Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович icon

Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович



НазваниеДемоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович
Дата конвертации29.07.2012
Размер44.75 Kb.
ТипСеминар

Демоверсия – 2005.

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Семинар для учителей математики КМО.

Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович.

Цели семинара: 1) ознакомить учителей математики РМО нестандартными

методами решения уравнений и неравенств;

2) оказать действенную помощь в практике решения нестандартных

задач учителям математики РМО.

Имеется довольно много уравнений и неравенств, которые можно решать с использованием свойств функций, входящих в это уравнение и неравенств. Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью стандартных методов, а иногда решить их в тех случаях, когда стандартные методы не дают такой возможности.

Рассмотрим несколько таких нестандартных методов решения уравнений и неравенств.

^ 1 метод. Использование областей существования функций.

Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обет его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие- либо преобразования уравнения (неравенства), достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Пример 1. Решите уравнение (1)

Решение: Обе части уравнения (1) определены только для тех х, которые удовлетворяют системе неравенств

4 – х2 (2)

4 - х 2

Все решения системы (2) состоят из двух чисел: и Поэтому если уравнение (1) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число удовлетворяет уравнению (1), а число ему не удовлетворяет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень

Ответ: 2.

^ 2 метод. Использование неотрицательности функций.


Пусть левая часть уравнения F(х) = 0 (1) есть сумма нескольких функций

F(х) = (2)

каждая из которых неотрицательна для любого х из области ее существования. Тогда уравнение (1) равносильна системе уравнений

(3)

Например, каждое из уравнений и неравенств , , равносильно системе (3)

Пример 2.Решите уравнение (1)

Решение: Так как для любого х из области ее существования справедливы неравенства

и то уравнение (1) равносильна системе уравнений

(2)

Первое уравнение системы (2) имеет единственное решение которое является также решением второго уравнения системы (2). Следовательно, система (2), а значит, и равносильное ей уравнение (1) имеют единственное решение

Ответ: 3.

3 метод. Использование ограниченности функций.

Пусть множество М есть общая часть областей существования функций и g(х) и пусть для любого справедливы неравенства f(х) и g(х)где

А – некоторое число. Тогда уравнение f(х) = g(х) равносильно системе уравнений

f(х) = А

g(х) = А.

Пример 3. Решите неравенство (1)

Решение: Обе части неравенства (1) определены для всех действительных чисел х. Для любого х поэтому

4 –4 – 2х – х 2 = = 5 – (х + 1) 2

Следовательно, неравенство (1) равносильно системе

4 – 2х – х 2 = 5,

которая, в свою очередь, равносильна системе

(2)

Единственное решение второго уравнения системы (2) есть Это число удовлетворяет первому уравнению этой же системы. Следовательно, система (2) ,

а значит, и равносильное ей неравенство (1) имеют единственное решение

Ответ: -1.

^ 4 метод, Использование свойств синуса и косинуса.

Решение уравнений вида


где и В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа, может быть сведено к решению систем уравнений, если использовать ограниченность синуса и косинуса. Для решения таких уравнений применяют способ «рассуждений с числовыми значениями».

Пример 4.Решите уравнение (1)

Решение: Если число х о – решение уравнения (1), то так как в противном случае было бы справедливо неравенство >1, что невозможно. Но если то из уравнения (1) следует, что sin х o = -1. Поэтому любое решение уравнения (1) является решением системы уравнений

sin х = - 1

(2)

Любое решение системы (2) есть решения уравнения (1). Следовательно, уравнение (1) равносильно системе (2). Решим эту систему. Первое уравнение системы (2) имеет решение

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются всеми решениями системы (2) и равносильного ей уравнения (1).

Ответ:

^ 5 метод. Использование числовых неравенств.

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений.

Часто применяются неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

где

(причем равенство здесь возможно лишь при а = b), и его следствие:

где а > 0 (1)

(причем тогда и только тогда, когда а = 1).

Пример 5.Решите уравнение (2)

Решение: Обе части уравнения (2) определены для всех х. Для любого х, применяя неравенство (1), получаем, что справедливо неравенство

(3)

Для любого х справедливо неравенство

2 (4)

Из справедливости неравенств (3) и (4) следует, что уравнение (2) превращается в верное равенство лишь для тех х, для которых обе части уравнения (2) равны 2, т.е. для х, удовлетворяющих системе уравнений

(5)

Любое решение системы (5) будет решением уравнения (2). Следовательно, уравнение (2) равносильно системе уравнений (5). Решим её.

Первое уравнение системы (5) имеет единственное решение, которое удовлетворяет и второму уравнению этой же системы, Поэтому система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (2) имеют единственное решение

Ответ: 0.




Похожие:

Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconДемоверсия – 2007. Новые методические подходы к решению задач группы в и С. Семинар для учителей математики рмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента их...
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconДемоверсия – 2007. Новые методические подходы к решению задач группы в и С. Семинар для учителей математики рмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента их...
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconНестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. 1-й метод решения

Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconКонспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Общие методы решения уравнений. Замена уравнения h(f(X))=h(g(X)) уравнением f(X)=g(X)» Учитель математики
Образовательная – повторение, обобщение, систематизация знаний об общем методе решения уравнений; проверка усвоения знаний на обязательном...
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconТема: «Нестандартные методы решения уравнений» Цель
Цель: рассмотреть некоторые методы решения уравнений, позволяющие учащимся подготовиться к решению задач выпускных экзаменов
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович icon«Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и её преподаванием»
Рмо учителей математики «Обобщение и распространение передового педагогического опыта». Перед учителями математики выступила с опытом...
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconПрактическое занятие «Нестандартные методы решения неравенств. Метод замены функций»
Решение некоторых логарифмических неравенств основано на переходе к новому, не зависящему от переменной, основанию
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconПрактическое занятие «Нестандартные методы решения неравенств. Метод замены функций»
Решение некоторых логарифмических неравенств основано на переходе к новому, не зависящему от переменной, основанию
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconПрограмма модуля «Методы доказательства неравенств» в рамках элективного курса «За страницами учебника математики» для учащихся 10-11 классов
Это утверждение весьма неточно по двум причинам. Во-первых, математика, несмотря на свойственный ей научный язык, не является наукой;...
Демоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconУрок математики 6 класс Никитина Татьяна Ивановна, учитель математики Тема урока: «Наименьшее общее кратное» Цель урока: ввести понятие наименьшего общего кратного
Перечислите методы, которыми мы пользовались раньше для нахождения кратного чисел
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов