочного исчисления.

Пусть дано множество D объектов, на которые, как на свои аргументы, может действовать некоторый оператор (функтор) F, т.е. F:DQ, где Q – множество значений F. Предположим далее, что все элементы из D могут быть представлены как моды некоторого модуса А. В этом случае уравнение на собственные формы FX = X можно понимать двояко.

- Первое понимание, которое можно называть условием на собственные субформы, выражается в уравнении Fx=x, где xD, т.е. как поиск неподвижных точек функтора F в его области определения.

- Второе понимание (его можно назвать задачей на поиск собственных эпиформ) предполагает запись FA=A, выражая тем самым описанную выше двухуровневую онтологию вариалов и инвариала, когда F – это некоторое преобразование, элементы из D – вариалы этого преобразования, модус А – его инвариал.

Здесь мы переходим от неинварантности вариалов Fx  x к инвариантности инвариала FA = A, используя восходящую стрелку:


от неравенства вариалов


Fx  x


поднимаемся к равенству инвариала самому себе:


(Fx = x)е = (F(xе) = xе),


где xe = А.


Итак, задача на поиск собственных форм может пониматься в двух видах – как поиск собственных субформ и собственных эпиформ. Я предполагаю далее обратиться к примерам Кауффмана, чтобы с этой точки зрения прояснить, какие именно виды задач имелись в виду в каждом случае.

Но прежде чем сделать это, я хотел бы подчеркнуть единство двух описанных видов задачи на собственные формы. Те собственные субформы, которые выступают как неподвижные точки отображения F из области его определения, могут быть одновременно рассмотрены как такие моды модуса А, которые повышенно выражают собой симметрию А, – это как бы вариалы, подобные инвариалу. С этой точки зрения, оба вида задач на собственные формы оказываются выражением инвариала-модуса А, но в случае эпиформ такое выражение осуществляется прямо, а в случае поиска субформ природа инвариала выражает себя косвенно – через свою онтологическую проекцию в бытие вариалов, что выражается в существовании мод, повышенно подобных модусу.

Так обе задачи на поиск собственных форм могут быть представлены в некотором едином ключе – как выражение методологии поиска инвариалов, которые могут реализовывать себя в разных формах.



  1. ^ Интерпретация примеров Кауффмана


Первый пример у Кауффмана, который был рассмотрен выше, - это теорема о существовании собственной формы J для любой рекурсии FX = X*, где J – это бесконечная композиция отображений F.

Можно ли решить, какой именно вид собственной формы имеется здесь в виду и как можно было бы решать эту задачу в общем случае?

Ситуации, когда возникают бесконечные собственные формы, обычно связаны с тем, что для конечного случая решить уравнение на неподвижные точки не удается, и здесь позволяет найти решение переход к бесконечности. Здесь обычно заданный функтор действует на конечные структуры, изменяя их именно в силу их конечности, в то время как переход к бесконечности позволяет достичь инвариантности (вспомним восходящий переход от Fx  x к (Fx = x)е). Такая ситуация позволяет предположить некоторый вид симметрии, существенно связанный с бесконечностью, и останется только проверить, не возникает ли здесь ситуация с модусом-инвариалом, который будет сохраняться в функторных преобразованиях. Исчисление стрелок может нам здесь помочь выразить некоторую двууровневую онтологию инвариалов-модусов и вариалов-мод. Если это удается сделать, то можно предполагать наличие случая собственных эпиформ.

Попробуем применить эту методологию к отображению J.

Итак, дано функторное уравнение FX = X*, где в общем случае Х и Х* не совпадают, так что говорить об инвариантности на уровне аргументов может быть затруднительно. Кауффман переходит на более высокий уровень, начиная рассматривать композиции функторов FF…F и переходя затем к пределу, получая функтор J = FFF…. Уже отсюда видно, что J – это аргумент для F не того же вида, что Х. Это как бы аргумент более высокого уровня, который оказывается инвариантным в преобразовании F. Таким образом, можно предполагать, что J - это модус-инвариал, и остается построить для него некоторое исчисление стрелок, определив его моды.

Это можно сделать следующим образом:


Jn = FF…F = Fn


– модой функтора J в модели числа n будет композиция n функторов F.


Таким образом, можно построить онтологию инвариала J и множества его вариалов функционального вида FF…F. Функтор F одновременно окажется здесь преобразованием симметрии (в уравнении FJ = J), который сохранит инвариал, но в общем случае будет менять вариалы (F(Fn)  Fn). В этом случае аргументами оператора F выступают композиции Fn.

Таким образом, здесь мы видим яркий пример того, как собственной формой функтора F оказывается не некоторый его аргумент Х, но функторное состояние, сохраняемое преобразованием F. Можно предполагать, что это собственная эпиформа, т.е. определение неподвижной точки отображения как модуса-инвариала.

Коль скоро Кауффман доказывает теорему о неподвижной точке для всякой рекурсии, то существование соответствующей собственной эпиформы и связанную с ней двууровневую онтологию инвариала и вариалов – в описанном выше смысле - также можно предполагать определенной для всякой рекурсии.

Наоборот, когда Кауффман, используя средства лямбда-языка, строит для функтора F конечную неподвижную точку F(GG) = GG, то эта ситуация вполне может быть вписана в случай поиска собственных субформ.

Следовательно, на этих двух примерах мы видим возможность двух задач определения собственных форм – как эпиформ (отображение J) и субформ (двойной гремлин GG).

В случае построения в рамках расширенной теории множеств объекта W = {{{…}}} мы также видим обращение к бесконечности для решения уравнения на собственные значения S(x) = x, что вновь позволяет предположить случай задачи на поиск собственных эпиформ. В самом деле, мы здесь легко можем построить исчисление стрелок, аналогичное представленному выше, понимая под F оператор построения синглетона S. Тогда объект W окажется некоторым частным случаем J, а в качестве его конечных мод-вариалов выступят множества вида Sn(x), где х – пустое множество.

Те же два вида собственных форм мы видим и в случае семиотических примеров Кауффмана. Для оператора денотации d определяется бесконечный инвариант m и конечный инвариант mM. Первый, как и ранее, можно представить в качестве собственной эпиформы оператора d, второй – в виде собственной субформы, лежащей в области аргументов оператора.

Особый случай, на котором я хотел остановиться более подробно, представляют собой уравнения на поиск собственной формы оператора отрицания. Выше были приведены два примера использования этого оператора в случае доказательства теоремы Геделя о неполноте и формулировки парадокса Рассела.

Интересно, что сам Кауффман не рассматривает здесь случаи бесконечных решений, но ограничивается обращением к трехзначной семантике, т.е. к некоторому конечному решению как выражению собственной субформы. Я хотел бы попытаться восполнить здесь возможные решения поиском собственных эпиформ, вновь, как и ранее, связывая их с построением онтологий инвариалов и вариалов. Исчисление стрелок окажется в этом случае дополнительным ресурсом, который позволит представить новое эпиформное решение в виде некоторого модуса-инвариала.

Способы решения парадокса Рассела и других философских антиномий через обращение к идее бесконечности даны в ряде моих работ11. Используемая там техника названа техникой L-противоречий, в которой важную роль играет понятие предела (limit), достигаемого в бесконечности. Теперь я попытаюсь представить эти решения в виде собственных форм некоторых операторов, показав их как случай именно эпиформ.

Известно, что парадокс Рассела и другие парадоксы, где встречается так называемый диагональный метод12, легко решаются ограничением универсума определения парадоксального объекта. Например, если множество Рассела определить относительно некоторого универсума U, то парадокс Рассела превратится лишь в непротиворечивое утверждение, что множество R не принадлежит U. Но тогда возникнет более обширный универсум U*, который будет включать в себя U и R, так что можно построить более глобальное множество Рассела R* теперь уже для нового универсума U* и т.д. В итоге начинает возникать бесконечная последовательность ранговых множеств Рассела Rn, определенных по правилу:


Rnx  Unx xx,


где Un – универсум n ранга.

Тогда лишь можно показать, что Un+1Rn – множество Рассела ранга n принадлежит универсуму ранга n+1, и UnRn – множество Рассела ранга n не принадлежит универсуму ранга n.

С такими диагональными объектами органично оказывается связанной идея бесконечности – по своей природе такие объекты склонны выделять слои в областях своего определения, определяясь относительно предыдущего слоя, а сами «убегают» во внешний слой, и так до бесконечности. Теперь остается понять, как можно использовать бесконечность, чтобы справиться с такого рода ускользающими сущностями.

Для решения этой задачи необходимо вообще понять идею бесконечности как некоторую собственную форму.

Пусть дана бесконечная предельная последовательность {ai}, в которой, начиная с некоторого индекса m, нет повторяющихся элементов.

Рассмотрим далее так называемые операторы сдвигаk, определив их по правилу:


k{ai} = {ai+k},


т.е. они сдвигают последовательность на k элементов.

Такие операторы можно применять как к бесконечным последовательностям, так и к конечным или отдельным элементам.

Если ai таков, что im, и k>0, то


kai = ai+k  ai,


т.е. отдельные достаточно дальние элементы последовательности не сохраняются оператором сдвига.

Если же мы возьмем предел последовательности a, то он окажется неподвижной точкой любого конечного оператора сдвига:


ka = a


То же верно и для последовательностей, если только мы будем использовать так называемое финальное равенство =F – равенство по финалам последовательностей, в качестве которых для конечных последовательностей выступает последний элемент, а для бесконечных – предел последовательности. Тогда конечные последовательности в общем случае финально не сохраняются операторами сдвига, а бесконечные – сохраняются. Таким образом, предельная бесконечная последовательность – это собственная форма оператора сдвига. Оператор сдвига впервые дает неподвижную точку только с переходом к бесконечности, т.е. бесконечность как бы впервые останавливает сдвиговые трансформации.

Можно далее обосновать эту собственную форму как именно эпиформу, построив исчисление стрелок, где бесконечная последовательность будет инвариалом-модусом, а в качестве ее вариалов-мод будут выступать конечные подпоследовательности, т.е.


{ai}i=1n = {ai}ni=1.


Вернемся теперь к возможному решению парадокса Рассела, используя идею бесконечных последовательностей.

Для ранговых множеств Рассела можем записать:


(+) RnRn  Rn+1Rn


Это значит, что n-множество Рассела не является своим элементом тогда и только тогда, когда оно является элементом (n+1)-множества Рассела. В этом смысле формула Rn+1Rn является равносильным представителем формулы с оператором отрицания RnRn. В то же время формула Rn+1Rn получена действием оператора сдвига:


(++) 11(RnRn)  Rn+1Rn,


где оператор сдвига 11 действует на первый слева элемент пары и повышает на единицу его ранг.

Выражение (++) можно считать более точной записью отношения двух соседних ранговых множеств Рассела, соответствующих конечно-ранговой формулировке парадокса Рассела. Здесь оператор отрицания заменен на оператор сдвига, что для конечных рангов является равносильной заменой (в силу (+)), но с переходом к бесконечности возникают прямо противоположные результаты - при бесконечном ранге выражение (+) перейдет в противоречие Рассела, а выражение (++) в тождество.

В самом деле, если ранг будет бесконечным, то получим:


(+++) 11(RR)  RR,


поскольку +1 = .

Будучи равносильными для конечных рангов, в пределе выражения (+) и (++) скачком расходятся, оказываясь отрицающими друг друга. Но если выражение (+) позволяет проследить связь с парадоксом Рассела, то выражение (++) удобно для выражения вида инвариантности, который достигается с переходом к бесконечному рангу. Из (+++) мы видим, что формула RR оказывается собственной формой оператора сдвига 11, который для конечных рангов равносильно может заменить оператор отрицания.

Кауффман пытался обойтись без бесконечности, используя формулу RR как неподвижную точку оператора отрицания. Моя идея состоит в том, чтобы применить для решения задачи на собственные формы в случае парадокса Рассела описанную выше идею сдвиговой инвариантности, которая тесно связана с построением предельных бесконечных последовательностей и использованием операторов сдвига.

Остается показать, что формула RR является собственной эпиформой. Для этого достаточно связать ее с предельной последовательностью {RnRn}n=1, используя в операторном уравнении финальную эквивалентность:


11{RnRn}n=1F {Rn+1Rn}n=1,


что в точности означает (+++); и применить исчисление стрелок к бесконечным последовательностям, как это было описано выше. Из последнего равенства следует, что решением парадокса Рассела являются бесконечные последовательности, имеющие пределом формулу RR. Такие последовательности представляют собой бесконечную собственную эпиформу оператора сдвига, который представляет в данной теории оператор отрицания.

Таким образом, решение парадокса Рассела на путях бесконечности приводит к определенной технике, в которой центральное место занимают предельные последовательности формул, так что некоторые из таких последовательностей сами состоят из истинных формул, но пределом могут иметь противоречие. Такие последовательности и были названы мной «L-противоречиями», а логика предельных последовательностей формул, среди которых есть L-противоречия, - логикой L-противоречий. Замечательно, что конструкции этой логики, как мы теперь видим, могут быть согласованы с методологией поиска собственных форм, как это было описано выше.

Интересно, что подобное же бесконечное решение с использованием оператора сдвига можно использовать и в других случаях, где возникают ситуации, подобные парадоксу Рассела. Кауффман рассматривал в качестве примеров диагональный метод Кантора и теорему Геделя о неполноте. Можно надеяться, что логика L-противоречий может предоставить интересные решения и в этих случаях.


Заключение


В конце мне хотелось бы сделать лишь небольшое философское замечание. Мне представляется, что неявно используя, но явно не различая два вида задач на поиск собственных форм, в своей философии сторонники этого подхода выражают только онтологию собственных субформ, которые обычно предстают как локальные элементы бытия (некоторые аргументы функтора из его области определения), и именно такие объекты оказываются одновременно вершиной интеграции-инвариантности в среде субъектных операторов. Это порождает неизбежное номиналистически-релятивистское понимание собственных форм. Идея второго вида собственных форм – как эпиформ, - и связанная с ними двухуровневая онтология вариалов и инвариалов, в которой эпиформы представляют собой образы многоединства как разного рода инвариалы-модусы, обнимающие собой свои вариалы-моды, позволяет связать методологию собственных форм с более равновесными метафизическими подходами, например, с идеями интегрального подхода Кеннета Уилбера13 и т.д., где концепт собственной формы способен нести более интегративный и объемлющий смысл, делая равноправными подходы номиналистические и платонистические.


1 Louis H.Kauffman, Eigenform. Proceedings of the 51st Annual Meeting of the ISSS, Papers: 51st Annual Meeting. http://journals.isss.org/index.php/proceedings51st/article/view/811.


2 Heinz von Foerster, Objects: tokens for (eigen-) behaviors, in "Observing Systems," The Systems Inquiry Series, Intersystems Publications (1981), pp. 274 – 285.

3 Louis H. Kauffman, Eigenform, Kybernetes - The Intl J. of Systems and Cybernetics, Vol. 34, No. 1/2 (2005), Emerald Group Publishing Ltd, p. 129-150. Louis H. Kauffman, Eigenforms - Objects as Tokens for Eigenbehaviors, Cybernetics and Human Knowing, Vol. 10, No. 3-4, 2003, pp. 73-90.



4 G. Spencer-Brown, "Laws of Form," George Allen and Unwin Ltd. (1969).

5 H. P. Barendregt, "The Lambda Calculus - Its Syntax and Semantics," North Holland Pub. (1981,1985).

6 Здесь композиция понимается как последовательное применение функторов.

7 Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.1. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. - С.221-308.

8 Это выражение появилось благодаря замечанию В.И.Аршинова.

9 Это, в частности, означает, что любой модус является модой себя.

10 Описанная ниже двууровневая онтология симметрии должна, как представляется, дополнять современный математический аппарат теории симметрии как групповую структуру преобразований – в итоге возникнет более полная система смыслов, в которой органично выразимо то, что сохраняется в групповых преобразованиях.

11 См. напр. Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.1. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – С.588-617; Моисеев В.И. Логика всеединства. М.: ПЕР СЭ, 2002. – С.262-276, 329-339; V.Moiseyev. About Properties of L-Inconsistent Theories. SORITES, ISSN 1135-1349. Issue №17 — October 2006. Pp. 7-16. http://www.sorites.org.

12 Диагональный метод – метод построения объекта, отличного от всех объектов, представленных в виде строк некоторой матрицы. Такой объект строится таким образом, чтобы отличаться от каждого объекта пересчета, имея n-компоненты, отличные от nn-компонент n-х объектов пересчета, стоящих на диагонали матрицы.

13 См. напр. Уилбер К. Интегральное видение. Краткое введение в революционный интегральный подход к жизни, Богу, Вселенной и всему остальному. — М.: Открытый Мир, 2009.






Похожие:

Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconДолг тех, кто учится под таким названием в «Янг Индиа»
Под таким названием в «Янг Индиа» 29 января 1925 г опубликовано выступление М. Ганди перед студентами Колледжа Самалдас в Бхавнагаре...
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconОтделение русистики кафедры славистики
Остравском университете в 1993 – 1998 гг под названием «Русский язык в сфере бизнеса (обучение бакалавров)» и в 1999 – 2005 гг под...
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача icon1. 4 основная задача механики сплошной среды
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек каждой мтi системы уд по известному закону сил
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconНагрузки и напряжения
Основная задача механики состоит в представлении Эйлера-определения поля скоростей в каждый момент времени, а в представлении Лагранжа...
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconЗадача 1 63 задача 2 66 задача 3 69 задача 4 72 задача 5 76 задача 6 82 задача 7 87 задача 8 93 задача 9 95 Задача10 96 Прежде, чем вести бухгалтерский учет, необходимо: Заполнить «Справочники выбрать мышкой верхнее меню «Справочник»
Ввести сведения об организации и выполнить настройки (выбрать мышкой верхнее меню Сервис )
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconВердикты аж по апелляциям на 5 тур Чемпионата Города (школьники)
Мы, команда … ответили "зима, весна, лето, осень", так как по отдельности части цикла Вивальди "Времена Года" именно так и назывались....
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconПсиходелический адюльтер с соционикой. Ваш тип играет или заигрывает? В гостях у соционики Есть такая наука под названием «соционика»
А все потому, что соционика зани­мается выяснением типов личностей и способами их взаимодействия. Соционика выделяет 16 раз­ных психотипов,...
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconПсиходелический адюльтер с соционикой. Ваш тип играет или заигрывает? В гостях у соционики Есть такая наука под названием «соционика»
А все потому, что соционика зани­мается выяснением типов личностей и способами их взаимодействия. Соционика выделяет 16 раз­ных психотипов,...
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача icon«Сказочный денек» под таким названием проходил день 29 июля 2008 г на детской площадке «Радуга». Начался наш праздник с квн «Сказочный калейдоскоп»
«Сказочный денек» под таким названием проходил день 29 июля 2008 г на детской площадке «Радуга»
Louis Hirsch Kauffman под названием «Eigenform». Основная новизна статьи состоит в соединении с задача iconВ. Ф. Булгакова с А. Эйнштейном Осенью 1992 г., благодаря любезному содействию проф. Р. Коэна и д-ра П. Джозефсона, я получил возможность около недели поработать в Архиве Альберта Эйнштейна при Бостонском университете (сша). Основная задача
Эйнштейн писал или которые писали ему (ксерокопии этих писем хранятся в Архиве в Бостоне; подлинники находятся в Иерусалимском университете...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов