Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия icon

Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия



НазваниеМеханика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия
страница1/3
Дата конвертации21.05.2012
Размер404.72 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3

МЕХАНИКА ДЛЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ


Часть 2. О принципах кратчайшего времени и наименьшего действия

Юдин С. Ю. ser@t-k.ru


Как и обещал в статье посвященной двум мерам механической формы движения материи, чтобы завершить вопрос о двух мерах, я сейчас рассмотрю какое отношение имеет к этому вопросу такая физическая величина как «действие». Почему же такая величина как «действие» претендует на роль еще одной меры механического движения? А вот здесь получается просто замкнутый круг. Претендует она потому, что среди множества различных вариационных принципов есть и такой как принцип наименьшего действия, а он в свою очередь выделился из общей толпы различных величин оптимизируемых при различных вариационных принципах потому, что есть квант действия да еще и имеющий официальный статус наименьшего действия в Природе. А назвали эту величину (постоянную Планка) квантом действия, т.е. отмеренной порцией механического движения, потому что размерность этой величины совпала с размерностью величины, которую надо минимизировать в принципе наименьшего действия (и там и там джоуль умножить на секунду), а не с какой то другой величиной, например, с величиной наименьшего принуждения, которую надо минимизировать в принципе Гауса, и которая имеет размерность джоуль разделить на секунду в квадрате (впрочем физический смысл и этой величины также не понятен как и первой). Давайте постараемся все же отделить действие от кванта действия и рассмотреть обе эти величины исходя не из их размерности, а из их физического смысла.

И начнем рассмотрение принципа наименьшего действия с того, что само название этого принципа, как наименьшего действия, не удачное на что указывали все, кто занимался его разработкой (Эйлер, Лагранж и другие) так как во-первых величина действия при соблюдении этого принципа может быть не только минимальной, но и максимальной, т.е. имеет место не минимум, а экстремум функции, а во вторых само понятие «действия» не имеет никакого отношения не только к кванту действия, как какой то минимальной величине, но и вообще к «действию» как таковому, т.е. взаимодействию между телами. И с таким же успехом его можно было бы назвать принципом наименьшего зла или наименьших потрясений или наибольшей влюбленности, а уже исходя из того, что конкретный автор хочет получить используя этот принцип, он и наполнял бы содержанием понятие зла, влюбленности или потрясений. И вообще складывается такое впечатление, что каждый автор излагая свой вариант этого принципа как бы предлагает вам сыграть в карты, а после окончания игры, исходя из того что получилось, объявляет вам, что он выиграл потому что мы играли в очко или при другом раскладе все равно говорит, что он выиграл потому что мы играли в дурака.

А такое название этот принцип получил еще в 1744 году, когда даже не существовало таких понятий как энергия, мощность и т.д.
, именно исходя из того, что подразумевалось достижение какой то цели, как, например, при игре в карты, а не исходя из физического смысла. Мопертюи дал ему это название исходя из метафизических представлений о Природе, где все должно происходить из каких то разумных соображений как будто бы Природа в своих действиях преследует какие то цели, которые сама перед собою и ставит, т.е. имеется в виду наличие Бога, который осуществляет в Природе только разумные процессы. А ведь кроме разумности поведения в этом принципе действительное движение в конкретное время приходится рассчитывать с помощью будущего движения, т.е. получается, что настоящее зависит от будущего и, следовательно, без божественного предвидения здесь никак не обойтись. И только позже в этот принцип принесли математическое содержание великие геометры (читай математики) Эйлер и Лагранж, а затем и Гамильтон, но божественное начало так и продолжает витать над этим принципом.

Правда многие ученые отвергают божественное начало в этом принципе, но как то не очень убедительно. Вот, например, Планк [5], который, естественно, после своего кванта действия, просто обязан боготворить этот принцип, уже в ХХ веке пишет о его сущности так «В связи с этим надо вспомнить о Теодице Лейбница, в которой выдвинут тезис о том, что истинным миром среди всех миров, которые могли бы быть сотворены, является тот мир, который наряду с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Этот тезис является не чем иным, как вариационным принципом, выраженным в такой же форме, как возникший позднее принцип наименьшего действия. Неизбежное сцепление добра и зла играет при этом роль предписанных условий, и ясно, что фактически из этого тезиса могли бы быть выведены все особенности действительного мира, если бы удалось математически точно сформулировать, с одной стороны, меру для количества добра, с другой стороны – предписанные условия». Я извиняюсь за такую длинную цитату, но вопрос действительно очень серьезный, т.к. с помощью принцип наименьшего действия и сейчас пытаются получить «все особенности действительного мира». Вначале из механики этот принцип стараниями Гельмгольца перебрался в термодинамику, а сейчас уже и в квантовую механику и в биологию и в экономику.

По молодости и Эйлер, величайший геометр всех времен и народов, который и заложил математические основы в этот принцип (рискну предположить, что и основы Русской математической школы), тоже придавал ему теологическое значение и очень много уделял ему внимания, но со временем его энтузиазм иссяк и он, также как и Лагранж, отвергал претензии этого принципа на всеобщую значимость и на звание основного общего закона природы. Но вот, например, уже в современном цитатнике [3] (считай официальном учебнике СССР, а теперь России) этот принцип именно основным законом Природы и объявляется. Хотя, я думаю, это уже наверное больше относится не к науке, а к политике, ведь, как я уже указывал в предыдущей статье на примере с лагранжианом, главный проповедник этого принципа Ландау из коньюктурных соображений очень быстро меняет свои научные взгляды исходя из “официальной” точки зрения в науке. И хотя формально вроде бы все современные ученые отвергают существование Бога, но используя этот принцип они официально вносят его в науку. Да, история у этого принципа громкая (даже Вольтер руку приложил как писатель) и исторически его идея была первой в ряду многих вариационных принципов, но вот практической пользы от него оказалось еще меньше, чем от уравнений Лагранжа 2-го рода, возможности которых рассмотрены мною в [9]. Например, Пуассон назвал его «лишь бесполезным правилом», а Планк писал, что он «не оказал никакого существенного практического влияния на научный прогресс» [5] (как Вы поняли, это высказывание конечно же относилось к прогрессу до появления его кванта действия).

Но попробуем все же разобраться как в сущности самого принципа наименьшего действия, так и самой оптимизируемой величины, т.е. действия. Впервые похожая на этот принцип идея, использованная в принципе кратчайшего времени движения света, была высказана еще Ферма [8] в 1662 г., а позже в 1682 г. и Лейбницем исходя из коэффициента преломления света (это вообще удивительно, т.к. о природе света тогда было еще более смутное представление, чем о законах механики). Тем ни менее эта идея кратчайшего времени Ферма натолкнула И. Бернули [2] в 1696 г. исходя только из этого голого принципа кратчайшего времени движения на аналогичное решение задачи для движения механических тел в поле тяжести Земли. И что самое удивительно так это то, что у него все очень удачно получилось. К сожалению задача Ферма решена геометрически, а в решении Бернулли хотя уже и используется дифференциальное исчисление, основы которого не за долго до этого заложили Лейбниц и Ньютон, но это решение сейчас тоже трудно воспринимается, т.к. тогда даже координатные оси располагались не так как сейчас. На всякий случай напомню, что все задачи тогда решались геометрически и, например, Ньютон в своих Началах, которые были написаны примерно в это же время, все задачи решал именно так, да и сама алгебраическая запись уравнений (причем самые ее начала) была введена Виетом только за 100 лет до этого. Поэтому решение задачи Бернулли я дам в сокращении и в современных терминах, а современное математическое решение задачи Ферма приведу из работы [1].

На Рис.1 представлена задача о наименьшем времени Ферма, в которой доказывается, что луч света при движении сразу в двух средах с разным сопротивлением движению, которые на рисунке разделены горизонтальной линией (ось x), например, из воздуха в воду пройдет не по прямой ACB, соединяющей две точки A и B, а по линии ADB потому что время движения при этом будет минимальным. При этом отношение синусов углов alfa1 к alfa2 будет равно коэффициенту преломления между этими средами, т.е. отношению скоростей света в этих двух средах, которые можно считать величиной пропорциональной разряженности вещества. В качестве постулата при решении этой задачи Ферма принял, что Природа действует наиболее легкими и доступными путями. И исходя из этого он доказывает, что наиболее легким путем, выйдя из точки A, свет достигнет точки B если будет двигаться по пути ADB, т.к. при этом он затратит на это минимальное время и, следовательно, это и будет истинный путь света.



Рис.1 Задача кратчайшего времени движения луча света.

Рис.2. Задача кратчаишего времени движения тела в поле тяжести Земли.

Если у нас градиент скорости по оси x не будет изменяться, то мы легко найдем закон движения луча, чтобы он за минимальное время достиг точки B. Исходя из геометрических соображений, и зная скорость луча над осью абсцисс V1 и под ней V2, найдем общее время движения луча

t = sqr(Ya^2+Xc^2)/V1 + sqr(Yb^2+(Xb-Xc)^2)/V2

Теперь возьмем производную dt/dx и приравняем ее нулю. У нас получится

sin(alfa1)/V1 = sin(alfa2)/V2

Это не что иное, как закон преломления Снелиуса, только записанный в другой форме и т.к. V1 = c/n1, а V2 = c/n2 , где c - скорость света в вакууме, а n1 и n2 - это абсолютные показатели преломления среды относительно вакуума и мы можем записать

sin(alfa1)/sin(alfa2) = n2/n1 = n21

Здесь уже n21 – это привычное нам значение показателя преломления второй среды относительно первой. Если мы ниже точки B расположим третий слой среды с коэффициентом преломления n3, т.е. скоростью движения света в нем V3, то мы также сможем записать

sin(alfa2)/V2 = sin(alfa3)/V3

Таким образом мы видим, что для минимального времени движения луча света, переходящего последовательно из среды с одним коэффициентом преломления в среду с другим коэффициентом преломления, достаточно, чтобы соблюдался закон преломления Снелиуса, а он, естественно, будет соблюдаться, если не считать случая, когда происходит полное отражение света от одной из сред (при переходе из более плотной среды в менее плотную под большим углом). При этом, как Вы заметили, у нас отношение синуса угла преломления к скорости света в каждой среде всегда остается одно и тоже, т.е. это константа. Вот это соотношение и применил Бернулли для решения своей задачи.

На Рис.2 представлен подлинник его рисунка к этой задаче, где надо найти вид кривой AMK по которой должн двигаться луч света, чтобы за минимальное время пройти от точки A к точке K в слоистой среде. При этом слои среды распологаются параллельно линии AG, т.е. оси абсцисс, и плотность среды убывает сверху вниз вдоль оси ординат AD согласно произвольному закону изменения скорости движения луча с уменьшением высоты (кривая AHE), т.е. увеличением ординаты и при ординате AC скорость равна HC. Выделяя элемент кривой ds (на рисунке отрезок Mm), Бернулли исходя из того, что отношение синуса угла преломления к скорости движения луча должно быть на всем пути постоянно, т.е. равно какой то величине 1/a, записал (dx/ds)/V = 1/a, что можно переписать как a*dx = V*ds

Теперь если мы левую и правую части возведем в квадрат и заменим ds^2 на dx^2 + dy^2, то мы получим общее дифференциальное уравнение

dx = V*dy/sqr(a^2-V^2)

Это и есть уравнение движения луча света, чтобы он за минимальное время при заданном законе изменения скорости или коэффициента преломления в вертикальных слоях при начальной скорости, которая вообще то должна быть отлична от нуля в отличии от закона изменения заданного Бернулли, достиг точки K вылетев из A. А если закон изменения скорости света будет такой, что мы получим циклоиду, то, если еще и в точке K луч света отразиться, то он сможет пройти и вторую половину дуги циклоиды, но об этом позже, а сейчас давайте проведем аналогию с движением материальной точки в такой же среде. При этом точка может скользить по направляющей произвольной формы без трения и механического сопротивления среды (в смысле отсутствия сопротивления воздуха), а с увеличением ординаты (в координатах рисунка) скорость падающих тел будет увеличиваеться и мы это можем интерпретировать как уменьшение плотности в слоях нашей гипотетической среды. Взяв, полученный Галилеем закон изменения скорости падающих тел в поле тяжести Земли, Бернулли подставил в свою формулу полученное из закона Галилея значение скорости V = sqr (a*Y) и окончательно получил уравнение циклоиды.

dx = dy * sqr ( y / ( a – y ))

Т.е. получается, что у нас механическая задача решена с помощью законов оптики и, следовательно, законы механики и оптики в своей основе похожи и имеют какие то общие закономерности. А решение этой задачи после задачи Ферма с использованием критерия оптимизации укрепило веру многих ученых того времени в то, что все законы Природы действуют так, чтобы все процессы происходили с достижением какой то цели. И если Вы еще не представили себе значение этих двух задач для ученых того времени, то сравните, что в наше время это примерно равноценно открытию ядерных реакций или гена человека. Ведь ученые того времени видели в этих решениях филосовский камень для открытия всех законов Природы, которые обязательно должны были действовать так, чтобы достичь какой то цели и надо было только найти критерии по которым Природа определяет достижение своей цели, т.е. как писал Планк в приведенной выше цитате «надо математически точно сформулировать меру для количества добра».

Надо сказать, что в то время, когда математика становилась на ноги, вариационные принципы в механике развивались очень бурно и поэтому не изобрести чего ни будь новенького в математическом плане тогда не мог только ленивый. Правда все эти вариационные принципы являются ближайшими родственниками основного уравнения динамики, т.е. дифференциального вариационного принципа Даламбера-Лагранжа и получены в основном для консервативных систем когда полная энергия в начальной и конечной точках движения системы равны, т.е. в них обязательно как мера механической формы движения материи используется энергия и при этом обязательно должен соблюдаться закон ее сохранения. Но теперь на вариационные интегральные принципы стали возлагать очень большие надежды и видели в них не просто очередной закон Природы, а закон над законами, т.е. инструмент который позволит получить все остальные законы. Но с применением принципа наименьшего действия возникла одна очень большая проблема, а именно трудность в «математической формулировке меры для количества добра». Наиболее известны формулировки Мопертюи-Лагранжа и Гамильтона-Якоби. В первом случае критерий оптимизации вычисляется как интеграл по пути от произведения массы на скорость, т.е. количества движения, а во втором как интеграл по времени от Лагранжиана, т.е. разности кинетической и потенциальной энергий системы. Как в одном, так и в другом случае размерность критерия получается джоуль умножить на секунду, но физический смысл как мы видим здесь совершенно разный. И вот как раз физический смысл всех этих изобретаемых критериев оптимизации никак ни кому и не удавалось понять.

Для Лагранжа, например, физический смысл принципа наименьшего действия заключался именно в конкретизации закона живых сил (читай закона сохранения энергии) и он даже писал: «его можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы» [6], а Лаплас о механическом содержании этого принципа говорил так: «интеграл живой силы системы, умноженный на элемент времени, есть минимум, так что, следовательно, истинная экономия природы есть экономия живой силы» [6]. Но, как мне кажется, ближе всех к сущности этого принципа подошел Эддингтон, который очень остроумно заметил, что принцип наименьшего действия можно сравнить с утверждением «если бы законы арифметики перестали быть верными, то 2+2 было бы больше или равно (но наверное не меньше) четырем» [6]. Забегая вперед, скажу, что, как будет показано далее, возможны случаи, когда будет и меньше четырех. Иначе говоря если бы законы механики перестали быть верными, то в каком то приближении для некоторых случаев можно было бы воспользоваться принципом наименьшего действия.

Но прежде чем перейти к экспериментальной проверке принципа наименьшего действия на предмет «математической формулировки меры для количества добра», давайте более подробно посмотрим насколько с физической точки зрения верны полученные нами решения задач Ферма и Бернулли. И для начала просто посмотрим как будет двигаться луч света в слоистой среде, для которой мы и решали наши задачи. На рис.3 и 4 у нас изображено графическое окно программы Hrono1, которую можно скачать с моей домашней страницы http://ser.t-k.ru/, где мы видим 20 горизонтальных прозрачных слоев расположенных через 1 метр с разными коэффициентами преломления, численные значения которых в виде гистограммы даны слева. Смоделированный луч света при проведении вычислительного эксперимента вылетает из левого верхнего угла и движется по 20-у (верхнему слою) до точки в начале 19-го слоя, абсциссу которой мы задаем, а далее уже в соответствии с законом преломления света. На рис. 3 у нас плотность среды увеличивается, а на рис.4 уменьшается от верхних слоев к нижним по квадратичной зависимости. Аналогичная картина будет наблюдаться и при линейной зависимости на рис.5 и 6.



Рис.3 Движение луча света, когда коэффициент преломления изменяется по слоям по квадратичной зависимости и увеличивается сверху вниз.

Рис.4 Движение луча света, когда коэффициент преломления изменяется по слоям по квадратичной зависимости и увеличивается снизу вверх.

Честно говоря, мне эти кривые мало напоминают циклоиды, но первые две кривые на рис.3 очень похожи на циклоиды (начальный участок остальных сильно искажен из за большой толщины первого слоя). И если принять, что это циклоиды, то, при радиусе образующего круга 3…4 метра, получается что циклоида должна достичь точки K на рис. 2 на 9…12 слое, т.е. через расстояние AG = pi*R, а далее луч света должен начать отклоняться влево, но в эксперименте мы этого не наблюдаем. Более того, чтобы луч света стал двигаться строго вертикально, необходимо чтобы скорость света была близка к нулю, т.к. только тогда у нас будет соблюдаться соотношение sin (alfa1) / V1 = sin (alfa2) / V2 и, следовательно, в это соотношение надо внести какие то поправки. Но самое интересное это то, что, как видно из рис. 5, оказывается, луч света в одну и ту же точку пространства (там, где пересекутся лучи, вылетевшие из одной точки) может прийти разными путями, если он движется из более плотных слоев в менее плотные, т.к. в какой то момент он вынужден будет отразиться от одного из слоев и изменить градиент своей скорости, т.е. направление движения поперек слоев (вдоль слоев градиент измениться не может). А отражение это произойдет в тот момент, когда при большом угле падения получится, что синус угла преломления окажется больше единицы. Естественно этого не может быть и свет просто полностью отразиться от этого слоя, как от зеркала, изменив градиент своей скорости. Таким образом, возможно, что свет не всегда затрачивает минимум времени, чтобы из одной точки пространства попасть в другую и значит принцип кратчайшего времени Ферма будет справедлив не всегда, а только тогда когда мы рассматриваем небольшие участки движения, где градиент скорости не меняет своего направления.

Примем для простоты расчетов, что скорость света в вакууме будет 1 м/с, а, т.к. она обратнопропорциональна коэффициенту преломления слоя, то, например, в слое, где коэффициент преломления будет равен 2, скорость света будет 0,5 м/с. В этом случае, время движения по дальнему пути (синяя линия в средней части рис.5) до точки пересечения с соседним красным лучом будет 72,67 сек., что больше чем по более короткому пути (красный луч) 71,9 сек., что вполне естественно и не вызывает вопросов. Но если мы рассмотрим аналогичный случай, показанный на рис.6, то выяснится, что время движения луча по дальнему пути (синяя линия в верхней части рисунка) будет 29,82 сек., что меньше, чем время движения по ближнему пути (красная линия) 30,41 сек., т.е. мы получили результат противоположный предыдущему опыту. А если мы посмотрим еще и на две нижние траектории движения света, то поймем, что его траектория движения при различных условиях может быть очень сложной. Таким образом, свет не только может разными путями попасть из одной точки пространства в другую, но даже нельзя сказать при движении по какому из множества возможных путей более короткому или более длинному он достигнет этой точки за минимальное время и, следовательно, принцип кратчайшего времени является только частным случаем общего закона движения света, который имеет место на ограниченном пространстве в том случае если свет не изменяет градиента своей скорости.



Рис.5 Движение луча света, когда коэффициент преломления изменяется по слоям по линейной зависимости и увеличивается снизу вверх.

Рис.6 Движение луча света, когда коэффициент преломления изменяется по слоям по произвольной зависимости.

Может быть это относится и к механическому движению и весь принцип наименьшего действия с его критериями оптимизации не имеет никакого отношения к науке, а является чистой метафизикой. Воспользуемся опять программой Hrono1 и смоделируем движение груза массой 1 кг в поле тяжести Земли по различным траекториям (1-прямая линия, 2-циклоида, 3-парабола и 4-дуга окружности) и при этом трением скольжения груза по этим направляющим пренебрегаем (более подробно о том как это происходит можно прочитать в описании программы). Причем траектории движения могут быть, как начинающиеся с нулевой точки, когда в начальный момент они параллельны оси ординат (будем их называть нулевые), так и начинающиеся с произвольного момента, когда движение начинается не строго вертикально (будем их называть произвольными). На рис. 7 показаны возможные траектории движения груза из начальной точки с координатами
  1   2   3




Похожие:

Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconМеханика для квантовой механики часть Две меры механической формы движения материи
Моделирование систем и оптимизация их параметров” вследствие чего нумерация формул и рисунков дана в нумерации принятой в книге....
Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconМеханика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия
Планка, которая претендует, как квант действия, на роль меры механического движения в микромире
Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconДокументы
1. /механика/Введение.doc
2. /механика/Волновой...

Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconМ. Б. Менский Представлен обзор некоторых концептуальных проблем квантовой механики, их современного статуса и вытекающего из них развития теории. Анализируются специфика запутанных (entangled) состояний квантовой
Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов
Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconКвантовой механики
Макса Планка (1858 1947), называют и точную дату рождения квантовой механики 14 декабря 1900 г., когда Планк на заседании Немецкого...
Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconI. кинематика предмет классиЧеской механики
Механика система законов движения наблюдаемых тел, выраженных зависимостью от времени всех измеряемых физических величин Fk(t)
Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconI. кинематика предмет классиЧеской механики
Механика система законов движения наблюдаемых тел, выраженных зависимостью от времени всех измеряемых физических величин Fk(t)
Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconЭкспериментальная проверка закона сохранения импульса
В настоящее время самый «старый» и хорошо исследованный раздел физики – механика вновь привлекает внимание многих исследователей...
Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconДокументы
1. /Info.txt
2. /Хаос, необратимость времени...

Механика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия iconПрикладная физика, 2003, №3, с. 5-9
В рамках известной гидродинамической формулировки квантовой механики выведены уравнения эволюции плотности вероятности для частицы...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов