Тема : Анализ программы с подпрограммами

B14 (повышенный уровень, время – 6 мин)

• 
  функция – это вспомогательный алгоритм, который возвращает некоторое значение–результат
  
• 
  в Паскале функция располагается выше основной программы и оформляется следующим образом (вместо многоточия могут быть любые операторы):
  

• 
  в заголовке функции записывают имя функции, в скобках – список параметров, далее через двоеточие – тип возвращаемого значения; в приведенном примере функция F принимает один целый параметр, к которому внутри функции нужно обращаться по имени x, и возвращает целое число
  
• 
  результат функции записывается в специальную переменную, имя которой совпадает с именем функции; объявлять эту переменную не нужно
  
• 
  если параметров несколько, для каждого из них указывают тип:
  

• 
  если несколько соседних параметров имеют одинаковый тип, можно их объединить в список:
  

• 
  следующая программа ищет наименьшее значение функции F(x) на интервале [a,b], просматривая значения от a до b с шагом 1:
  

• 
  цикл для поиска наибольшего значения выглядит точно так же, только знак < нужно заменить на знак >
  
• 
  если функция представляет собой квадратный трехчлен вида , то абсцисса, соответствующая точке минимума, вычисляется по формуле
  

• 
  в критической точке (точке минимума, точке максимума или точке перегиба) производная функции обращается в 0;
  
• 
  находим производную
  
• 
  приравниваем ее к нулю: .
  

• 
  если квадратный трехчлен задан в виде , то абсцисса, соответствующая точке минимума, вычисляется по формуле
  

if (F(t)

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

Решение (способ 1, ручная прокрутка, перебор):

1. 
   заметим, что в программе есть цикл, в котором переменная t принимает последовательно все целые значения в интервале от a до b:
   

for t:=a to b do begin

...

end;

2. 
   до начала цикла в переменную M записывается значение a, а в переменную R – значение функции в точке a:
   

M:=a; R:=F(a);

3. 
   внутри цикла есть условный оператор, в котором вычисляется значение функции ^ F(t) и сравнивается со значением переменной R:
   

if (F(t)

M:=t;

R:=F(t);

end;

если новое значение функции меньше, чем значение R, в R записывается значение функции в точке t, а в переменной M запоминается само значение t (аргумент функции, соответствующий значению в R)

4. 
   в результате анализа пп. 1-3 можно сделать вывод, что цикл ищет минимум функции ^ F(t) на интервале от a до b, и после выполнения цикла в переменной M оказывается значение аргумента t, при котором функция достигает минимума на заданном интервале (здесь это интервал [-20, 20])
   
5. 
   функция ^ F вычисляет значение
   

F:=4*(x-1)*(x-3);

6. 
   перебираем все значения t от a до b, и для каждого вычисляем соответствующее значение функции:
   

   t	-20	-19	-18	-17	-16	-15	-14	-13	-12	-11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
   F	1932	1760	1596	1440	1292	1152	1020	896	780	672	572	480	396	320	252	192	140	96	60	32	12
   t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
   F	0	-4	0	12	32	60	96	140	192	252	320	396	480	572	672	780	896	1020	1152	1292

7. 
   по таблице находим, что минимальное значение –4 достигается при t=2
   
8. 
   таким образом, ответ: 2.
   

Возможные проблемы: заполнение таблицы, особенно при большом интервале, очень трудоемко, велика возможность ошибки

^ Решение (способ 2, математический анализ):

1. 
   повторяя рассуждения пп. 1-5 из предыдущего способа решения, находим, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.
   
2. 
   запишем функцию в виде квадратного трёхчлена:
   

3. 
   график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум
   
4. 
   найдем абсциссу точки минимума, которая совпадает с абсциссой точки минимума функции
   

5. 
   таким образом, ответ: 2.
   

Решение (способ 3, математический анализ, свойства параболы):

1. 
   повторяя рассуждения пп. 1-5 из первого способа решения, находим, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.
   
2. 
   заданная функция имеет корни в точках
   
3. 
   график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх (коэффициент при равен 4 > 0), поэтому функция имеет минимум
   
4. 
   парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, поэтому абсцисса вершины – это среднее арифметическое корней:
   

5. 
   таким образом, ответ: 2.
   

^

Ещё пример задания:

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:

Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=x*x + 4*x + 8;

end;

BEGIN

a:=-10; b:=10;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)> R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

Решение:

1. 
   рассуждая так же, как и в предыдущем примере, можно показать, что программа ищет наибольшее значение функции F(t) на интервале от a до b
   
2. 
   заметим, что выводится не абсцисса, а именно это найденное наибольшее значение функции:
   

write(R);

3. 
   график заданной функции – это парабола, ветви которой направлены вверх, то есть она имеет точку минимума, но не точку максимума
   
4. 
   поэтому нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наибольшее
   
5. 
   при t=-10 получаем F(t)=68
   
6. 
   при t=10 получаем F(t)=148
   
7. 
   таким образом, ответ: 148.
   

^

Еще пример задания (Л.А. Тумарина, г. Электросталь):

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:

Var a,b,t,M,R :integer;

^ Function F(x:integer):integer;

begin

F:=4*(x-1)*(x-3);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=0;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

Решение:

1. 
   рассуждая так же, как и в примере 1, определяем, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.
   
2. 
   запишем функцию в виде квадратного трёхчлена:
   

3. 
   график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум
   
4. 
   найдем абсциссу точки минимума, которая совпадает с абсциссой точки минимума функции
   

8. 
   однако это значение не входит в интервал [-20; 0], поэтому нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наименьшее; ответом будет соответствующее значение t.
   
9. 
   при t=-20 получаем F(-20)=4*(-21)*(-23)=1932
   
10. 
    при t=0 получаем F(0)= 4*(-1)*(-3)=12, это значение меньше, чем F(-20), поэтому минимум на заданном интервале достигается при t=0
    

5. 
   таким образом, ответ: 0
   

^

Задачи для тренировки¹:

1. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=4*(x-5)*(x+3);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=20;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

2. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=-(x+4)*(x+2);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=20;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)>R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

3. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=3*(x-2)*(x+6);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=20;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

4. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=(5-x)*(x+3);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=20;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)>R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

5. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=(x-5)*(x+3);

end;

BEGIN

a:=-5; b:=5;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)>R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

6. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=(x+5)*(x+3);

end;

BEGIN

a:=-5; b:=5;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)>R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

7. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=(x+7)*(1-x);

end;

BEGIN

a:=-5; b:=5;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)< R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

8. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=(x+5)*(1-x);

end;

BEGIN

a:=-5; b:=5;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)< R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

9. 
   Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
   

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=(x+3)*(1-x);

end;

BEGIN

a:=-5; b:=5;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)< R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

10. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:= 2*x*x + 8*x + 10;

end;

BEGIN

a:=-10; b:=10;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)< R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

11. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:= x*x + 6*x + 10;

end;

BEGIN

a:=-10; b:=10;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)> R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

12. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:= x*x - 8*x + 10;

end;

BEGIN

a:=-5; b:=5;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)> R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

13. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:= x*x + 2*x + 10;

end;

BEGIN

a:=-10; b:=10;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)< R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

14. 
    (Л.А. Тумарина) Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=4*(x-5)*(x+3);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=0;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

14. 
    (Л.А. Тумарина) Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:= 2*x*x + 8*x + 10;

end;

BEGIN

a:=0; b:=10;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)< R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

14. 
    (Л.А. Тумарина) Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

^ Var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x:integer):integer;

begin

F:=-(x+4)*(x+2);

end;

BEGIN

a:=-2; b:=20;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)>R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

14. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x: integer):integer;

begin

F := 2*(x-9)*(x-9)+12;

end;

BEGIN

a := -20; b := 20;

M := a; R := F(a);

for t := a to b do

if (F(t)

M := t;

R := F(t);

end;

write(M);

END.

14. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x: integer):integer;

begin

F := 9*(x-15)*(x+17)+2;

end;

BEGIN

a := -20; b := 20;

M := a; R := F(a);

for t := a to b do

if (F(t)

M := t;

R := F(t);

end;

write(M);

END.

14. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x: integer):integer;

begin

F := -3*(x-10)*(x+2)+2;

end;

BEGIN

a := -20; b := 20;

M := a; R := F(a);

for t := a to b do

if (F(t)>R) then begin

M := t;

R := F(t);

end;

write(M);

END.

14. 
    Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x: integer):integer;

begin

F := 5*(x+10)*(x+2)+2;

end;

BEGIN

a := -20; b := 20;

M := a; R := F(a);

for t := a to b do

if (F(t)

M := t;

R := F(t);

end;

write(M);

END.

14. 
    (А. Лаздин) Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x: integer):integer;

begin

F := -2*(x+2)*(x-6);

end;

Begin

a := -11; b := 11;

M := a; R := F(a);

t:=a;

while t < b do

begin

if (F(t)>R) then

begin

M := t;

R := F(t);

end;

t:=t+2;

end;

write(R);

End.

14. 
    (А. Лаздин) Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x: integer):integer;

begin

F := -2*(x+2)*(x-6);

end;

Begin

a := -11; b := 11;

M := a; R := F(a);

t:=a;

while t < b do

begin

if (F(t)>R) then

begin

M := t;

R := F(t);

end;

t:=t+2;

end;

write(M);

End.

14. 
    (А. Лаздин) Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
    

var a,b,t,M,R :integer;

Function F(x: integer):integer;

begin

F := -2*(x+2)*(x-6);

end;

Begin

a := -11; b := 11;

M := a; R := F(a);

t:=a;

while t < b do

begin

if (F(t)>=R) then

begin

M := t;

R := F(t);

end;

t:=t+2;

end;

write(M);

End.

1 Источники заданий:

1. 
   Тренировочные работы МИОО 2011-2012.
   
2. 
   Авторские разработки.
   

http://kpolyakov.narod.ru