Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел icon

Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел



НазваниеСтрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел
Дата конвертации27.06.2012
Размер60.3 Kb.
ТипДокументы


Стрекалова Е.А., 1998.


ОБ ОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ


Экспериментальная работа по математике


В последнее время рядом авторов - Мандельброт, Фейгенбаум [1, предисловие] - замечены интересные свойства последовательностей комплексных чисел. Названные авторы исследовали последовательность zn+1 = zn2 + .

Предлагаемая работа посвящена другой рекуррентной последовательности :

zn+1 = zn2 + zn-1 , ( 1 )

где z1 = z02 + z0 ; zn - комплексное число zn = xn + i yn. Тогда

xn+1 = xn2 - yn2 + xn-1 ; yn+1 = 2xnyn + yn-1.

Как известно, между точками декартовой плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие : (x,y)  (x + iy). Исследование расположения на плоскости точек, получаемых по формуле (1), при всех возможных начальных z0 стало доступным в связи с широким распространением быстродействующих компьютеров. Все дальнейшие расчеты проведены на IBM PC AT 286, программы составлены на TURBO-PASCALе.

Установлено, что при большинстве значений z0 последовательность (1) является быстро расходящейся ( в квадрате, симметричном относительно начала координат и длиной стороны 1, находится 1 - 100 точек, принадлежащих последовательности, и |zn|  ? при n  ? ).

Для того чтобы убедиться, что расходимость является свойством самой последовательности, было проведено исследование устойчивости к ошибкам округления:

(а) при вычислении с точностью real (11-12 верных знаков) и extended (19-20 верных знаков) для z0 = (-0,14 ; -0,09) «уход» на ? ( | xn | > 105 и далее | zn | растет очень быстро) происходит на одном и том же шаге ( n = 448);

(б) при том же z0 значения с точностью extended совпадают с точными всеми знаками до z6 включительно (была составлена программа, дающая точное (не приближенное) произведение двух комплексных чисел); при n>6 вычисления не проводились;

(в) при z0 = (1,306 ; 1,340) имеем очень быстро расходящуюся последовательность (x2?-20 ; x3?255), но и в этом случае все знаки значений extended совпадают с точными до z3 включительно.

Существуют значения z0, при которых достаточно много точек последовательности (1) (порядка нескольких тысяч) находится внутри квадрата со стороной 1. Затем происходит быстрый рост значений | zn | (см. выше - (а)). Назовем такие последовательности квазисходящимися.
Есть z0 (например, на мнимой оси - рис. 4), при которых все точки zn (n  ?)расположены на замкнутой кривой. Назовем такие последовательности стационарными. Последовательности, у которых значения zn (n
Точки квазисходящихся последовательностей при последовательном увеличении n описывают на плоскости некоторую траекторию, всегда имеющую 2 ветви - четные и нечетные члены последовательности. На экране компьютера наличие двух ветвей можно показать цветом, на приводимых далее черно-белых рисунках это не показано. Постепенно точки заполняют на плоскости некоторую область, вид которой зависит от расположения начальной точки z0.

Результат исследования сходимости последовательности (1) представлен на рис.1. На этом рисунке каждая точка плоскости - это начальная точка (z0) какой-либо последовательности. Точки z0, при которых «уход» последовательности на ? происходит при n>n*=1500, имеют черный цвет (это - квазисходящиеся последовательности), остальные - белый цвет.



Рис. 1. Область сходимости.


Основные выводы по рис.1:

(а)симметрия относительно оси X0 (поэтому показана только половина плоскости OX0Y0);

(б)квазисходящиеся последовательности получаются только при относительно малых значениях z0 : | z0 | < ?0,3 ;

(в)область сходимости (т.е. область квазисходящихся последовательностей) состоит из линий, которые в первом приближении можно апроксимировать прямыми;

(г)в окрестности нуля | z0 | < ?0,1 имеем почти сплошную область сходимости. Ее форма лучше видна на рис.2, при получении которого были поставлены менее жесткие условия сходимости: черный цвет - сумма расстояний от z0 до первых 50 точек последовательности (S) меньше 30; белый цвет соответствует S>30. Область сходимости в окрестности нуля имеет яйцевидную форму. На рис.2 лучше видны и области сильной расходимости (белый цвет), которые имеют клиновидную форму. Область сходимости последовательности (1) имеет фрактальную структуру.



Рис. 2.

Заметим, что использование комплексных последовательностей (не только вида (1), но и других) позволяет создавать компьютерные программы, дающие различные узоры и даже картины. Такая программа («Этюд») разработана в фирме «Метод» (г. Москва). Получаемые на экране компьютера рисунки - это, по сути, области сходимости комплексных последовательностей, полученные при разных постановках условий сходимости.

Обозначим основные линии сходимости (см. рис. 1) цифрами 1 - 11. Уравнения апроксимирующих прямых имеют вид:

1: y = -0,427x-0,0042; 3: y = -1,045x-0,0044;

5: y = -2,530x-0,0088; 6: y = 2,4377x+0,0046; (2)

8: y = 1,0185x-0,0008; 10: y = 0,4x+0,003;

11: x = 0 (мнимая ось).

Линии 1 - 11 можно апроксимировать также прямыми, проходящими через начало координат, измерив их углы наклона . Результаты расчета коэффициентов Kв уравнениях прямых y = Kx приведены в таблице.



N линии

1

2

3

4

5

6



21,6

37,1

45,1

53,5

67,7

69

K

-0,395

-0,755

-1,002

-1,351

-2,439

2,608

N линии

7

8

9

10

11






53,5

45,3

37,1

23,9

90




K

1,351

1,01

0,755

0,443

-




Итак, последовательности, начинающиеся с z0, расположенных на линиях 1 - 11, являются квазисходящимися, т.е. достаточно большое число последовательных точек этих последовательностей образует компактное множество на плоскости OXY. Обозначим это множество М, число точек в нем - N, соответствующую линию сходимости - L. Множества М, соответствующие одной и той же линии L, имеют одинаковую структуру. Поэтому приведем по 1-2 наиболее характерных множества для каждой линии L (рис. 3-18). Процесс образования множества М, т.е. траектория движения точки zn (n  ?), сам по себе интересен, но на рисунке это показать трудно, поэтому приведен только конечный результат.

Каждый рисунок охватывает «квадрат» декартовой плоскости с центром в начале координат и со стороной 0,7; начальная точка (z0) обозначена ∙. В левом нижнем углу приведены значения x0 и y0, полученные для рисунков 3,4,5,9,10,12,13 с использованием уравнений (2), для рисунков 6,7,8,11,14,15,16,17,18 - с использоватием таблицы.

Видно, что существует три основных типа множеств М.

  1. Линии L=3,11,8. В квазистационарном случае (рис.3,4,5) множество М - это овал с двумя петлями внизу; при сильном отклонении от стационарной точки (рис.6) - четыре узла, расположенные по дуге.

  2. Линии L=1,5,6,10. Квазистационарные множества (рис.8) имеют три «лепестка», остальные (рис. 7,9,10,11,12,13) - шесть узлов, расположенных в вершинах правильного шестиугольника (чередуются «четные» и «нечетные» узлы).

  3. L=2,4,7,9. Квазистационарные множества представляют собой сложное переплетение линий (рис. 14 - 17), остальные - 6 узлов, рядом с которыми расположены «пустоты» (рис. 18).





Таковы основные свойства последовательности комплексных чисел вида (1). Ясно, что это - только часть ее свойств, т.к. исследованы только последовательности, порождаемые числами z1 и z0, связанными соотношением z1=z02 + z0. При других начальных парах, возможно, области сходимости и множества М будут другими.

В заключение хочется предположить, что, возможно, интересные свойства рассмотренной последовательности вызваны философскими причинами, ведь она отражает в математической форме простой закон: будущее зависит в большей степени от настоящего, чем от прошлого.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Фракталы в физике: Труды VI Международного симпозиума по фракталам в физике (Триест, Италия, 9-12 июля 1985 г.). / Под ред. Л.Пьетронеро, Э.Тозатти. Москва, «Мир», 1988.






Похожие:

Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconСтрекалова Е. А., 1998. Последовательность точек пространства над одной неассоциативной алгеброй размерности 3
Но будем считать, что zn не комплексное число, а 3-мерный вектор: z = (X, y, V). В этом случае вместо ожидаемого ухудшения сходимости...
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconЦели урока: Закрепить знание последовательности и образования чисел второго десятка, отрабатывать приёмы сложения и вычитания, основанные на знании десятичного состава чисел от 1 до 20;
Развивать устные вычислительные навыки, логическое мышление, умение сравнивать и анализировать
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconМетоды перевода чисел из одной сс в другую
Метод Поразрядный метод перевода чисел: перевод чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления туда и...
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconБордоский дог Кобели Класс щенков
Бест Рандеву Вашингтон / Аризона Шоу Стар зав. Стрекалова вл. Стрекалова г. Ярославль
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconА. И. Сомсиков Определение комплексных чисел
Если в системе координат даны векторы и, такие, что разность их аргументов равна, а начала совпадают, то вектор может быть получен...
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconТема : Обработка данных, вводимых в виде символьных строк (написать программу средней сложности из 30-50 строк) или последовательности чисел
Тема: Обработка данных, вводимых в виде символьных строк (написать программу средней сложности из 30-50 строк) или последовательности...
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconТема : Обработка данных, вводимых в виде символьных строк (написать программу средней сложности из 30-50 строк) или последовательности чисел
Тема: Обработка данных, вводимых в виде символьных строк (написать программу средней сложности из 30-50 строк) или последовательности...
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconЛогика +смекалка
Постарайтесь найти закономерность в последовательности фигур, букв или чисел, для того чтобы продолжить ее или исключить лишнее
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconНечеткие последовательности, нечеткие прямоугольные матрицы, нечеткие функции и операции над ними
Нечеткая последовательность – это пронумерованное счетное множество нечетких чисел
Стрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел iconВ одномерном массиве произвольных чисел найти количество нечётных элементов
Из одномерного массива произвольных чисел целых чисел сформировать 2 массива: a массив четных чисел и b массив нечетных чисел
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов