Непрерывна ли на пространстве, функция icon

Непрерывна ли на пространстве, функция



НазваниеНепрерывна ли на пространстве, функция
Дата конвертации28.08.2012
Размер88.38 Kb.
ТипДокументы

Билет № 1


  1. Что значит, что два множества эквивалентны? Может ли множество быть эквивалентно своему подмножеству? Привести пример.

  2. Непрерывна ли на пространстве , функция ;

  3. Дать определение гильбертова пространства. Примеры. Будет ли гильбертово пространство банаховым?

  4. Сформулировать теорему Банаха - Штейнгауза.

  5. Дать определение обратного оператора к оператору . Будет ли оператор обратный к линейному аддитивен и однороден?

  6. Найти решение х операторного уравнения , где А - вполне непрерывный симметричный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н, когда - собственное значение оператора А кратности .

  7. Решить уравнение .


Билет № 2

Нет вообще. Если кто-то знает, пришлите, пожалуйста kvakusik@rambler.ru


Билет № 3

Нет вообще. Если кто-то знает, пришлите, пожалуйста kvakusik@rambler.ru


Билет № 4


  1. Показать, что множество всех многочленов (любых степеней) с рациональными коэффициентами счётно.

  2. Непрерывна ли на пространстве функция ?

  3. Доказать, что скалярное произведение есть непрерывная функция своих аргументов относительно сходимости по норме в гильбертовом пространстве.

  4. В пространстве рассмотрим операторы , , где и при . Сходятся ли операторы к оператору gif" name="object17" align=absmiddle width=21 height=18>? Какой характер носит эта сходимость?

  5. Сформулировать теорему Банаха о существовании обратного линейного ограниченного оператора. (Не уверенна)



  6. Показать, что квадраты собственных значений оператора Фредгольма образуют сходящийся ряд. (Может быть звучит так «Показать, что квадраты собственных функций Фредгольма представлены в виде сходящейся последовательности».)


Билет № 5

Нет вообще. Если кто-то знает, пришлите, пожалуйста kvakusik@rambler.ru


Билет № 6


  1. Показать, что из всех бесконечных множеств, счётное множество имеет наименьшую мощность.

  2. Что значит, что множество А метрического пространства Х компактно (или, что тоже самое, предкомпактно)? Приведите примеры.

  3. Что такое длина (норма) вектора и угол между векторами в гильбертовом пространстве? Докажите корректность их определения

  4. Что значит, что последовательность операторов сходится поточечно к оператору . Следует ли из поточечной сходимости операторов их равномерная сходимость? Привести пример.



  5. Показать, что спектр вполне непрерывного симметричного оператора, действующего в гильбертовом пространстве, состоит лишь из собственных значений (т. е. является дискретным).

  6. Если имеется ортонормальный базис в гильбертовом пространстве , то всякий линейный оператор может быть задан бесконечной матрицей , где

Известно, что для некоторого и любых , (1)

Доказать, что - ограниченный оператор; обратно если - ограниченный оператор, то выполнено условие (1). Получить неравенства .


Билет № 7


  1. Показать, что множество последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума.

  2. Что такое компакт? Привести примеры.

  3. Какие два вектора гильбертова пространства называются ортогональными? Как выглядит условие ортогональности векторов в ? Приведите примеры ортогональных векторов в .

  4. Что такое равномерная и поточечная сходимость? Какая из какой следует?

  5. Определение произведения операторов . Будут ли операторы и перестановочны?

  6. Сформулировать теорему Гильберта для оператора Фредгольма с симметричным квадратично интегрируемым ядром , действующего в гильбертовом пространстве

  7. Решить уравнение .



Билет № 8


  1. Чему равны и ?

  2. Является ли всякое ограниченное множество в Еn - n - мерное евклидово пространство компактным? Откуда это следует.

  3. Показать, что если вектор х ортогонален векторам , то он будет ортогонален и любой их линейной комбинации. Далее, если ортогональны вектору х и , то вектор y будет ортогонален вектору х.

  4. Показать, что пространство , сопряженное с ЛНП Х есть банахово пространство.

  5. Показать, что .

  6. Показать из теоремы Гильберта, что любой вектор , где – гильбертово пространство, А- симметричный вполне непрерывный оператор на Н, допускает разложение по собственным векторам оператора А с ненулевыми собственными значениями.

  7. Если имеется ортонормальный базис в гильбертовом пространстве , то всякий линейный оператор может быть задан бесконечной матрицей , где

Известно, что для некоторого и любых , (1)

Доказать, что - ограниченный оператор; обратно если - ограниченный оператор, то выполнено условие (1). Получить неравенства


Билет № 9


Вы не поверите, но их два варианта билетов один есть на сайте Zyxela

Привожу другой

  1. Разложить множество натуральных чисел 1, 2, …, n,… на совокупность попарно не пересекающихся счетных множеств

  2. Доказать, что всякая непрерывная функция, определенная на компактном в себе множестве Q, равномерно непрерывна на нем.

  3. Что называется ортогональным дополнением к вектору х (или его подмножеству векторов) гильбертова пространства.

  4. Каким будет ЛНП , если есть банахово пространство?

  5. ?

  6. Доказать, что если подпространство в гильбертовом пространстве Н, инвариантное относительно симметричного оператора А ( т.е. ), то ортогональное дополнение подпространства также инвариантно относительно оператора А

  7. Если имеется ортонормальный базис в гильбертовом пространстве , и линейный оператор может быть задан бесконечной матрицей , где

Получаете неравенство


Билет № 10-13


есть на сайте Zyxela


Билет № 14

Их тоже два варианта первый с сайта второй:

  1. Что такое метрическое пространство ? Какова в нём метрика? Какое должно быть p?

  2. Покажите, что компактное пространство сепарабельно.

  3. Показать, что проекция вектора из гильбертова пространства на подпространство есть элемент этого подпространства, находящийся на кратчайшем расстоянии от , т.е. для любого .

  4. Указать общий вид линейного функционала в . И указать выражение для нормы такого функционала.

  5. Что называется резольвентой оператора А? Какие значение параметра называются регулярными значениями оператора А? Что называется спектром оператора А?

  6. Показать, что у вполне непрерывного симметричного оператора существует только конечное число взаимно ортогональных векторов с данным собственным значением .

  7. Показать, что оператор , заданный в ортонормальном базисе матрицей по формулам вполне непрерывен, если .

Указание: можно считать, что . Если , то положим .


Билет № 15


  1. Что такое метрическое пространство ? Какова в нём метрика? Каким должно быть число р?

  2. Покажите, что компактное множество метрического пространства ограничено.

  3. Доказать, что для того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно в гильбертовом пространстве Н, необходимо и достаточно, чтобы в Н не существовало вектора, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам многообразия М.

  4. Показать, что всякий линейный функционал , определенный на гильбертовом пространстве Н, имеет вид , где скалярное произведение в Н и вектор однозначно определяется функционалом при этом .

  5. Показать, что, если значение параметра является регулярным для оператора, то оно будет регулярным и для оператора , когда достаточно мала.

  6. Доказать, что у вполне непрерывного оператора А всякая ортогональная нормированная система собственных векторов с собственными значениями, превосходящими по модулю положительное число , конечна.

  7. Решить уравнение .



Билет № 16


  1. Что такое неравенство четырёхугольника в метрическом пространстве? Доказать его.

  2. Какое множество в называется равномерно ограниченным? Какое множество в называется равномерно непрерывным? Какой Вы знаете критерий компактности в ? Сформулировать теорему Арцела.

  3. Что значит, что система векторов гильбертова пространства Н называется ортонормированной системой векторов

  4. Докажите линейность функционала f2(x)=ax(0)+bx(1) в пространстве C[0,1] и найдите его норму.

  5. Что называется спектром оператора А? Что называется характеристическими числами или собственными значениями оператора А? Принадлежат ли собственные значения спектру оператора?

  6. Показать, что собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значением, взаимно ортогональны.

  7. Каковы собственные функции интегрального оператора Фредгольма с ядром в промежутке ?



Билет № 17



  1. Пусть l = l1 – множество элементов x вида x = {i}, где <, с расстоянием

(x, y) = , где y={}. Доказать, что l-метрическое пространство. Что представляет собой шар S(0,1) в этом пространстве?

  1. Будет ли компактным в пространстве С [a,b] множество всех степеней ?

  2. Что значит, что бесконечная система векторов линейного пространства линейно независима?

  3. Показать, что есть линейный функционал. Какова его норма?

  4. Существуют ли точки спектра, не являющиеся собственными значениями? Привести пример.

  5. Доказать, что всякий самосопряженный вполне непрерывный оператор А обладает собственным вектором с собственным значением .

  6. Доказать линейность функционала

в пространстве и оценить его норму.


Билет № 18

Нет вообще. Если кто-то знает, пришлите, пожалуйста kvakusik@rambler.ru


Билет № 19-24


есть на сайте Zyxela


Билет № 25

Нет вообще. Если кто-то знает, пришлите, пожалуйста kvakusik@rambler.ru


Билет № 26-29


есть на сайте Zyxela


Билет № 30


  1. Величина (x,A)= называется расстоянием от точки x до множества А. Доказать, что для любого множества А совокупность точек х, для которых (x,A)<ε, открыта, а совокупность точек y, для которых (x,A)ε, замкнута

  2. Какое ЛНП называется банаховым?

  3. Что называется рядом Фурье вектора по ортонормированной системе векторов ?

  4. Покажите, что ограниченность линейного оператора в ЛНП эквивалентна следующему условию: существует такая константа К, что .

  5. - вполне непрерывный оператор, - ограниченный. Доказать, что и вполне непрерывны

  6. Показать, что любая линейная комбинация самосопряженных операторов также является самосопряженным оператором.

  7. Если имеется ортонормальный базис в гильбертовом пространстве , и линейный оператор может быть задан бесконечной матрицей , где

Получаете неравенство


Билет № 31-34


есть на сайте Zyxela


Билет № 35


  1. Дать определение полного метрического пространства. Будет ли пространство С[0,1] полным.

  2. Сформулировать и доказать достаточное условие сходимости ряда , где есть элементы банахова пространства. Где здесь используется полнота банахова пространства

  3. Привести пример полной ортонормальной системы векторов в пространстве .

  4. Что значит, что линейный оператор ограничен. Докажите ограниченность всякого линейного оператора. Что называется нормой линейного оператора?

  5. Показать, что интегральный оператор Фредгольма , где , есть вполне непрерывный оператор в .

  6. Показать ,что если А и В линейные операторы в Н, то

  7. Решить уравнение .



Дальше у меня нет если знаете присылайте.




Похожие:

Непрерывна ли на пространстве, функция iconУрок по алгебре и началам анализа (11 класс) Правила дифференцирования Правила дифференцирования Цель урока
Верно ли утверждение: "Функция дифференцируемая на промежутке непрерывна на этом промежутке", а обратное: "Функция непрерывная на...
Непрерывна ли на пространстве, функция iconF(А,В) = а  в логическая функция двух переменных
Логическая функция – это функция, определенная на множестве истинностных значений (истина, ложи) и принимающая значение из того же...
Непрерывна ли на пространстве, функция icon30-31 октября 2008 г
Российский этнографический музей 30-31 октября 2008 г проводит Международный коллоквиум "Символическая функция" в пространстве культуры:...
Непрерывна ли на пространстве, функция iconКонспект на тему: Функция
Функция- зависимость переменной у от переменной X, если каждому значению Х соответствует единственное значение у
Непрерывна ли на пространстве, функция iconВ случае электростатики выражение для вектора
Уравнению (31). При наличии распределенных зарядов функция  удовлетворяет и уравнению Пуассона (68). Используя принцип суперпозиции...
Непрерывна ли на пространстве, функция iconПроцедура расщепления лагранжиана для группы so(3)
Поставим задачу так. В трехмерном пространстве (или в 4-мерном пространстве-времени – ведь есть еще и время) задан лагранжиан для...
Непрерывна ли на пространстве, функция iconЗачет11 01 по теме:«Метод координат в пространстве». Карточка 1
Расскажите, как задается прямоугольная система координат в пространстве и как определяются координаты вектора
Непрерывна ли на пространстве, функция iconТема: расстояние между прямыми в пространстве
...
Непрерывна ли на пространстве, функция iconОсновы теории управления
Моя временная функция неожиданно оступилась и рухнула в трещину, а частотная функция рванула на бесконечность в нецензурном формате....
Непрерывна ли на пространстве, функция iconМожет быть запрограммирована для запуска двигателя каждые 3 (2 или1) часа. Двигатель будет автоматически запускаться, прогреваться установленное время (Таблица программирования №3 функция 5) и останавливаться
Внимание: Автоматический запуск может быть использован только на открытом пространстве. Никогда не прогревайте двигатель в закрытых...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов