Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html icon

Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html



НазваниеHttp://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html
Дата конвертации26.06.2012
Размер290.95 Kb.
ТипДокументы

http://sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9672.html


Understanding of Relativity


Причина популярности Специальной Теории Относительности – в ее простоте и доступности: о псевдоповерхностных дисперсионных поляритонах на кухне не поговоришь, а такие понятия, как пространство, время, движение не требуют специальной подготовки.

Тем не менее, в литературе часто приходится сталкиваться с неправильным пониманием выводов СТО вообще и преобразований Лоренца в частности. Поэтому надеюсь, что предпринимаемая ниже попытка внести ясность в очевидное не будет излишней.


Геометрия преобразований Лоренца

Владимир В. Ерохин

vev.50@mail.ru


Споры вокруг преобразований Лоренца продолжаются уже целый век, тогда как причин для этого, казалось бы, нет: преобразования – чисто математическое действо, а математика не ошибается. Но ошибаются люди. У автора сложилось мнение, что сами релятивисты не понимают простой сути преобразований Лоренца, поскольку в литературе даже у очень авторитетных авторов можно встретить взаимоисключающие трактовки.


Вы когда-либо видели иллюстрацию к преобразованиям Лоренца?

Я - нет. Вероятно, потому, что сторонники релятивизма - это в основном стопроцентные аналитики, а иллюстрации нужны для образного восприятия, которое аналитикам не свойственно. Книжки с картинками в «серьезной» науке не котируются, считается, что иллюстрации нужны только для детских сказок.
Я же придерживаюсь иного мнения. Эта статья – с картинками.


1. Вывод преобразований

Для порядка следует привести классический вывод преобразований Лоренца, но я перенес его в конец статьи – не всем он нужен.


2. Немного геометрии


Чтобы внести ясность и однозначность, и при этом избежать излишней громоздкости, мы ввели в столь серьезную статью несерьезные рисунки. Здесь для наглядности и конкретизации координат введен наблюдатель P (x,y,z,t ). Кроме того, мы обнулили координату z, поскольку задача осесимметрична, и ничто не мешает преобразовать систему координат так, чтобы все действие происходило в плоскости. А также показали ход луча (сигнала) в движущейся и покоящейся системах отсчета.



Рис 2. Геометрические соотношения треугольника, используемые в преобразованиях Лоренца.

В треугольнике (рис.2) одна из сторон, равна R == ct, другая = vt.


Если взять радиус Льенара-Вихерта R* = R(1 – v·cos?/с) = (– vx/с), то ему будет равен радиус R* = . Разделив этот R* на , получим лоренцевский радиус

R' = = (Rvx/с)/= ct’.

Кроме того, как показано на рисунке, получаем величину x, которая в литературе не встречается, хотя именно она и определяет релятивистское сокращение, а не величина (x - vt)/, которой оперируют формалисты. Обратим также внимание на отношение сторон пунктирного треугольника: .

Эти особенности геометрии треугольника и используются в преобразованиях Лоренца.


3. Движущийся источник и движущийся приемник сигнала.


Лоренц вывел свои преобразования в рамках эфирной теории. Годом позже Эйнштейн вывел их, исходя из совсем других соображений. Нет смысла спорить об интерпретации, преобразования имеют один и тот же вид как с эфиром, так и без него. В СТО меняется только смысл, вкладываемый в понятие скорости. (Это уже само по себе странно, что преобразования одни и те же, как при абсолютном, так и при относительном движении). Ниже рассмотрим преобразования в Лоренцевской интерпретации, то есть, будем использовать представление об абсолютном движении. А затем перейдем к относительному движению. (Преобразования будут одни и те же в любом случае, но суть их несколько изменится).


Рассмотрим сначала случай движущегося источника света при неподвижном приемнике (рис.3).

В системе отсчета S вдоль оси x движется источник света 0' (система отсчета S’). В момент t = t' = 0 он проходит через начало отсчета (0' = 0 ), и дает вспышку света.

Спустя время t = R/сигнал достигает наблюдателя P, покоящегося в точке с координатами ( x,y ). Источник за это время перемещается на расстояние vt, то есть, при наблюдении из точки P, в момент t координаты источника 0' равны (x - vt, y, ).




Рис.3. Движется источник сигнала (0'), приемник (P) неподвижен.


И того, если приемником сигнала является наблюдатель P в неподвижной системе отсчета (S), то для движущейся системы (S' ) имеем обычные преобразования Галилея: x' = (x - vt), y' = y, t' = t.


Теперь рассмотрим случай, когда приемником служит наблюдатель P' в движущейся системе отсчета (S' ).

На рис. 4а,б, как и в предыдущем случае на рис.3, движется штрихованная система S'. В момент t = t' = 0 начала отсчета обеих систем совпадают (0' = 0 ), и в этот момент из общего начала координат дается вспышка света. Но приемником теперь уже служит наблюдатель P', движущийся вместе с системой отсчета S', а не неподвижный наблюдатель P.


а) б)

Рис.4а,б. Движется приемник сигнала (система отсчета S' ).


По Галилею время абсолютно, и, поскольку присутствовало условие t' = t = 0, то начальной точкой для P' должна служить координата (x,y ), как на рис.4а.
Но если отказаться от постоянства временных масштабов, то решений в принципе может быть множество, между случаями, показанными на рис. и , (поскольку в задаче преобразований стояло только условие R - ct = R' - ct’, а оно может выполняться в любом из этих случаев).

Тем не менее, преобразования Лоренца дают вполне однозначное решение. Почему?

Потому, что в неявном виде присутствовало еще одно условие, - условие сферичности волны: в движущейся системе все должно выглядеть так же, как и в неподвижной.

Будет яснее, если предположить, что в начальный момент t' = t = 0, сигнал испускается из той же движущейся системы отсчета, где он будет и приниматься. Так более очевидно, что наблюдатель покоится относительно источника света и должен видеть сферическую волну. Но то же самое (сферическую волну) должен видеть и неподвижный в своей системе (движущийся относительно  ) наблюдатель P', поскольку в неподвижной системе отсчета свет распространяется независимо от движения источника (рис.5 ).



Рис.5. Сферический фронт волны наблюдается в обеих системах отсчета, тем не менее, как утверждают преобразования Лоренца, обе эти сферы – одна и та же вспышка света, из одной точки,- т.е. одна и та же сфера.


Сферический фронт волны наблюдается в обеих системах отсчета. Мистика? Этим и подкупает СТО – возможностью невозможного. Примирить противоречие позволяет неодновременность событий.


На рисунке рис.6 показано решение Лоренца. (Здесь мы изменили знак скорости v, для сохранения аналогичности рассматриваемых ситуаций).



Рис.6. Движется приемник сигнала Q' (система отсчета S' ).

Ситуация показана с точки зрения покоящегося наблюдателя в системе S.


В момент t = t' = 0 движущаяся система отсчета S' проходит через начало отсчета (0' = 0 ) и дает вспышку света. Приемником служит наблюдатель Q', движущейся вместе с системой отсчета S' , источник света 0' неподвижен относительно него. (Хотя, согласно второму постулату источник можно привязать как к 0', так и к 0 ).

Но мы рассматриваем задачу из неподвижной системы отсчета S. Поскольку свет распространяется в неподвижной системе отсчета независимо от движения источника, то для нас свет распространяется со скоростью света с из начала отсчета 0, а начало 0' системы отсчета S' движется со скоростью -v влево вместе с наблюдателем Q'. Движущийся же наблюдатель Q' в системе отсчета S' считает покоящимся себя, поэтому источник света для него связан с началом отсчета 0', и свет распространяется из этой точки сферично. Таким образом, для одной и той же вспышки света имеем два фронта сферической волны и, соответственно, два центра, два источника света. С этой мистикой разберемся немного ниже, а пока продолжим.

Движущийся наблюдатель Q' в момент вспышки t' = 0 движется через точку (x, y ), его координаты отличны от координат прежнего наблюдателя P' (x,  y, t ) на рис.3.

Сигнал достигает наблюдателя Q' в момент t' = R'/с, когда его координаты равны x' = (x -vt )/, y .

В выражении t' = R'/с радиус R' равен [R – (v /c)x]/.
Подставив сюда R = ct , и разделив на c, получаем значение момента времени
t' = (t – vx /c2)/.


Таким образом, преобразования Лоренца имеют простой и ясный смысл:

x' = (x - vt)/, y' = y , t' = (t vx/c2)/.

Кроме того, следовало бы отметить

x'зап. = x, ?t' = ?t .

Если в первом случае (рис.3) сигнал должен был пройти до неподвижного приемника путь =, то в случае движущегося приемника (рис.6) путь света изменяется, поэтому, очевидно, и координата x', в которой сигнал достигает наблюдателя, а также и начальная координата x'зап. движущегося приемника, будут иными. И не потому, что изменились свойства пространства-времени, а потому, что свет идет по другому радиусу в том же пространстве, которое не может измениться только потому, что мы рассматриваем путь света вдоль R', а не вдоль R.


Если кому-либо хочется различать классическую и релятивистскую физику, то это различие заключается только в том, что при высоких скоростях необходимо учитывать запаздывание сигнала, тогда как классическая механика Ньютона этого не учитывала. Однако я полагаю вполне естественным, что наука развивается, и в прежние законы следует вносить поправки. Едва ли при этом необходимо подчеркивать деление на классическую и релятивистскую физику. Просто существуют задачи, где запаздыванием можно пренебречь, и где этого делать нельзя. Классическая теория разве не может учитывать запаздывание?

Почему-то, когда заходит речь о классической интерпретации физических явлений, многие оппоненты обязательно представляют себе древние допотопные представления, которые никто и ничто не в силах изменить, минуя эйнштейновский релятивизм. Почему так? Под классической физикой следует понимать естественное развитие конструктивных взглядов, а не дальнодействие, давно ушедшее в историю, и другие анахронизмы XVIII века. Отличие классической физики от релятивизма состоит только в отсутствии необоснованной мистики и искажения реальности, в материалистических взглядах вместо тотальной относительности движения, пространства и времени.

Релятивизм же четко разграничивает области по той причине, что запаздывание сигнала подменяется искажением пространства и времени, и в итоге получается уже совсем другая физика, принципиально отличающаяся от классической.


Лоренц приписывал изменению координат абсолютный смысл, поскольку это требование вытекало из опыта Майкельсона-Морли, где неподвижный интерферометр считался движущимся. Все электромагнитные эксперименты показывают, что в качестве «нулевой точки отсчета» всегда выступает лабораторная система отсчета.


Обратим внимание на запаздывающую координату x'зап . В аналитическом выводе этот параметр отсутствует. В движущейся системе отсчета S’ сигнал приходит к наблюдателю P'(t') вдоль радиуса R' = ct'. Текущее положение источника сигнала (0) относительно наблюдателя не имеет никакого значения: скорость света конечна, и наблюдатель может видеть только запаздывающий сигнал. По мнению наблюдателя в системе отсчета S, за счет аберрации движущийся наблюдатель видит источник сигнала в точке 0'(t'). На рисунке видимый путь сигнала – красная линия, параллельная запаздывающему радиусу, хотя реально сигнал пришел из (0). Координата x'зап = x как раз и демонстрирует «релятивистское» сокращение, наблюдаемое в движущейся системе отсчета. Это, во-первых, начальная продольная координата движущегося наблюдателя, в раз меньшая x и, во-вторых, наблюдаемая продольная координата расстояния до источника света. С точки зрения неподвижного наблюдателя в системе S, движущийся наблюдатель Q' видит свет так, как если бы он покоился в своих запаздывающих координатах x' = x, y' = y, t' = 0 (в своей системе отсчета наблюдатель Q' там действительно покоится).




Рис.7. Начало координат, наблюдаемое в системе отсчета движущегося наблюдателя. Движущийся наблюдатель видит сигнал так, как если бы покоился в запаздывающем положении x’(зап.).

Собственно, в своей системе отсчета S’ он покоится относительно начала отсчета 0', так что условности «как будто» излишни, они относятся к наблюдателю в системе S, относительно которого, как и в случае, показанном на рис.3, мы в данном случае и рассматриваем ситуацию.

Сам движущийся наблюдатель тоже сокращен вдоль оси x, поэтому сокращения масштабов не замечает.

(Обратим внимание, что сокращен именно движущийся наблюдатель S’.

В случае относительности движения, с точки зрения наблюдателя S’ будут сокращены масштабы уже в системе отсчета S, а это означает, что сокращение является не реальным физическим явлением, но лишь наблюдаемым эффектом).


И того, имеем:
Если в неподвижной системе отсчета S свет, распространяясь со скоростью “c”, достигает неподвижного наблюдателя P в момент t = R/c, и начало движущейся системы отсчета относительно наблюдателя P при этом имеет координаты x' = (x - vt), y' = y, (см. рис.3), то движущегося наблюдателя Q' свет достигает в более ранний момент t' = tvx /c2/, когда координаты Q’ относительно начала отсчета неподвижной системы S равны (x - vt)/, y , t'. Запаздывающая координата движущегося наблюдателя (в момент вспышки света) равна x. Свет здесь движется со скоростью “c” в неподвижной системе отсчета , но во втором случае проходит более короткий путь R'. Соответственно, и система S' за это время перемещается на меньшее расстояние vt' = (v/c)R'.

Прямые преобразования Лоренца (при переходе из покоящейся в движущуюся систему):

(x - vt)  (x' - vt') = (x - vt)/,

tt' = (tvx/c2)/.

Поперечные координаты не меняются.

Обратные преобразования, соответственно:

xx'зап./ = (x' + vt')/,

t  (t' + vx'/c2)/.

Смысл преобразования времени tt' наглядно виден из радиусов R = ct и R' = ct'  = [ Rзап. – (v /c)x ] /.
Заметим, что x’ = (x - vt)/ возрастает, а запаздывающая продольная координата сокращается: x' (зап.) = x . Релятивистское сокращение связано с запаздывающей координатой x' (зап.), а не с возрастающей текущей координатой x'. Пытаясь это возрастание превратить в сокращение, релятивисты нередко подменяют прямые преобразования обратными, или же говорят о том, что сокращаются не движущиеся координаты, а покоящиеся, наблюдаемые из движущейся системы отсчета. Многие авторы приводят совершенно правильное понимание «сокращения» именно запаздывающей координаты. Но к однозначному мнению теория за 100 лет своего существования видимо не пришла, достаточно взглянуть на таблицу ниже, где всюду штрихом обозначена движущаяся система отсчета. Четыре (!) взаимоисключающие трактовки у авторов, которых трудно упрекнуть в незнании теории. Комментарии излишни.



Вариант

Авторы

Изменение длин

Изменение хода
времени

1

А. Эйнштейн; М. Борн; В. Паули





2

Берклеевский курс физики





3

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц





4

В.Г. Левич







Сигнал приходит к движущемуся наблюдателю P’ вдоль радиуса R', но за счет аберрации наблюдатель будет видеть этот сигнал смещенным так, как если бы он наблюдался из запаздывающей координаты x'зап. = x . Таким образом, согласно преобразованиям Лоренца в движущейся системе отсчета координаты представляются сокращенными, как это и хотели видеть релятивисты, однако для этого сокращения не следует пытаться вывернуть наизнанку вывод Лоренца x'зап. = (x - vt)/, касающийся текущих координат.

Но вот вопрос: если нет никакого сигнала то, очевидно, координаты в движущейся системе все равно должны сокращаться. За счет чего, как это показать? Все выводы строятся только из наблюдаемого эффекта движения сигнала по другому радиусу, а не из физики движения.

В движущейся системе отсчета S', где наблюдатель считает себя покоящимся, аберрация по его мнению отсутствует, поскольку начало отсчета 0', где произошла вспышка света, неподвижно относительно наблюдателя Q', и для него лучом света является запаздывающий радиус, а не текущий радиус R', как это представляется наблюдателю в неподвижной системе S. Текущий радиус R' в движущейся системе отсчета реального смысла не имеет (см. рис.8).

Кроме того заметим, что сокращение промежутков времени между двумя событиями (т.е. темпа хода времени) в движущейся системе отсчета равно t., а время t' = (t - vx'/c2)/ это преобразование момента события, а не преобразование собственно времени. Это сокращение имеет место по мнению неподвижного наблюдателя, в движущейся же системе отсчета оно ненаблюдаемо.


На рис.8 показано то же самое, что и на рис.7, но уже с точки зрения движущегося наблюдателя Q’, считающего себя неподвижным, и полагающим, что относительно него движется (вправо) система S.




Рис.8. События с точки зрения движущегося наблюдателя Q’, считающего себя неподвижным. Наблюдатель Q’ полагает, что относительно системы отсчета S' движется реально покоящаяся система S.

Это в интерпретации Лоренца с абсолютным движением, где отличие от ситуации, показанной на рис.3, заключается в том, что в данном случае движется приемник сигнала, тогда как на рис.3 приемник был неподвижен.

Но если считать движение относительным, то принципиального различия нет, и результат должен быть тот же самый, что и на рис.3, без каких-либо сокращений. Однако результат получен совершенно другой, поскольку движется все-таки наблюдатель Q', а система отсчета S неподвижна.


4. Преобразования в СТО.


Выше мы рассматривали преобразования в рамках эфирной теории Лоренца с абсолютным движением.

Рассмотрим теперь ситуацию, показанную на рис.8, с точки зрения принципа относительности движения (рис.9).



Рис.9. То же, что и на рис.8, но уже согласно принципу относительности: наблюдатель Q' в системе отсчета S' покоится, а движется система отсчета S.

Но в таком случае имеем тот же вариант, что рассматривался на рис.3.


Вариант, показанный на рис.9, но для системы отсчета S, уже рассматривался выше (рис.3). Различие лишь в знаке скорости.

Поскольку наблюдатель Q’ покоится, то для сокращения масштабов в его системе отсчета причин нет, поэтому x' = x, штрих здесь стоит только для того, чтобы различать системы отсчета. То же самое относится и ко времени t'.

Последовательное применение принципа относительности СТО приводит к полной симметрии (сравни рис.9 и рис.3). В силу принципа относительности так и должно быть: инерциальные системы отсчета равноправны, и оба наблюдателя должны видеть одну и ту же картину. Но зачем в таком случае нужно было огород городить с преобразованиями Лоренца?

Если же эти преобразования применить, то с точки зрения наблюдателя Q' в системе отсчета S масштабы будут сокращены, и инвариантность уравнений Максвелла лопается.


Преобразования Лоренца предполагают не покоящегося, а движущегося наблюдателя, т.е. движущийся приемник сигнала. В СТО же всякий наблюдатель не только вправе считать себя неподвижным, потому что не замечает своего движения, но является реально неподвижным.

С точки зрения абсолютного движения, различие заключается в том, что в данном случае (см. рис.8) движется приемник сигнала, тогда как на рис.3 приемник был неподвижен. Случаи не симметричны.

Но если движение абсолютно, то принципиального различия в том, кого именно считать движущимся, нет. Поэтому результат согласно принципу относительности получается, как на рис.3, рис.9. Преобразования получатся лишь в том случае, если полагать, что один из наблюдателей движется реально.


5. Мистика сфер


Но вернемся к сферичности волн.

Миф о том, что в движущейся системе отсчета будет наблюдаться та же сферическая волна, что и в неподвижной системе, построен на подмене понятий: предполагается, что вокруг излучателя на равном расстоянии расположены наблюдатели. В качестве этих наблюдателей могут служить просто зеркала. Эти наблюдатели принимают сигнал не одновременно, то есть, никакой сферичности в движущейся системе отсчета нет. Но когда эти наблюдатели-зеркала пошлют сигнал о фиксировании волны обратно в движущийся «центр», то сигналы поступят туда одновременно, откуда и делается вывод о якобу наблюдаемой сферичности.

Давайте опишем сферу радиусом R из начала неподвижной системы отсчета S. В движущейся системе S' нам, очевидно, придется описать эллипсоид – сферу, сокращенную вдоль оси x в раз (рис.10). Расположим на сфере несколько наблюдателей P1, P2, P3 и т.п.




Рис.10. Движущиеся наблюдатели Q'1- Q'5 примут один и тот же сигнал в разное время t'i и, соответственно, будут видеть его в разных точках оси x.

Если привести время наблюдения сигнала t'i к одному моменту, то сигнал будет виден одновременно и в одной точке для всех движущихся наблюдателей, но время излучения сигнала будет различно для каждого из наблюдателей. Здесь нелишне добавить, что источником сигнала является точка 0' движущейся системы отсчета, и наблюдатели в этой же системе отсчета видят вспышку не одновременно, поскольку радиуса R'(t') различны.

Таким образом, движущийся наблюдатель может видеть сферу мгновенно, однако той ценой, что эта сфера будет образована не вспышкой света, а продолжительным свечением источника. C одной стороны, это можно оправдать неодновременностью событий. Но с другой стороны, вспышка все же была одна, поэтому наблюдатель не увидит никакой сферы одномоментно, но только различные ее части в разное время.


В неподвижной системе отсчета эти наблюдатели примут сигнал одновременно в момент t. В движущейся системе отсчета соответствующие наблюдатели P'1, P'2, P'3 с точки зрения неподвижного наблюдателя примут сигнал в разные моменты времени t'1, t'2, t'3 . Если мы перейдем в движущуюся систему отсчета, то моменты t'1, t'2, t'3 для нас будут одновременны, но тогда неодновременными станут моменты t излучения сигнала. Моменты t'1, t'2, t'3 можно привести к одному времени, но тогда неодновременными станут моменты t излучения сигнала. То есть, согласно СТО движущиеся наблюдатели будет видеть сигнал одновременно, но для них это будет не один сигнал, а множество сигналов, выпущенных из одной и той же точки, но в разное время. Однако, все же, вспышка света была одна. На помощь приходит отговорка о неодновременности событий: мол, мы видим, что сигналы были посланы не одновременно, однако это в движущейся относительно нас системе S, на самом же деле, в нашей покоящейся системе S' мы принимаем их одновременно, значит так оно и было. Действительно, так оно и было, однако если так, то сигналы принимаются движущимися наблюдателями P'i не одновременно. Мистика проистекает от недостатка логики, либо от большого желания исказить реальные события. Чтобы движущийся наблюдатель увидел сферу, сигнал должен подаваться непрерывно в течение некоторого промежутка времени ?t.


1. Вывод преобразований

Приведем вывод преобразований Лоренца, с незначительными сокращениями.

Задача ставится примерно так: найти преобразования координат (x,y,z,t ) при переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно нее. «Примерно так» - потому, что четкой постановки в литературе найти трудно. Это как бы само собой разумеющийся вопрос, не требующий пояснений.

Для краткости опустим многочисленные оговорки, необходимые для формальной строгости изложения, они, в общем-то, подразумеваются и без этого.


Две системы отсчета, S и S' движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно со скоростью v , как это показано на рис 1.




Рис 1. Это максимум, что можно изобразить, соблюдая академическую серьезность.


За ось x выберем направление движения системы отсчета S'.

В момент t = t’ = 0 начала координат 0 и 0’ совпадают, и в этот момент из общего начала отсчета испускается световой сигнал.

Распространение сферической световой волны в системе S описывается уравнением

x2 + y2 + z2c2t2 = 0, ( 1 )

А в системе S' аналогичным уравнением

x’ 2 + y’ 2 + z’ 2c2t’ 2 = 0 . ( 1' )

Примечание VEV: Равенство интервалов s = s' предполагает равенство скорости света в обеих системах отсчета. Отметим также следующее: в общем случае интервал «s» может принимать любые значения, но приравнивание его к нулю означает, очевидно, R = ct, R' = ct’ (выражения ( 1 ) и ( 1' ) соответственно), и привязывает условие к началу отсчета, что, впрочем, оговаривается и в условии.


Равенство ( 1 ) и (1' ) возможно только, если

(x2 + y2 + z2c2t 2 ) = k (x’ 2 + y’ 2 + z’ 2c2t’ ) ,

где коэффициент k зависит только от скорости v.

Далее показывается, что k =1, это мы опустим, полагая за очевидное, что 0 = 0, независимо от вида функции, приравниваемой к нулю.

Попутно определяется, что поперечные к вектору скорости координаты остаются неизменными:

y’ = y , z’ = z.

В итоге имеем

x2c2t 2  = x’ 2c2t’ 2 (2)

(Добавим: = - (y2 + z2)). Поскольку x’ и t’ – линейные функции от x и t, учитывая взаимосвязь координат и времени, можно записать

x’ = ?x + ?t ;

t’ = ?x + ?t ,

где ?, ?, ?, ? определяются так, чтобы условие (2) выполнялось для всех x и t.

Для точки 0’ имеем x’ = 0, поэтому ?x + ?t =0, и закон движения 0’ относительно S

x = – ?t /? ,

а поскольку скорость этой точки относительно S равна v , то

? = – ?v .

Для точки 0 начальная координата x = 0, тогда t’ = ?x + ?t  = ?t , т.е. t = t’/? . Подставляя полученное в x’ = ?x + ?t  = ?t , имеем формулу, описывающую движение точки 0 относительно S'

x’= ?t’/? .

Из соображений симметрии следует, что скорость 0 относительно S' равна – v , что с учетом ? = – ?v  дает

? = – ?v  = – ?v , т. е. ? = ?  (3)

Учитывая ? = – ?v  и ? = ? , уравнения x’ = ?x + ?t  и t’ = ?x + ?t  можно переписать в виде:

x’= ? (x - vt);

t’ = ?x + ?t .

Подставив полученные значения x’ и t’ в x2c2t 2  = x’ 2c2t’ 2 , получим квадратное уравнение

x2c2t 2  = (? 2 – ?2c2)x2 – ? 2 (1 – v2/c2c2t 2 – 2? (?c2 + ?vxt . (4)

Поскольку данное уравнение выполняется при всех значениях x и t , то коэффициенты при x2, t 2 и x2, t в обеих частях уравнения соответственно равны. Это дает три уравнения для определения двух величин ? и ?:

(? 2 – ?2c2) = 1,

? 2 (1 – v2/c2) = 1,

2? (?c2 + ?vxt = 0,

Из последних двух сразу получаем

? = 1/(1 – v2/c2) , (5)

? = ?v /c2 . (6)

Первое уравнение, выражающее равенство коэффициентов при x2 в обеих частях уравнения (4), выполняется тождественно, и показывает, что уравнение (3), т.е. предположение, что точка 0 движется относительно S' со скоростью –v , согласуется с уравнением (2). (Это, очевидно, следует уже из условия задачи).

Подставляя (5) и (6) в полученные выше значения x’= ? (x - vt) и t’ = ?x + ?t , получаем закон преобразования для пространственно-временных координат события, то есть, знаменитые преобразования Лоренца:

x’= (x - vt)/; y’ = y , z’ = z.

t’ = (tvx/c2)/.

Обратные преобразования получаются из прямых переобозначением штрихованных и не штрихованных переменных и заменой знака скорости v .

x = (x’ + vt’ )/; y = y’ , z = z’.

t = (t’ + vx’/c2)/.

Вот и все.


6. Преобразования Эйнштейна.


И в заключение приведем Эйнштейновский вывод преобразований Лоренца из его работы 1905 года.


А.Эйнштейн

К электродинамике движущихся тел


§ 3. Теория преобразования координат и времени от покоящейся системы к системе, равномерно н прямолинейно движущейся относительно первой


Пусть в «покоящемся» пространстве даны две координатные системы, каждая с тремя к взаимно-перпендикулярными осями, выходящими из одной точки. Пусть оси X обеих систем совпадают, а оси Y и Z — соответственно параллельны. Пусть каждая система снабжена масштабом и некоторым числом часов, и пусть оба масштаба и все часы в обеих системах в точности одинаковы.

Пусть теперь началу координат одной из этих систем (k) сообщается (постоянная) скорость v в направлении возрастающих значений х другой, покоящейся системы (K); эта скорость передается также координатным осям, а также соответствующим масштабам и часам. Тогда каждому моменту примени t покоящейся системы (К) соответствует определенное положении осей движущейся системы, и мы из соображений симметрии вправе допустить, что движение системы k может быть таким, что оси движущейся системы в момент времени t (через t всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны. осям покоящейся системы.

Представим себе теперь, что пространство размечено как в покоящейся системе К посредством покоящегося а ней масштаба, так и в движущей­ся системе k посредством движущегося с ней масштаба, и что, таким образом, получены координаты x, у, z и соответственно ?, ?, ? . Пусть посредством покоящихся часов, находящихся в покоящийся системе, и с помощью световых сигналов указанным в §1 способом определяется время t покоящейся системы для всех тех точек последней, в которых находятся часы. Пусть далее таким же образом определяется время t’ движущейся системы для всех точек этой системы, в которых находятся покоящиеся относительно последней часы, указанным в §1 способом световых сигналов между точками, в которых эти часы находится.

Каждому набору значений х, у, z, t, которые полностью определяют место и время событий в покоящейся системе, соответствует набор значений ?, ?, ?, ?, устанавливающий это событие в системе k, и теперь необходимо найти систему уравнений, связывающих эти величины.


Правде всего ясно, что эти уравнения должны быть линейными в силу свойства однородности, которое мы приписываем пространству и времени.

Если мы положим х' = х - vt, то ясно, что точке, покоящейся в системе k, будет принадлежать определенный, независимый от времени; набор значений x’, у, z,. Сначала мы определим ? как функцию от x’, у, z, t. Для этой цели мы должны выразить с помощью некоторых соотношений, что t’ по своему смыслу есть не что иное, как совокупность показаний покоящихся в система k часов, которые в соответствии с изложенным в §1 правилом идут синхронно.

Пусть из начала координат системы k в момент времени ?0 посылается луч света вдоль оси X в точку x’ и отражается оттуда в момент времени ?1 назад, в начало координат, куда он приходит в момент времени ?2; тогда должно существовать соотношение

,

или, выписывая аргументы функции ? и применяя принцип постоянства скорости света в покоящейся системе, имеем

.

Если x’ взять бесконечно малым, то отсюда следует:

,

или

.

Необходимо заметить, что мы могли бы вместо начала координат выбрать всякую другую точку в качестве отправной точки луча света, и поэтому только что полученное уравнение справедливо для всех значений x’, у, z.

Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z при наблюдении из покоящейся системы всегда распространяется со скоростью , то аналогичное рассуждение, примененное к этим осям, дает

,

.

Так как ? - линейная функция, то из этих уравнений следует

,

где а - неизвестная пока функция ? (v) и ради краткости принято, что в начале координат системы k при ? = 0 также и t = 0.

Пользуясь этим результатом, легко найти величины ?, ?, ?. С этой целью (как этого требует принцип постоянства скорости света в сочетании с принципом относительности) нужно с помощью уравнений выразить то обстоятельство, что свет при измерении в движущейся системе также распространяется со споростью V. Для луча света, вышедшего в момент времени ? = 0 в направлении возрастающих ? , имеем



или

.

Но относительно начала координат системы k луч света при измерении, произведенном в покоящейся системе, движется со скоростью Vv, вследствие чего

.

Подставив это значение t в уравнение для ? получим

.

Рассматривая лучи, движущиеся вдоль двух других осей, находим

,

причем

, ;

следовательно,



и

.

Подставляя вместо x' его значение, получаем

,

,

,

,

где

,

a ? – неизвестная пока функция от v.

Если не делать никаких предположений о начальном положении движущейся системы и о нулевой точке переменной ?', то к правым частям этих уравнений необходимо приписать по одной аддитивной постоянной.

Теперь мы должны показать, что каждый луч света - при измерении в движущейся системе - распространяется со скоростью V, если это утверждение, согласно нашему допущению, справедливо в покоящейся системе; мы еще но доказали, что принцип постоянства скорости света совместим с принципом относительности.

Пусть в момент времени t = ? = 0 из общего в этот момент для обеих систем начала координат посылается сферическая волна, которая распространяется в системе К со скоростью V. Если (х, у, z) есть точка, в которую приходит эта волна, то мы имеем

x2 + y2 + z2 = V2t2

Преобразуем это уравнение с помощью записанных выше формул преобразования; тогда получим



Итак, рассматриваемая волна, наблюдаемая в движущейся системе, также является шаровой волной, распространяющейся со скоростью V. Тем самым доказано, что наши два основных, принципа совместимы.

Выведенные формулы преобразования содержат неизвестную функцию ? от vy которую мы теперь определим.

Для этой цели вводим еще одну, третью координатную систему К', которая относительно системы k совершает поступательное движение параллельно оси ? таким образом, что ее начало координат движется со скоростью -v по оси ?. Пусть в момент времени t = 0 все три начала координат совпадают, и пусть при t = x = y = z = 0 время t’ в системе К' равно 0. Пусть х’, у’, z’ суть координаты, измеренные в системе К'.


После двукратного применения наших формул преобразования получаем

,

,

,

.

Так как соотношения между x', y', z' и x, y, z не содержат времени t, то системы К и К' находятся в покое относительно друг друга, и ясно, что преобразование из К в К' должно быть тождественным преобразованием. Следовательно,

.

Выясним теперь физический смысл функции ? (v). Для этого рассмотрим ту часть оси Н системы k, которая лежит между точками ? = 0, ? = 0, ? = 0 и ? = 0, ? = 0, ? = 0. Эта часть оси Н представляет собой стержень, движущийся перпендикулярно своей оси со скоростью v относительно системы К. Концы этого стержня в системе К имеют следующие координаты:

, ,

и

, ,

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе К, равна l /? (v); там самым выяснен и физический смысл функции ? (v). В самом деле, из соображений симметрии теперь ясно, что измеренная в покоящейся системе длина некоторого стержня, движущегося перпендикулярно своей оси, может зависеть только от величины скорости, но не от ее направления и знака. Следовательно, длина движущегося стержня, измеренная в покоящейся системе, не изменяется, если v заменить через - v. Отсюда следует:

,

или

.

Иа этого и найденного ранее соотношений следует, что ? (v) = 1, так что найденные формулы преобразования переходят в следующие:

t = ?(tvx/V2),

? = ? (x - vt),

? = y, ? = z,

где

? =


________________









Похожие:

Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconOverview Catalog Video Games Информация Sheet 1: Catalog

Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconRus. Ch, J. Rus. Ch, Rkf. Ch, Oankoo. Ch (rus),rfos. Ch (rus) 2424461, hd-a/A

Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconHttp://www baltic-course com/rus/baltija sng/?doc=4390
Посол России в Латвии Александр Вешняков выступил на региональной конференции соотечественников, проходящей в Риге 22-23 августа....
Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconДокументы
1. /Baphomet.doc
2. /Nine Angles Solo-bbookIII-RUS...

Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconHttp://www mallorcaweb com/reports/; карта : http://www mallorcaweb com/map-mallorca

Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconSis signer (rus) V 2
Для того что бы подписать я рекомендую пользоваться программкой sis signer (rus) V 2
Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconДокументы
1. /RUS/RUS_aprel/rus_10.doc
2. /RUS/RUS_aprel/rus_3,4.doc
Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconЗадача неуничтожимости цивилизации в катастрофически нестабильной вселенной и пути ее решения для Человечества. Дискуссии Издание 2-е, дополненное
В книгу включены дискуссии, инициированные автором в Интернете на сайтах sciteclibrary ru и membrana ru, а также на форуме «Литературной...
Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconДокументы
1. /KX-TS17MX01-rus.pdf
2. /KX-TS17MX02~27-rus.pdf
Http://sciteclibrary ru/rus/catalog/pages/9672. html iconThumbing through the pages of my fantasies Pushing all the mercy down, down, down

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов