Тема : Кодирование чисел. Системы счисления icon

Тема : Кодирование чисел. Системы счисления



НазваниеТема : Кодирование чисел. Системы счисления
страница1/2
Дата конвертации29.07.2012
Размер219.91 Kb.
ТипДокументы
  1   2

© К. Поляков, 2009-2012

B8 (повышенный уровень, время – 2 мин)


Тема: Кодирование чисел. Системы счисления.

Что нужно знать:

  • принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления

  • чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду:

4 3 2 1 0 ← разряды

1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0

  • последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на

  • две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.
^

Пример задания:


Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение:

  1. поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом имеем



  1. следовательно, основание N – это делитель числа 66

  2. с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть

  3. выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел:



  1. видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие

  2. таким образом, верный ответ – 3.


  3. можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 6710 = 21113
^

Еще пример задания:


Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение:

  1. поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем



  1. следовательно, основание N – это делитель числа

  2. с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть

  3. неравенство дает (так как )

  4. неравенство дает (так как )

  5. таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа

    • 9, при получаем запись числа

    • 14, при получаем запись числа

    • 18, при получаем запись числа

  6. наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)

  7. таким образом, верный ответ – 18.
^

Еще пример задания:


Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход:

  • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.

  • в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 114 = 5

  • потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

  1. общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:



где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

  1. среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )

  2. таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Возможные ловушки и проблемы:

    • выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие

    • остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему

    • найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

  1. переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения

  2. из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
    это 114 = 5 и 1114 = 21

  3. таким образом, верный ответ – 5, 21 .




Возможные ловушки и проблемы:

    • есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25)

    • можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести
^

Еще пример задания:


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

  • здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

  • поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть

  • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на

Решение:

  1. итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

(*)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

  1. сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

  2. из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2

  3. в этой задаче есть только три таких делителя: и

  4. таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .

Возможные ловушки и проблемы:

    • нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель не подходит (должно быть )

    • числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию
^

Еще пример задания:


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

  • неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

  • пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1

  • можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0

= k·N2 + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение:

  1. итак, нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

  1. сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

  2. из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число

  3. выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  4. из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

  5. таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.
^

Еще пример задания:


Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

  1. запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 205, 17 = 325 .

  1. заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

  2. между 205 и 325 есть еще числа

215, 225, 235, 245, 305, 315.

  1. в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

  2. таким образом, верный ответ – 7.

Возможные ловушки и проблемы:

    • нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305

    • помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек

    • можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2):

  1. переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 .

  1. считаем цифры 2 – получается 7 штук

  2. таким образом, верный ответ – 7 .
^

Еще пример задания:


Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение:

  1. обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид



  1. вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:



  1. поскольку запись трехзначная, , поэтому

  2. с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

  3. объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству



  1. учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:





  1. минимальное из этих значений – 4

  2. таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (без подбора):

  1. выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения

  2. найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как



  1. проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

  2. таким образом, верный ответ – 4 .
^

Еще пример задания:


Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение (вариант 1):

  1. нас интересуют числа от 1 до 30

  2. сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5

  3. поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр

  4. рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:



все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

  1. таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа

  2. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

  3. общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:



где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

  1. используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19

  2. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ):

  1. нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел

  2. поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)

  3. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

  4. выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19

  5. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .
^

Еще пример задания:


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение (1 способ):

  1. Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то

    1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

    2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

  2. определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

  3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

  1. остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

  1. получаем

    1. при :

    2. при : решения – не целые числа

    3. при : и , второе решение не подходит

  2. таким образом, верный ответ: 4, 68.

^ Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

  1. запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целогоимеем



  1. таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

  2. среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:



так что первый ответ: 68.

  1. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков (,…), т.е. все они больше

  2. поэтому , следовательно,

  3. по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием  3 цифры 3 нет)

  4. итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)

  5. таким образом, верный ответ: 4, 68.

Возможные ловушки и проблемы:

    • на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3)

    • можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание

    • нужно помнить, что

  1. максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления

  2. 100 в системе с основанием p равно p2
^

Еще пример задания:


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.

Решение (1 способ):

  1. Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то

    1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

    2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

  2. определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

  3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

  1. остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

  1. получаем

    1. при :

    2. при : решения – не целые числа

    3. при : и , второе решение не подходит

    4. при : решения – не целые числа

  2. таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

  1. запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целогоимеем



  1. таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

  2. среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:



так что первый ответ: 42.

  1. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков (,…), т.е. все они больше

  2. поэтому , следовательно,

  3. по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому

  4. итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится)

  5. переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):

    8

    6




    3










    ^ Дальше делить
    нет смысла


    8

    6




    4



















    8

    6




    6













    8

    6




    7













    8

    4




    2

    8




    3

    8

    4




    2

    1







    4







    8

    4




    1

    4




    6




    8

    4




    1

    2




    7







    2




    2

    7




    9…




    2




    2

    0






    5…










    2




    1

    2




    2







    2







    7




    1
















    1



















    1




























    2






















    5










  6. таким образом, верный ответ: 6, 42.
^

Еще пример задания:


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение:

  1. Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

  2. Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.

  3. Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где . При минимальном основании () оно равно, поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.

  4. На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где – целое неотрицательное число, такое что .

  5. Максимальное можно определить как решение уравнения (при ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому

  6. Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить

  7. Минимальное будет при : , а при получается

  8. Таким образом, верный ответ: 6.
^

Еще пример задания:


Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +...+17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение:

  1. Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:

178 + 1708 = 2078

178 + 1708 + 17008 = 21078

178 + 1708 + 17008 + 170008 = 211078

178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 = 2111078

178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 + 17000008 = 21111078

  1. Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):

100010010010010001112

  1. Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры

100010010010010001112

8 9 2 4 7

  1. Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2.
^

Еще пример задания:


Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

  1. Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с .

  2. Очевидно, что , однако это не очень нам поможет.

  3. Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные .

  4. Для и нужных решений нет, а для получаем



так что.

  1. Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8.
^

Еще пример задания:


Запись числа 3010 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

^ Решение (1 способ, подбор):

  1. запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10

  2. это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9

  3. переводим:

30 = 111102 = 10103 = …

  1. дальше можно не переводить, поскольку запись 10103 удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры

  2. можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию

  3. Ответ: 3.

Решение (2 способ, неравенства):

  1. запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть



  1. первая часть двойного неравенства дает (в целых числах)

  2. вторая часть неравенства дает (в целых числах)

  3. объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3

  4. заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр

  5. Ответ: 3.
  1   2




Похожие:

Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconТема : Кодирование чисел. Системы счисления
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления...
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconУрок 2 "Перевод чисел в различных системах счисления." Тип урока: урок изучения и закрепления новых знаний. Цели урока. Образовательная
Научить выполнять перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и из восьмеричной системы счисления...
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconКакое из чисел 110011
Домашнее задание по теме «Перевод чисел и р-ичной системы в 10 систему счисления»
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconПроверочная работа по теме «Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную»
Перевести числа в двоичную систему счисления любым удобным способом. В каждом случае записать решение и ответ
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconПеревод чисел в различные системы счисления Работа ученика 10 класса

Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconВопросы к зачету
Представление чисел. Системы счисления (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.)
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconСистемы счисления
Все есть число, — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество...
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconВариант 1 а) 618(10); б) 556(10); в) 129(10)
Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconВариант 1 а) 618(10); б) 129,25(10); а) 1111011011(2); б) 10110,011(2); в) 675,2(8); г) 94,4(16)
Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления
Тема : Кодирование чисел. Системы счисления iconТема Системы счисления, Четность 8 часов

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов