Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия icon

Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия



НазваниеМеханика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия
страница1/5
Дата конвертации21.05.2012
Размер0.56 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5

МЕХАНИКА ДЛЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ


Часть 3. О формуле Планка и кванте действия

Первая редакция – 15.12.2005 г.

Юдин С. Ю. ser@t-k.ru


Как и обещал в предыдущих двух частях, чтобы завершить вопрос о двух мерах механической формы движения материи, я сейчас рассмотрю какое отношение к этому может иметь квант действия предложенный Планком, т.к., как было показано в предыдущих частях, ни само действие, ни количество движения никакого отношения к мере механического движения не имеют и являются искусственными величинами, которые правда можно использовать в математических формулах для гимнастики ума. А выплыла эта величина (квант действия), которая по сути сегодня является мерой движения в микромире применяемой в квантовой механике, из так называемой формулы Планка (1), которая как говорят удовлетворительно описывает распределение энергии испускаемой нагретым телом в зависимости от частоты излучения при постоянном притоке к телу того же количества энергии, т.е. для так называемого абсолютно черного тела. Например, на рис.1. даны два распределения энергетической светимости Солнца по спектру излучения (по длине волны излучения) взятые из разных источников и я считаю они оба не совсем удовлетворительно описываются формулой Планка, хотя Солнце по своим характеристикам близко к абсолютно черному телу. А на рис. 2 представлены экспериментальные данные по излучению абсолютно черного тела при разных температурах, которые говорят о совсем неудовлетворительном их описании формулой Планка и по этому мне за неимением других данных трудно сказать насколько все-таки удачно распределение Планка аппроксимирует экспериментальные данные, но как пишут в учебниках, научное значение формулы Планка просто огромно. И вот о научном значении этого распределения мы и поговорим, т.к. нас интересует не то насколько удачно эта формула аппроксимирует экспериментальные данные, а то каков ее физический смысл и конкретно физический смысл постоянной Планка, которая претендует, как квант действия, на роль меры механического движения в микромире.




Рис.1. Зависимость энергетической светимости поверхности Солнца в функции длины волны излучения (экспериментальные данные и теоретические кривые по формуле Планка).




Рис.2. Зависимость энергетической светимости абсолютно черного тела в функции длины волны излучения (черные линии - экспериментальные данные C.Ленгли, Э.Прингсхейма, О.Люммера, Ф.Курлбаума и др. взятые из работы [1], синие линии – теоретические кривые, которые посчитаны по формуле Планка с помощью программы Plank5 а затем наложены на это рисунок с помощью программы Risunok5).

После того как Кирхгоф в 1859 году установил, что абсолютно черное тело, т.е.
тело находящееся в термодинамическом равновесии с окружающей средой, испускает и поглощает тепловое излучение во всем диапазоне частот и это не зависит от природы вещества из которого оно сделано, и возникла проблема получить формулу которая бы описывала распределение энергии (мощности) излучения или как еще говорят спектральной плотности энергии излучения абсолютно черного тела по частоте или длине волны излучения. В 1879 году Стефан получил экспериментально, а Больцман в 1884 году теоретически, зависимость отражающую интегральную испускательную способность абсолютно черного тела в функции от его температуры (2). Вин в 1893 году, исходя из феноменологических представлений термодинамики, не только смог найти закон смещения (4’) для определения частоты (длины волны) на которую приходится максимум энергетической светимости тела, т.е. максимальной мощности излучения, но и получил в общем виде формулу для распределения этой энергии излучения в функции от частоты излучения и температуры (3). Однако вид функции f(v/T) он определить не смог. Релей (1900 год) а затем и Джинс для получения такой зависимости использовали теорию электромагнитного излучения и в результате аналитическим путем была получена зависимость (4), которая удовлетворительно описывала распределение энергии излучения, но только в области малых частот.


r(v,T)=(2*pi*v^2/c^2)* h*v / (exp(h*v/(k*T))-1) (1)

u(v,T)=(8*pi*v^3/c^3) / (exp(h*v/(k*T))-1) (1’)

R=sigma*T^4 (2)

r(v,T)=k1*v^3* f(v/T) (3)

r(v,T)=(2*pi*v^2/c^2)* k*T (4)

v=5,88*10^7*T (4’)


где : R – интегральная излучательная способность тела по всему диапазону частот в ватах на

квадратный метр поверхности излучения Вт/м2

r(v,T) – спектральная плотность энергии излучения в узком интервале частот в ватах на

квадратный метр поверхности излучения и на интервал частот (Вт/м2)/Гц

u(v,T) – объемная спектральная плотность энергии излучения в узком интервале частот в ватах

на кубический метр объема внутри абсолютно черного тела и на интервал частот (Вт/м3)/Гц

k1, sigma – коэффициенты пропорциональности

v – частота излучения в герцах

T – температура тела в градусах Кельвина

c – скорость света

k – постоянная Больцмана (теплоемкость одной молекулы газа)

Планк тоже несколько лет с 1894 года по 1900 пытался получить зависимость спектральной плотности излучения от частоты излучения и температуры тела, с использованием законов термодинамики и электродинамики. А после того как он окончательно отчаялся получить такую зависимость аналитически, решил получить хотя бы удачную аппроксимацию экспериментальных данных, предположительно взяв за основу формулы Вина и Релея и проверяя результат законом Стефана-Больцмана. Мы теперь уже никогда не узнаем точно каким образом Планк получил свою формулу статистического распределения и как он потом подводил под нее научную базу, т.к. он никому никогда и ничего не говорил как он это делал и поэтому нам придется немного пофантазировать как это могло быть, опираясь на обрывочные данные об этом. Естественно, Планк не мог обратить внимания, что экспериментально полученные графики распределения энергии излучения по частотам напоминают статистические распределения подобные нормальному, но смещенные, например, подобно распределениям Вейбула или хи-квадрат изображенным на рис.3. Эти распределения, как и многие другие статистические распределения, содержат выражение подобное (5) и изменением параметров этого выражения можно не только смещать максимум функции вероятности влево или вправо при одинаковом ее максимальном значение, но и при этом изменять максимальное значение вероятности.



Рис.3 Функции плотности вероятности Вейбула (слева) и хи-квадрат (справа), которые я построил программой Maple5 с помощью команд пакета статистики

plot([stats[statevalf,pdf,weibull[5.9,7]](x),stats[statevalf,pdf,weibull[4.2,5]](x),stats[statevalf,pdf,weibull[2,2.7]](x)],x=0..10);

plot([stats[statevalf,pdf,chisquare[6]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[8]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[12]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[20]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[5]](x)],x=0..30);




Рис.4 Вероятность выпадения суммы чисел на двух игральных кубиках (слева) и произведение этой вероятности на сумму (справа).

В принципе ничего особенного в таких распределениях нет и любое нормальное распределение принимает вид этих распределений если мы вероятность события умножим или разделим на параметр. Например, вероятность выпадения определенной суммы на гранях двух игральных кубиков имеет нормальное распределение, но если мы построим график вероятности умноженной на сумму, то сразу получим распределение подобное приведенным выше (см. рис.4), а если построим график вероятности деленной на сумму, то получим тоже самое только максимум сместится влево. И т.к. в формуле нормального распределения имеется экспоненциальная зависимость, то, умножив эту вероятность на параметр, мы и получим одно из смещенных распределений, которые все в той или иной мере используют выражение (5). Таким образом, если вероятность количества излучателей определенной частоты для абсолютно черного тела будет иметь даже строго нормальное распределение, то произведение этой вероятности на энергию излучаемую на этой частоте, если она зависит от частоты, будет иметь уже смещенное распределение. А как видно из формулы Вина мощность излучения энергии на определенной частоте очень даже зависит от этой частоты и, следовательно, статистическое распределение спектральной плотности мощности излучения по частоте излучения должно быть подобно приведенным на рис.3 и описываться выражением подобным (5).


r(v,T)=k1*v^k2* exp(-k3*v/T) (5)


где : k1, k2, k3– коэффициенты пропорциональности


Таким образом, Планк вполне мог взять за основу своего распределения это выражение и ему оставалось только попытаться подобрать коэффициенты для этой формулы, а т.к. точность экспериментальных данных, как мы видим на рис.2, была тогда не на высоте, то Планк мог не очень беспокоится о точном совпадении кривых и ему было достаточно только добиться того, чтобы площадь под этими кривыми совпадала со значением энергии (мощности) посчитанной по формуле Стефана-Больцмана (2), которая давала довольно таки точный для того времени результат. Планк, естественно, мог при этом сравнить формулы (3) и (5), и без труда заметить, что коэффициент k2 должен быть равен 3 и ему оставалось в таком случае только подобрать коэффициенты k1 и k3, если последний член в формуле (5) это и есть функция, которую не смог найти Вин. Давайте выполним эту работу за Планка и определим коэффициенты k1 и k3 при различных температурах, а результаты представим в таблице 1. К сожалению стандартные математические пакеты нам тут не помогут, т.к. регрессионный анализ они хорошо делают для линейных и квадратичных зависимостей с одним параметром, а у нас сложная логорифмическистепенная зависимость и с двумя параметрами (частота и температура). А учитывая то что нам придется еще и вычислять подынтегральное выражение, то для определения этих коэффициентов надо писать специальную программу, чтобы не строить на миллиметровке графики распределений и не определять вручную или с помощью планиметра площади под этими кривыми, как это мог делать Планк. Эту программу Plank5, где я, используя методы многофакторного планирования, нахожу оптимальные значения коэффициентов k1 и k3 по полученному уравнению регрессии критерия оптимизации, имеющему вид квадратичной аппроксимации, можно скачать с моей домашней страницы http://ser.t-k.ru .

Однако, кроме применявшегося мною всегда до этого для этих целей почти D -оптимального плана Бокса, мне пришлось для этой программы написать еще расчет коэффициентов регрессии и по ортогональному и по рототабельному и по униформротатабельному планам, т.к. мне по этому плану очень долго не удавалось получить оптимальные значения коэффициентов k1 и k3 для этой формулы по разнице энергии посчитанной по формуле (2) и посчитанной численными методами как площадь под кривой по 5000 точкам. Но после того как я в качестве критерия оптимизации принял не абсолютное значение этой разницы мощностей, а относительное (в процентах от посчитанной по формуле (2)) при некоторой тренировке процесс наладился, но найти глобальный оптимум ни по одному из планов никак не получалось. Только позже я понял почему, а дело оказалось в том, что таких пар с различными значениями коэффициентов k1 и k3 может быть бесчисленное множество и во всех вариантах площадь под кривой будет идеально сходиться с результатом посчитанным по формуле (2). Полученные мною значения коэффициентов k1 и k3 представлены в таблице 1, где кроме этих коэффициентов даны и значения интегральной мощности излучения посчитанной, как по формуле (2), так и численными методами, как площадь под кривыми (1) или (5), т.е. коэффициенты посчитаны для двух вариантов, как без минус единички в знаменателе формулы (5), так и с минус единичкой. Если кто-то надумает получить другие значения коэффициентов, то могу посоветовать после того как вы зададите произвольные значения коэффициентов k1, k3 и k4 на нулевом уровне, задать коэффициент k2 сразу равным 3, а затем подобрать грубо по углу наклона графика аппроксимации коэффициенты так, чтобы процент ошибки был не очень большим и задать интервал варьирования этих коэффициентов так, чтобы на нулевых уровнях (начиная с 17 эксперимента по 24) значения процента ошибки были примерно одинаковые (кроме k4 - он будет значительно меньше). Я, например, применяя ортогональный план, варьировал эти коэффициенты в следующих интервалах +/-10%k10, +/-0,1%k20, +/-2%k30 и +/-40%k40. После этого по графику влияния каждого коэффициента на процент ошибки увеличиваете или уменьшаете их значения до тех пор пока ошибка не станет минимальной, а графики не примут вид параболы, вершина которой будет расположена на оси ординат.


Таблица 1

Формула для расчета

Мощность излучения кВт/м2 при температуре в градусах по Кельвину

500

1000

2000

3000

4000

5000

6000

2 где sigma=5,67*10^-8 Дж/К^4

3,5438

56,700

907,20

4592,7

14515

35437

73483

1 (или 5 с –1) при k1=4,626*10^-50 и k3=4,8*10^-11

3,5409

56,654

906,46

4589,0

14503

35408

73417

1 (или 5 с-1) при k1=3,579*10^-50 и k3=4,5*10^-11

3,5439

56,702

907,24

4592,9

14516

35438

73471

1 (или 5 с-1) при k1=3,0116*10^-50 и k3=4,31*10^-11

3,5437

56,699

907,19

4592,6

14515

35436

73458

5 при k1=5,0144*10^-50 и k3=4,8*10^-11

3,5438

56,700

907,20

4592,7

14515

35437

73477

5 при k1=3,8735*10^-50 и k3=4,5*10^-11

3,5438

56,700

907,20

4592,7

14515

35437

73468

5 при k1=3,2596*10^-50 и k3=4,31*10^-11

3,5438

56,700

907,21

4592,7

14515

35437

73458


Как видим совпадение интегрального значения энергии подсчитанной по формуле (5) со значением посчитанным по формуле Стефана-Больцмана даже лучше чем у Планка (первая строка коэффициентов), как с минус единичкой в знаменателе так и без. И самое главное из этого статистического распределения можно получить любое значение постоянной Планка h подбором соответствующего значения постоянной Больцмана k и при этом не только мощность излучения совпадет с посчитанной по формуле (2), но и графики будут похожими (см. рис.5, где дан фрагмент программы Plank5). Из данных представленных на рис.2, которыми мог располагать Планк, мы видим, что получить коэффициенты h и k для его формулы да еще и с той точностью, что приводит Планк аппроксимируя сами кривые совершенно не возможно. Следовательно, если Планк получил свою формулу идя именно этим путем, то он также как и мы мог использовать только закон Стефана-Больцмана. И полученная им формула в точности совпадает с формулой (5). Только записана она у него в функции длины волны излучения, а не частоты колебаний и коэффициенты k1 и k3 у него обозначены c1 и c2, а в знаменателе еще записана минус единичка, которая, как видно из таблицы 1 не имеет принципиального значения. Таким образом, остается один вопрос – почему из множества возможных значений h и k Планк выбрал именно те, что используются сейчас, т.е. взял одну из возможных комбинаций коэффициентов k1 и k3 для формулы (5) с минус единицей, а конкретно h =6,63*10^-34 и k =1,38*10^-23, что соответствует коэффициентам k1 =4,628*10^-50 и k3 =4,8*10^-11, но его мы рассмотрим позже.



Рис.5. Графики спектральной плотности излучения при T=5700K посчитанные по формуле (5) по данным табл.1 (зеленые кривые - в знаменателе присутствует минус единица).

Эту формулу (5), только с минус единичкой в знаменателе, Планк предложил в заранее подготовленном дискуссионном замечании на трех страничках, узнав о результатах опыта Рубенса и Курлбаума за несколько дней до заседания, намеченного на 19 октября 1900 года, где Курлбаум сообщил об этих опытах, и замечания Планка были опубликованы в "Сообщениях Немецкого физического общества" [2]. Но как вы сами понимаете просто аппроксимация экспериментальных данных не несет никакой научной ценности, т.к. отражает форму, а не содержание и если мы, например, применим простейшую нейросеть для такой аппроксимации, то также сможем добиться адекватности результатов экспериментальным данным, но логика математической целесообразности нейросети ничего нам не даст для понимания сути явления. А в распределении полученном Планком на первый взгляд как будто бы есть какой-то логический смысл. Правда быстрее всего его не больше чем в распределениях полученных с помощью кубиков на рис.4, но Планк решил во что бы то ни стало найти в его формуле какой то более глубокий смысл и подвести под нее теоретическую базу. Сам он по этому поводу писал: "Но даже если бы эта формула излучения оказалась абсолютно точной, то она имела бы очень ограниченное значение - только как счастливо отгаданная интерполяционная формула. Поэтому я со дня ее нахождения был занят задачей установления ее истинного физического смысла, и этот вопрос привел меня к рассмотрению связи между энтропией и вероятностью, т.е. к больцмановскому образу мыслей".

Т.к. число излучателей для конкретной частоты уже было получено Релеем, то Планку для того, чтобы подвести теоретическую базу под это распределение, оставалось только подобрать какую нибудь формулу для мощности одного излучателя на этой частоте таким образом, чтобы их произведение давало его формулу. Причем, как писал сам Планк в письме Р.Вуду в 1931 году его совершенно не интересовало (как и всех двоечников) каким образом решение будет подогнано под ответ в конце задачника. Вот цитата: "Коротко и сжато я могу все дело назвать актом отчаяния. ... я знал, что эта проблема имеет фундаментальное значение для физики и я знал формулу, которая воспроизводит распределение энергии в нормальном спектре; теоретическое объяснение должно было быть по этому найдено любой ценой, и никакая цена не была бы слишком высока. … Больцман объяснил существование термодинамического равновесия через статистическое равновесие; если эти его соображения применить к равновесию между материей и излучением, то, оказывается, что преобразование в излучение может быть предотвращено, что энергия с самого начала вынуждена пребывать в определенных количествах. Это было чисто формальное предположение, и я первоначально не думал много об этом, памятуя только лишь о том, что при всех обстоятельствах любой ценой должен добиться положительного результата".

Т.е. ни о каких квантах энергии, как о рабочей гипотезе он тогда и не думал, а говоря, что «энергия с самого начала вынуждена пребывать в определенных количествах», он имел в виду равенство всей энергии излучения и энергии в материи и быстрее всего его тогда интересовали только математические преобразования в статистических распределениях с вероятностями событий, которые в свою очередь подразумевают работу с дискретными величинами, хотя во всех своих работах он пытается показать, что его интересовала только энтропия, а уже она в свою очередь связана со статистикой. Более того, как пишет [6] первоначально у Планка коэффициент
  1   2   3   4   5




Похожие:

Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconМеханика для квантовой механики часть Две меры механической формы движения материи
Моделирование систем и оптимизация их параметров” вследствие чего нумерация формул и рисунков дана в нумерации принятой в книге....
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconМеханика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия
Гауса, и которая имеет размерность джоуль разделить на секунду в квадрате (впрочем физический смысл и этой величины также не понятен...
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconКвантовой механики
Макса Планка (1858 1947), называют и точную дату рождения квантовой механики 14 декабря 1900 г., когда Планк на заседании Немецкого...
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconДокументы
1. /механика/Введение.doc
2. /механика/Волновой...

Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconМ. Б. Менский Представлен обзор некоторых концептуальных проблем квантовой механики, их современного статуса и вытекающего из них развития теории. Анализируются специфика запутанных (entangled) состояний квантовой
Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconЭкспериментальная проверка закона сохранения импульса
В настоящее время самый «старый» и хорошо исследованный раздел физики – механика вновь привлекает внимание многих исследователей...
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconПрикладная физика, 2003, №3, с. 5-9
В рамках известной гидродинамической формулировки квантовой механики выведены уравнения эволюции плотности вероятности для частицы...
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconА. Е. Стадницкий "теория всего. Основы квантовой механики элементарных частиц, гравитации и антигравитации" Закон
Из книги Е. С. Стадницкий, С. Е. Стадницкий, А. Е. Стадницкий “теория всего. Основы квантовой механики элементарных частиц, гравитации...
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconСкрытые параметры и пределы применимости квантовой механики
Также была показана возможность применения математического аппарата теории для описания движения макротел в гравитационном поле....
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия iconС уважением
Имею квалификацию инженер-механика по специальности Приборы точной механики, с отличием окончил Ереванский политехнический институт...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов