Интегро–дифференциальные последовательности функций icon

Интегро–дифференциальные последовательности функций



НазваниеИнтегро–дифференциальные последовательности функций
Дата конвертации27.06.2012
Размер197.98 Kb.
ТипДокументы

© Стрекалова Е.А.,2005

ИНТЕГРО–ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ




Рассмотрим множество F всех дифференцируемых функций одной переменной. Определим на нем интегро-дифференциальную последовательность (ИДП) как бесконечную упорядоченную совокупность функций


fi(x), iZ = ..., f-2(x), f-1(x), f0(x), f1(x), f2(x), ...,

в которой для каждой пары (fi(x), fi+1(x)) стоящих рядом функций выполняется равенство: fi+1(x) = dfi(x) /dx. Итак, в ИДП каждая последующая функция получается из предыдущей ее дифференцированием и, следовательно, каждая функция из ИДП является одной из первообразных соседней справа и производной соседней слева. Пример ИДП:

... ? xlnx – x ? lnx ? ? – (1/x2) ? 2/x3 ? ... . (1)




Все функции, входящие в ИДП, равноправны. Но все же есть одна, которая имеет наиболее простую формулу. Ее будем называть порождающей функцией и подчеркивать. В приведенном выше примере порождающей функцией лучше считать , но можно взять в качестве нее и lnx.

Известно, что каждая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга константой. При последующем интегрировании константа превращается в линейную функцию и т.д. Поэтому мы должны были бы представить последовательность (1) следующим деревом (рис.1), т.е. в каждый элемент «вливается» слева бесконечное множество ветвей. Но для большей наглядности в изображении ИДП и большей обобщенности выводов лучше отбрасывать многочлен, суммирующийся с какой-либо функцией, понимая, что ИДП записана с точностью до многочлена, т.е. на самом деле она является бесконечной совокупностью последовательностей вида (для примера (1)):

...?xlnx+P-2(x)?lnx+P-1(x)? + P0(x) ? –(1/x2)+P2(x) ?...,

где Р?(х) – многочлен. Так, в примере (1): (xlnx–x) = lnx, но вместо xlnx–x можно взять xlnх, т. к. (xlnx) = lnx+1;


... ...

... ? lnx +1 1/х + 0,5

... ...

... ? lnx – (1/х2) ? ...

... ...

... ? lnx – 2 1/х – 1,5

... ...

lnx – 1,5x +3

Рис. 1.


(lnx+1)=1/x, и хlnx тоже приводит к порождающей функции , т.е.
функции xlnx и xlnx–x в смысле ИДП – одно и то же. Все же иногда в дальнейшем будем оставлять многочлен в сумме с какой-либо функцией.

Обратимся к проблеме интегрирования функций, т.е. к возможности получения элемента ИДП, стоящего слева от какой-либо функции. Известно, что, используя несколько правил, легко получить производную любой функции f(x)F, т.е. всегда можно записать элемент, стоящий справа от какой-либо функции в ИДП. Эту операцию можно поручить даже компьютеру.

С другой стороны, интегрирование функции – это искусство, и имеются обширные справочники интегралов [1]. Кроме того, существует множество даже элементарных функций, интеграл от которых нельзя выразить через элементарные функции, и приходится вводить специальную функцию, которая является интегралом от этой «неинтегрируемой» функции. Например (опуская константу):

= Si(x) – интегральный синус.

Таким образом, нет никаких проблем для продолжения ИДП вправо, тогда как продолжить ее влево почти всегда трудно. Иногда будем обозначать элемент ИДП как UF (неизвестная функция), если необходимого интеграла нет в достаточно полном справочнике [1] или взять его не удалось. Итак, некоторые ИДП приводят к необходимости введения новых специальных функций, сверх той совокупности, которую определили математики за всю историю развития науки [1].

Думается, что простота и естественность определения интегро-дифференциальных последовательностей, а также равноправность всех их элементов, которая следует из определения, требует возможности продолжения ИДП как вправо, так и влево, и, следовательно, введения новых функций, если это необходимо.

Математики ввели несколько обобщенных функций, для которых есть простое правило интегрирования. Рассмотрим одну из них – гипергеометрическую функцию pFq(a1,...,ap;b1,...,bq;z). Для нее имеем [1]:


pFq((ap);(bq);cx) dx = x·p+1Fq+1((ap),1;(bq),2;cx) (2)

и

 x-1 pFq((ap);(bq);cxn) dx =

= (x/)·p+1Fq+1((ap),/n;(bq),/n+1;cxn). (3)


Но возникает другая проблема: как представить (и возможно ли это) функцию, которую мы хотим проинтегрировать, в виде

x-1 ·pFq((ap);(bq);cxn) или pFq((ap);(bq);cx), (4)

и затем – как выразить результат интегрирования через привычные нам элементарные и специальные функции. Скажем сразу: не все известные нам, особенно специальные, функции можно представить в виде (4). Существуют таблицы частных значений гипергеометрических функций [1], и из них сформирована следующая (неполная) таблица представления основных элементарных и специальных функций через pFq. Наиболее простые элементарные функции в ней не даны, т.к. при их интегрировании можно обойтись и без гипергеометрической функции.


Таблица 1.

Представление элементарных и специальных

функций через гипергеометрическую функцию.


sinx = x·0F1(3/2; –x2/4);

cosx = 0F1(1/2; –x2/4);

arctg x = x·2F1(1/2,1; 3/2; –x2);

sh x = x·0F1(3/2; x2/4);

arcsin x = x·2F1(1/2,1/2; 3/2; x2);

Ei(x) = x·2F2(1,1; 2,2; x) + lnx + C;

erf x = (2/??) x·1F1(1/2; 3/2; –x2);

Si(x) = x·1F2(1/2; 3/2,3/2; –x2/4);

ci(x) = C + lnx – (x2/4)·2F3(1,1; 2,2,3/2; –x2/4)

(интегральный косинус);

J?(x) = 1/(Г(?+1)2?)·х?0F1(?+1; –x2/4) (функция Бесселя);

I?(x) = 1/(Г(?+1)2?)·х?0F1(?+1; x2/4) (модифицированная функция Бесселя);

?(?,x)=(х?/?)·1F1(?; ?+1; –x) (неполная гамма-функция);

Li2(x) = x · F2(1,1,1; 2,2; x) (полилогарифм);


Linb–1(x) = ((b)n / n!) 1F1(–n; b; x);

shi(x) = x · 1F2(1/2; 3/2,3/2; x2/4) (интегральный гиперболический синус);

Bх(b,1–a) = (хb/b)·2F1(a,b; b+1; x) (бета-функция);

Ф(х,1,b) = ·2F1(1,b; b+1; x) (без названия).

Также выражаются в виде (4) интегралы Френеля S(x), S(x,?), C(x,?), функции Струве H? и L?, функции Вебера E? и Ангера J?, функция Ломмеля s?,? , функции Кельвина ber? и bei?, Эйри Bi, а функции Неймана Y?, Макдональда К? и Ганкеля H?1 и H?2, функции Ломмеля S?,? , Кельвина ker?, kei? – возможно, только при нецелых ?; функция Эйри Ai – под вопросом.

О том, что функции Y, K, H, S, ker, kei не выражаются в виде (4) при целых ?, возможно, косвенно говорит тот факт, что при интегрировании этих функций, умноженных на х?, в интеграле имеются «лишние» слагаемые, по сравнению с интегрированием родственных функций (см. таблицу 2). Например:


? x?Y?(x) dx = coef1·x?+?+1·1F2(...;x2/4) – coef2·x??+1·1F2(...;x2/4),


а ? x?J?(x) dx = coef·x?+?+1·1F2(...;x2/4),

т.е. более «простая» функция Бесселя дает при интегрировании одно слагаемое, а родственная ей функция Неймана – два. Это связано с тем, что при целых ? Y? получается лишь как предел: Yn(x) = lim Y?(x).

? ? n

Возвращаясь к формулам (2), (3), отметим, что, возможно, в них есть ограничение на ? (? >0 или даже ? >1), хотя в [1] такое ограничение не отражено. Но из сравнения (2), (3) с соответствующими частными случаями для функций Куммера и Трикоми – где такое ограничение есть, возникают сомнения в том, что (2), (3) верны для любого ?.

Все-таки, несмотря на указанные сложности, функции, выражающиеся в виде (4), проинтегрировать легче ( с использованием формул (2), (3)), поэтому выделим их в отдельный раздел, следом за элементарными функциями.

Приведем таблицу интегро-дифференциальных последовательностей, порождаемых различными функциями. В нее включены последовательности, порождаемые элементарными и рядом специальных функций; последовательности, приводящие ко всем специальным функциям и другие последовательности, показавшиеся характерными и интересными. Номера наиболее важных ИДП выделены. Порождающая функция подчеркнута, хотя, повторим, все функции в ИДП равноправны. Сложные интегралы взяты из [1].


Таблица 2.

Основные интегро-дифференциальные последовательности.


I. В пределах элементарных функций.

1. Многочлен.

... ? annxn +...+ a1nx + a0n ? ... ? a11x + a01 ? a11? 0 ? 0 ? ...



2. Показательная функция.

... ? (1/а2ах? еах ? еах ? аеах ? а2еах? ...


3. ... ? ех? ех ? ех ? ...

4. ... ? ех(х–1) ? хех ? ех(х+1) ? ех(х+2)? ...




5. Синус.

... ? – cos x ? sin x ? cos x ? – sin x ? – cos x ? ...




6. ... ? – 2cosx – x sinx ? sinx – x cosx ? x sinx ?

? 2cosx – x sinx ? ...




7. ... ? – sin(2x) ? sin2x ? sin(2x) ? 2cos(2x) ?

? – 4sin(2x) ? – 8cos(2x) ? ...

Переход  следует из равенства: sin2x = – cos(2x).

8. Гиперболический синус.

... ? ch x ? sh x ? ch x ? sh x ? ...




9. ... ? sh(2x) ? sh2x ? sh(2x) ? ...


10. Логарифмическая функция.

... ? (х2lnx)/2 ? xlnx – x ? lnx ? ? – (1/x2) ?2/x3 ? ...




11. Арксинус.

...? х arcsinx + ?1–x2 ? arcsin x ?1/?1–x2?x/(1–x2)3/2? ...




12. ... ? (– (1–x2)3/2 + x arcsinx + ?1–x2) ?

? (x?1–x2+arcsin x) ? ?1–x2 ? –x /?1–x2 ? ...


13. Арктангенс.

...? (х2/2)arctgx – arctgx – ln(x2+1) ?

? x arctgx – ln(x2+1) ? arctg x ? 1/(x2 +1) ?

? –2x/(x2 +1)2 ? ...

II. Последовательности, приводящие к специальным функциям, выражающимся в виде x ·pFq.


1) Интеграл вероятности erf(x), erfi(x).

14. ...? (?? х erfx + ex2) ? (??/2)erf(x) ? ex2? –2xex2 ?

? 2ex2(x2–1) ?...

15. ...?(??/a3/2)[ax erf() – erf()+/? ea2x2 ]? ? (??/a) erf() ? eax/? – (eax/2x3/2)(2ax+1)? ...




16. ...?(??/4a)[x erf 2(ax) – /? erf(ax) +

+(2/(a??))e–a2x2erf(ax)] ? (??/4a) erf 2(ax) ?


? e–a2x2erf(ax) ? e–a2x2[–a2erf(ax) + (2/??) e–a2x2] ?...




17.

...?UF ? (??/2a)ln(erf(ax)) ? e–a2x2/erf(ax)? –e–a2x2/erf(ax) ·

·[a2 + (2/??) e–a2x2/erf(ax)] ?...


18. ...? (?? х erfi(ax) – ea2x2) ? (??/2a)erfi(ax) ? ? ea2x2 ? 2a2x ea2x2 ? ...




19. ...???/a erfi() ? eax/? (eax/)(a – ) ? ...

(a>0)


2) Интегральная показательная функция Ei(x).


20. ...? хEi(ax) – eax ? Ei(ax) ? eax/x ?(eax/x)(a – ) ?...

(a?0)


21. ...? (хEi(2ax) – e2ax/2a2 – xlnx) ? (Ei(2ax) – lnx) ?

? eaxsh(ax)/x ? (eax/x)[sh(ax)(a – ) + ch(x)] ?...

22. ...? (Ei(–ax) – e–axlnx) ? e–axlnx ? e–ax( – a lnx)?...


23. ...? UF ? Ei 2(–ax) ? e–axEi(–ax)/x ?

? (e–ax/x)[(–a – ) Ei(–ax) + e–ax/x]?...


3) Неполная гамма-функция ?(?,х).

24. ... ? (1/??)[x ?(?,?x) – (1/?)?(?+1,?x)] ? (1/??)?(?,?x) ?

? x?–1e?x ? e?x x?–2(?–1–?x) ?...

(?>0)


25. ...? – e–bx?(?,ax)/b + (a/(a+b))? ?(?,ax+bx) ?

? e–bx?(?,ax) ? – be–bx ?(?,ax) + ae–(a+b)x (ax)?–1 ?...




4) Интегральный синус и сосинус ci, Si, shi, chi.

26. ... ? (x2/2)si(x) + sinx + cosx ? ?x/2+x si(x)+cosx ?

? Si(x) ? ? (cosx – ) ?...

(Si(x) = ?/2+si(x))


27. ... ? x ci(x) – sinx ? ci(x) ? ?

? – – cos(x)/x2 ?...


28. ... ? shi(x) ? ? – ch(x)/x2 ?...




5) Интегралы Френеля S(x), C(x), S(x,?), C(x,?).


29. ... ? ?2? x S(x) – ?? C(x) + cosx ? ?2? S(x) ? sinx/? (2x cosx – sinx)/(2x3/2) ?...




30. ... ? – xS(x,?) + cosx ? – S(x,?) ? x?–1 sinx ?

(–1
? x?–2 ((?–1)sinx + x cosx) ?...


31. ... ? – xC(x,?) – sinx ? – C(x,?) ? x?–1 cosx ?

(0
? x?–2 ((?–1)cosx – x sinx) ?...


32. ... ? ??/2 S(x2) ? sin(x2) ? 2x cos(x2) ? ...


6) Функция Бесселя J?, модифицированная функция Бесселя I?, функции Неймана Y?, Макдональда K?, Ганкеля H?1, H?2, Струве H?, L?, Ломмеля s?,?, S?,?.

К функциям J, Y, I, K, H не приводят неопределенные интегралы, не содержащие этих же самых функций. К функциям Струве и Ломмеля приводят только интегралы от функций Бесселя и от самих функций Струве и Ломмеля.


33. ... ? x J0(x) + (?x/2)(J1(x)H0(x) – J0(x)H1(x)) ? J0(x) ? ? –J1(x) ? – (J0(x) – J2(x)) ?...


34. ... ? x I0(x) + (?x/2)(I0(x)L1(x) – I1(x)L0(x)) ?

? I0(x) ? I1(x) ? ...




35. ... ? (x2/2)(J02(x) + J12(x)) ? xJ02(x) ?

? J0(x)(J0(x) – 2x J1(x)) ?...


36. ... ? (?+?+1)xH?1(x)S?–1,?–1(x) – xH?–11(x)S?,?(x) ?

? x?H?1(x) ? ...




(?>?+1)




37. ... ? 2?–1??Г(1/2+?)x(J?(x)H?–1(x) – J?–1(x)H?(x)) ?

? x?J?(x) ? ?x?–1J?(x) + (x?/2)(J?–1(x) – J?+1(x)) ?...

(?>–1/2)


38. ... ? x?+1H?+1(x) ? x?+1H?(x) ?




(?>–3/2)

?(?+1)x?H?(x)+(x?+1/2)(H?–1(x)–H?+1(x)+x?/(2???Г(3/2+?))?...


39. ... ? (1/?2?)(Ei(2x)–ln(2x)) ? exL-1/2(x)/? ...




См. также п. 10).

7) Функции Ангера J? и Вебера E?, Кельвина ber?, bei?, ker?, kei?, Эйри Аi, Bi. К этим функциям не приводят неопределенные интегралы, не содержащие этих соответствующих функций.


40. ...? UF ? J?(x) ? J?–1(x) – J?+1(x) ? ...




41. ...? (x?+1/)(ber?+1(x)+ bei?–1(x)) ? x?+1ber?(x) ?




?(?+1)x? ber?(x)+(x?+1/2)(ber?+1(x)+bei?+1(x) –


– ber?–1(x)–bei?–1(x)) ? ...


См. также п. 10).


8) Интегральные функции Бесселя Ji?, Ki?, Yi?. См. также ИДП 60.


42. ... ? (x?+1/(?+1))Ji?(x) +


+ (2?-1/(?+1))??Г(1/2+?)x[J?(x)H?–1(x)–J?–1(x)H?(x)] ?


? x?Ji?(x) ? x?–1 (?Ji?(x) – J?(x)) ?...




9) Неполная Бета-функция Вх(?,?) и функция Ф(a,b.?) (без названия).


43. ...? xBx(?,?) – Bx(?+1,?) ? Bx(?,?) ? x?–1(1–x)?–1?




? (?–1)x?–2(1–x)?–1 + x?–1 (1–?)(1–x)?–2? ...

44. ... ? x? Ф(– ,1,?) ? x?–1/(x+a) ?

? (x?–2/(x+a))(?–1–x/(x+a)) ? ...

(?>0, x

10) Гипергеометрическая функция pFq.


45. ... ? (a–?/?) 2F1(?,?; 1+?; –x/a) ? x?–1/(x+a)? ? ...



46. ... ? (x?+1/(?+1)) 1F2((?+1)/2; ((?+3)/2, 3/2; x2/4) ?

? x?–1 shx ? x?–2 ((?–1)shx + x chx) ? ...

(?.> –1)


47. ... ? a–? ?(?,ax) lnx – ?–2 x? 2F2(?,?; ?+1, ?+1; –ax) ?

? x?–1 e–ax lnx ? x?–2 e–ax ((?–1)lnx – ax lnx +1) ? ...

(a,?.> 0)


48. ... ? 2a x?+2 2F2(1, ?/2 + 1; 3/2, ?/2 + 2; a2x2) ?

? x? ea2x2 erf(ax) ? ...

(? > –2)


49. ... ? x?+3/(4(?+3)) 2F3(1, (?+3)/2; 2, 2, (?+5)/2; –x2/4) ?

? x? (1 – J0(x)) ? x?–1 (? –?J0(x) + xJ1(x)) ? ...






50. ... ? coef · x?+?+1 1F2(a1; b1, c1; –x2/4) =

= x (?+?–1) J?(x) s?–1,?–1(x) – x J?–1(x) s?,?(x) ?

? x? J?(x) ? ?x?–1 J?(x) + x?/2 ( J?–1(x) – J?+1(x)) ? ...

(?+?>–1)

coef, coefi, ai, bi, ci – здесь и далее в табл.2 – константы, не зависящие от х, разные для разных ИДП;

 – с точностью до константы.


51. ... ? coef · x?+?+1 1F2(a1; b1, c1; x2/4) ?

? x? I?(x) ? ?x?–1 I?(x) + x?/2 ( I?–1(x) – I?+1(x)) ? ...




52. ... ? coef1 · x?+?+1 1F2(a1; b1, c1; –x2/4) +

+ coef2 · x?–?+1 1F2(a2; b2, c2; –x2/4) = 

= x (?+?–1) Y?(x) s?–1,?–1(x) – x Y?–1(x) s?,?(x) ?

? x? Y?(x) ? ?x?–1 Y?(x) + x?/2 ( Y?–1(x) – Y?+1(x)) ? ...

(?>?–1)


53. ... ? coef1 · x?–?+1 1F2(a1; b1, c1; x2/4) +

+ coef2 · x?+?+1 1F2(a2; b2, c2; x2/4) ?

? x? K?(x) ? ?x?–1 K?(x) + x?/2 ( –K?–1(x) – K?+1(x)) ? ...

(?>?–1)

54. ... ? coef1 · x?+?+2 2F3(a1,a2; b1, b2, b3; –x2/4) +

+ coef2 · x?+?+1 1F2(a3; b4, b5; –x2/4) +

+ coef3 · x?–?+1 1F2(a4; b6, b7; –x2/4) ?

? x? S?,?(x) ? ?x?–1 S?,?(x) + x?/2 ( (?+?–1) S?–1,?–1(x) +

(x>0, ?+?>–2) + (?–?–1) S?–1,?+1(x) ? ...

55. . ... ? coef · x?+?+2 2F3(a1,a2; b1, b2, b3; –x2/4) ?

? x? s?,?(x) ? ?x?–1 s?,?(x) + x?/2 ( (?+?–1) s?–1,?–1(x) +

+ (?–?–1) s?–1,?+1(x) ? ...


56. ... ? coef1 · x?+?+1 1F4(a1; b1, b2, b3, b4; –x4/256) –

– coef2 · x?+?+3 1F4(a2; b5, b6, b7, b8; –x4/256) ?

? x? ber?(x) ? ?x?–1 ber?(x) + x?/(2) [ber?+1(x) +

(?+? > –1) + bei?+1(x) – ber?–1(x) – bei?+1(x)] ? ...

57. ... ? coef1 · x?–?+1 1F4(a1; b1, b2, b3, b4; –x4/256) –

– coef2 · x?+?+1 1F4(a2; b5, b6, b7, b8; –x4/256) +

+ (еще два похожих слагаемых) ? x? ker?(x) ? ...

(? – нецелое)


58. ... ? coef1 · x?+1 2F3(a1, a2; b1, b2, b3; –x4/4) +

+ coef2 · x?+2 2F3(a3, a4; b4, b5, b6; –x4/4) ?

? x? J?(x) ? ?x?–1 J?(x) + x?/2 [J?–1(x) – J?+1(x)] ? ...

(? > –1)


59. ... ? x?+1 [coef1 · 1F2(a1; b1, b2; x3/9) +

+ coef2 · x · 1F2(a2; b3, b4; x3/9) ? x? Ai(x) ? ... (?>–1)


60. ...? x Ji?(x) + coef x?+1 · 1F2((?+1)/2; (?+3)/2, ?+1; –x2/4)?

? Ji?(x) ? J?(x)/x ? (1/2x)(J?–1(x) –J?+1(x))–J?(x)/x2 ?...




61. ...? (x/)·p+1Fq+1((ap),/n; (bq),/n+1; cxn) ?

? x-1 pFq((ap); (bq); cxn) ?...




62. ...? x·p+1Fq+1((ap),1;(bq),2;cx) ? pFq((ap);(bq);cx) ?...




11) Полилогарифм целого порядка Li(x).


63. ...? Lin+1(–ax) ? Lin(–ax)/x ?...




64. ...? lnx·ln((x+a)/a) + Li2(–x/a) ? lnx / (x+a) ?




? 1/(x(x+a)) – lnx / (x+a)2 ?...


III. Последовательности, приводящие к специальным функциям, не выражающимся линейно через x ·pFq.


1) Неполные эллиптические интегралы F(x,k), E(x,k), П(x,?,k).




65. ...? UF ? F(x,k) ? 1/?(1–k2sin2x) ?

(0< k2<1)

? (k2/2) (sin(2x)/(1–k2sin2x)3/2) ?...





66. ...? UF ? E(x,k) ? ?(1–k2sin2x) ?

(0< k2<1)

? –(k2/2) (sin(2x)/(1–k2sin2x)1/2) ?...


67. ...? UF ? П(x,?,k) ? 1/((1–? sin2x)?(1–k2sin2x)) ?...

(0< k2<1)


68. ...? F(arctg, ?a2–b2/a) ? 1/?(x2+a2) (x2+b2) ?...

(a>b>0)


69. ...? F(arccos((1–sh(2ax))/(1+sh(2ax))); 1/) ?

?1/?sh(2ax) ? – a ch(2ax)/(sh(2ax))3/2 ?...




70. ? = arcsin (ax>0)

...?1/(a2 )[F(?;1/)–2E(?;1/)]+sh(2ax)/(a2/?ch(2ax))

? ?ch(2ax) ? sh(2ax)/?ch(2ax) ?

? 2a(ch2(2ax)+1)/(ch(2ax))3/2 ?...


71. ...? (1/(a )) F(arcsin(sin(ax)));1/) ?

?1/?cos(2ax) ? a sin(2ax)/(cos(2ax))3/2 ?...

(0

72. ...? UF ? arcsin(ksinx)/(k(k2-1)) ?

? cosx/((k2-1)?1–k2sin2x ) ? sin(x)/(1–k2sin2x)3/2 ?...

(0< k2<1)




  1. ...? F(x,k) – E(x,k) – ?1–k2sin2x ·ctgx ?


? 1/(sin2(x) ?1–k2sin2x ) ?...

(0< k2<1)


74. ? = arcsin(p sinx) (p2 > 1)

...? F(?, ) ? 1/?(1 – p2sin2x) ? ...


75. ? = arcsin(p sinx) (p2 > 1)

...? pE(?, ) – ((p2 –1)/p) F(?, ) ? ?(1 – p2sin2x) ? ...


76. ...? E2(x,k) ? ?(1 – k2sin2x) E(x,k) ? ...




77. ...? (1/k2)[(k2sin2x – 1)F(x,k) + E(x,k)] ? sin2x F(x,k) ?...




2) Интеграл Клаузена Сl2(x) и функция Лобачевского L(x).


78. ...? x ln2 – Cl2(?–2x) ? L(x) ? – ln|cos x| ? tg x ?

?1/ cos2x ? 2 sinx / cos3x ?...


79. ...? – Cl2(x) – Cl2(?–x) ? ln |tg(x/2)| ? ?

? – cosx / sin2x ?...


80. ...? ln arcsin– Cl2(2arcsin) ? lnx/?a2 – x2 ? ...


81. ...? – x ln2 – Cl2(2x) ? ln sinx ? ctg x ?...


82. ...? Cl2(2 arcsin x) + arcsin(x) ln(2x) ? ?

? 1/(x ?1–x2 ) – arcsinx/x2 ?...


3) Полилогарифм Li?(x).


83. ...? 2Im Li2(iex) ? 2 arctg ex ? ? – shx/ch2x ?

? – (1/ch3x)(1–shx) ?...


84. ...? Im Li2(ix) ?? 1/(x(x2 + 1))–(arctg(x))/x2 ? ...




4) Интегральный логарифм li(x).

85. ...? UF ? li(xp+1) ? xp/lnx ? (xp–1/lnx)(p – ) ?...


5) Функия параболического цилиндра D?(x).


86. ...? ex2/4 D?+1(x) ? ex2/4 D?(x) ? ex2/4 D?–1(x) ?...




87. ...? UF ? D?(x) ? – (x/2) D?(x) + ?D?–1(x) ?...




6) Обобщенная дзета-функция ?(s,x).


88. ...? ?(s–1,x) ? ?(s,x) ?...


7) Функции Лежандра P??(x) и Q??(x).


89. ...? – (1 – х2)(1–?)/2 P??–1(x) ? (1 – х2)?/2 P??(x) ? ...




8) Функции Уиттекера М?,?(х), W?,?(x).


90. ...?(x?ex/2/(2?+1)) М?–1/2, ?+1/2(х) ? x?–1/2 ex/2 М?,?(х) ? ...




91. ...? – x?–1ex/2 W?–1, ?(х) ? x?–2ex/2 W?, ?(х) ? ...




IV. Последовательности, быстро приводящие от достаточно известных к неизвестным функциям.


92. ... ? UF ? ? ...




93. ... ? UF ? ? ...




94. ... ? UF ? x tgx ? ...




95. ... ? UF ? ? ...




96. ... ? UF ? x сtgx ? ...




97. ... ? UF ? ? ...




98. ... ? UF ? ? ...




99. ... ? UF ? x2/sinx ?...




100. ... ? UF ? ?...




101. ... ? UF ? x tgx +ln|cosx| ? x/cos2x ?...




102. ... ? UF ? 1/(xplnx) ?...




103. ... ? UF ? ?...




104. ... ? UF ? ?...




Проанализируем таблицу 2.

А. Понятно, что на самом деле интегро-дифферен-циальных последовательностей не 104, а бесконечно много. Важным является тот факт, что каждая функция f(x) из множества F принадлежит одной, и только одной ИДП. При этом нужно учитывать, что ИДП определена с точностью до многочлена, т.е., например, функции e2x + 15x2 и e2x – 3x принадлежат одной последовательности №2 с а=2, т.к. при многократном дифференцировании приводят к одной и той же функции 8e2x.

Таким образом, имеем разбиение [2] множества F на подмножества Fi : f(x) и g(x) принадлежат одному подмножеству Fi , если они входят в одну и ту же ИДП.

В. Многие ИДП приводят при попытке продолжения влево (т.е. при интегрировании) к неизвестным функциям (UF). Номера таких последовательностей: 17, 23, 40, 65, 66, 67, 72, 85, 87, 92-104. Конечно, их число увеличится до бесконечности, если попытаться продолжить многие из представленных в таблице 2 ИДП влево или рассмотреть ИДП, порождаемые другими функциями. Что можно сделать с этим? Формально нужно каждую UF обозначить каким-либо символом, т.е. ввести новую специальную функцию, как уже было сделано для ИДП 14(erf(x)), 18(erfi(x)), 20(Ei(ax)), 24(?(?,?x)), 26(Si(x)), 27(ci(x)), 29(S(x)), 43(Bx(?,?)), 60(Ji?(x)), 65(F(x,k)), 66(E(x,k)), 78(L(x)), 85(li(x)) и т.д. Дальше нужно исследовать свойства новой функции. Можно попытаться ответить на вопрос: бесконечно ли число таких новых специальных функций или все-таки их число ограничено?

Особенно интересно было бы получить UF в последовательностях 65(влево от неполного эллиптического интеграла F(x,k)), 66(от E(x,k)), 94(от (x tgx)), 95(от ), 98(от ).

C. Таблица 2 (вместе с ее бесконечным продолжением) дает некоторую классификацию функций, несколько отличную от общепринятой.

Так, обращают на себя внимание ИДП:

1. – многочлен, порождающий «0», который затем (при дальнейшем дифференцировании) становится неподвижной точкой.

3. – ex – показательная функция, которая неподвижна в обе стороны (в отличие от последовательности, порождаемой еах при а?1).

5. и 8. – синус и гиперболический синус, которые порождают замкнутые циклы

cosx



sinx – sin x sh x ch x



cosx

Далее. Функция tgx, обычно причисляемая к элементарным функциям, порождает ИДП, приводящую к далеко не элементарной функции Лобачевского, которая входит даже не в раздел II, а в более сложный раздел III. То же относится к функциям, выражающимся через элементарные:

(ИДП 79 ? Cl2(x)), (82 ? Cl2(x)),

(64 ? Li2(x)), (83 ? Im Li2(x)).

Значит, эти функции не так элементарны, как кажется на первый взгляд. Об элементараных функциях, быстро приводящих даже не к специальным, а к UF, см. п. А.

Использование понятия ИДП позволяет выделить в отдельный класс функции, выражающиеся в виде x?pFq , т.к. последние легче и всегда возможно проинтег-рировать.

Из обзора таблицы 2 и таблиц интегралов [1] следует, что наиболее важными специальными функциями являются:

– неполные эллиптические интегралы E(x,k) и F(x,k), к которым приводит интегрирование многих алгебраических и содержащих тригонометрические функций;

– функции Бесселя J?(x), которые порождают по определению или интегрированием целое семейство специальных функций, названных в разделах II 6), 7), 8) таблицы 2;

– обобщенная гипергеометрическая функция pFq , которая содержит в себе много элементарных и специальных функций и просто интегрируется.

Неожиданно достаточно важными оказываются функции Клаузена Cl2(x) и полилогарифм 2-го порядка Li2(x), т.к. к ним приводят многие простые функции, содержащие элементарные.

Закончим анализ таблицы 2 и перейдем к анализу отношения между функциями, порождаемого интегро-дифференциальными последовательностями на множестве F.

Назовем ядром Я(f) функции f(x) функцию, которая получается из f(x) путем отсечения от формулы для f(x) всех слагаемых вида axn (n=0,1,2, …), т.е. отсечения многочлена. Например, Я(sinx + 15x2 +2) = sinx.

Введем отношение ID на множестве F. Две функции f(x) и g(x) находятся в отношении ID: (f(x),g(x)) ID или f(x) ID g(x) , если

{ dn Я(f(x)) / dxn } = Я (g(x)),

т.е.

1. функции f(x), g(x) принадлежат одной и той же ИДП и

2. f(x) стоит в ИДП не правее g(x).

Отношение ID является рефлексивным и транзитивным. Оно было бы антисимметричным [2], если бы отсутствовали ИДП № 5 и 8, порождаемые функциями sinx и shx. Но, поскольку эти ИДП присутствуют и порождающие их функции являются даже элементарными, а не специальными, то отношение ID не является ни симметричным, ни антисимметричным. Поэтому ID – квазипорядок, а множество F c отношением ID – квазиупорядоченное [2].

Исключим из множества F функции с ядрами a sinx, a cosx, a shx, a chx, а также другие функции, которые при многократном дифференцировании дают себя же (например, 3ex + 5ex). Полученное множество обозначим FS. Множество FS с отношением ID на нем является частично упорядоченным, и к нему применимы все определения и теоремы для таких множеств [2]. Так, каждая ИДП является цепью, а функции из разных ИДП – параллельны. Множество FS является градуированным: порождающей функции ставится в соответствие целое число 0, элементам справа – положительные целые числа, слева – отрицательные.


06.03.05


ЛИТЕРАТУРА

1.Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.1,2,3.– М.:Физматлит,2003.

2. Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Скорняков Л.А., Шестаков И.П. Общая алгебра. Т.1.– М.: Наука, 1990.









Похожие:

Интегро–дифференциальные последовательности функций iconУрок №7 Тема: Взаимное расположение графиков линейных функций
Цели: вырабатывать навыки построения графиков функций; учить определять взаимное расположение графиков функций по угловому коэффициенту...
Интегро–дифференциальные последовательности функций iconВ. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение
Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты...
Интегро–дифференциальные последовательности функций iconСвойства функций Чтение свойств функций по их графикам

Интегро–дифференциальные последовательности функций iconДифференциальные уравнения

Интегро–дифференциальные последовательности функций iconСвойства и графики элементарных функций в помощь ученику
Свойства и графики степенных функций вида существенно зависят от показателя степени
Интегро–дифференциальные последовательности функций iconРабочая программа по математике в 10 классе, Петрунина Ивана Николаевича, учителя I квалификационной категории
Расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций...
Интегро–дифференциальные последовательности функций iconДокументы
1. /Дифференциальные уравнения.doc
Интегро–дифференциальные последовательности функций iconДокументы
1. /Дифференциальные уравнения.doc
Интегро–дифференциальные последовательности функций iconДокументы
1. /Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.djvu
Интегро–дифференциальные последовательности функций iconВопросов к экзамену по математической логике для студентов групп ви-1-02, ви-2-02 (7 семестр)
Определение рекурсивных и частично рекурсивных функций. Соотношение между классами примитивно рекурсивных, общерекурсивных и частично...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов