© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков icon

© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков



Название© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков
Дата конвертации27.06.2012
Размер144.92 Kb.
ТипДокументы

© Стрекалова Е.А.,2005

В электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге.


ПРОИЗВОДНЫЕ ДРОБНЫХ ПОРЯДКОВ


Рассмотрим одну из интегро-дифференциальных последовательностей (ИДП) [1]:


... ? UF ? x tg(x) ? tg(x) + x/cos2x ?

(x tg(x))΄


? (1/cos2x)(2 + x sin(2x)/cos2x) ?... . (1)

(x tg(x))΄΄

Это – одна из наиболее перспективных для исследования последовательностей, т.к. в ней элементарная функция xtgx приводит к неизвестной функции (UF ? Ixtgx), которая получается интегрированием x tgx:

Ixtgx(х) = .

Поскольку в ИДП элементы определены с точностью до многочлена [1], найдем одну из первообразных

Ixtgx0(x) = ;

остальные получаются из нее прибавлением константы. Функцию Ixtgx0(x) определим численным интегрированием на интервале [0;?/2). Применим формулу трапеций [2]:


= [(f(x0) + f(xn))/2 +  f(xi)].



Таблица значений Ixtgx0(x):

x

0

?/20

2?/20

3?/20

4?/20

5?/20

6?/20

7?/20

x

0

0,157

0,314

0,471

0,628

0,785

0,942

1,1

Ixtgx0(x)

0

0,001

0,011

0,037

0,09

0,186

0,346

0,611




x

8?/20

9?/20

x

1,257

1,414

Ixtgx0(x)

1,067

1,983



График функции представлен на рис.1. Таким образом, мы определили новую специальную функцию Ixtgx0(x) на интервале [0;?/2). На других интервалах также можно применить численное интегрирование. Значения Ixtgx0 в других точках интервала [0;?/2) можно найти интерполяцией.

Нанесем на рис.1 другие элементы ИДП (1): xtgx, (x tg(x))΄, (x tg(x))΄΄. Заметим, что в процессе перехода от Ixtgx0(x) к (x tg(x))΄΄ происходит плавное изменение скорости роста четырех функций, или налицо плавный переход от одного элемента ИДП к другому. Это наводит на мысль о том, что между графиками функций на рис.1 можно вложить бесконечное множество графиков каких-то функций, которые обеспечивали бы этот плавный переход. Но что такое функция, находящаяся “между” x tgx и (xtg(x))΄? Предположим, что это производная от xtgx порядка r : 0
Пусть у любой дифференцируемой функции существуют производные любого действительного порядка rR. Очевидно, производные отрицательного порядка – это интегралы, их не будем рассматривать в данной работе. Как определить производную порядка r? Пока это сделать не удалось. Но ниже предложен способ расчета производных порядков r  0 для функций разделов I и II из работы [1],




т.е. элементарных и выражающихся в виде x?pFq, где pFq –гипергеометрическая функция [3]. Таких функций достаточно много.

Через pFq выражаются дробно-рациональные и иррациональные (и т.д.) функции; экспонента ez; sin z, cos z, sh z, ch z; arcsin z, ln z и arctg z, в т.ч. от сложного аргумента; полные эллиптические интегралы E(z), D(z) и K(z); Arth(z), erf(z), erfi(z), I0(z), I1(z), Ei(z) и другие, а также их всевозможные произведения. Таким образом, изложенный ниже материал относится к большинству функций.

Рассмотрим формулу дифференцирования гипергеометрической функции [3]:

dn [pFq((ap);(bq);z)] П (ai)n

= pFq((ap)+n; (bq)+n; z). (2)

dzn П (bj)n


Здесь

(ap) = a1, a2, ..., ap ;

(a)n = a·(a + 1)· ... ·(a + n – 1) – символ Похгаммера

порядка n; (3)

(ap) + n = a1 + n, a2 + n, ... , ap + n.


Итак, чтобы получить производную порядка n, нужно прибавить n ко всем параметрам функции pFq и умножить полученную функцию на некоторый коэффициент. Таким образом, задача определения вида функции-производной действительного порядка r оказывается достаточно простой:

нужно прибавить r ко всем параметрам

исходной функции. (4)

Действительной проблемой оказалось определение коэффициента, который, как следует из (2), представляет собой отношение произведений символов Похгаммера нецелого порядка r всех параметров гипергеометрической функции. Символ Похгаммера порядка n для некоторого числа а – (3) – это произведение n целых сомножителей. Естественно, нельзя найти произведение нецелого числа сомножителей.

Чтобы определить (ai)r и (bj)r для нецелых r, попробуем воспользоваться следующим методом. Поскольку таблицы гипергеометрических функций в [3] даны, в основном, с шагом , поставим задачу определения наиболее необходимых символов Похгаммера

()1/2 = R1/2, (1)1/2 = R1, ()1/2 = R3/2, (2)1/2 = R2, ()1/2 = R5/2.

Составим таблицу 1 на основании [3].


Таблица 1.

Некоторые гипергеометрические функции.



Функция

(ap)

(bq)

1

(1+2z)(1–z)–5/2

3/2, 3/2

1/2

2

(1+z)(1–z)–3

2, 2

1

3

1/3(3+2z)(1–z)–7/2

5/2, 5/2

3/2

4

ez/2 I0(z/2)

1/2

1

5

1/2 ??/z ez erf()

1

3/2

6

ez/2 (I0(z/2)+I1(z/2))

3/2

2

7

1/2 ??/z erfi()

1/2

3/2

8

(ez –1)/z

1

2

9

(3/(2z))(ez –1/2??/z· ·erfi())

3/2

5/2

10

arcsin()/

1/2, 1/2

3/2

11

(–1/z) ln(1–z)

1, 1

2

12

(3/z)[(1–z)–1/2

– arcsin()/]

3/2, 3/2

5/2

13

(1+z) ez

2

1

14

1/3(3+2z) ez

5/2

3/2

15

1/2(2+z) ez

3

2


Интегро-дифференциальные последовательности функций (с шагом , а не 1, как в [1]! ) с точностью до коэффициента следующие:

1 ? 2 ? 3 (5)

4 ? 5 ? 6 (6)

7 ? 8 ? 9 (7)

10 ? 11 ? 12 (8)

13 ? 14 ? 15 (9)

(Здесь i – номер функции в таблице 1).

Это следует из (4). Например, все параметры (2,2;1) функции 2 на больше, чем у 1. Возьмем ИДП (6). Для нее:

d1/2 ( ez/2 I0(z/2)) = R1/2 ·1/2 ??/z ez erf(),

dz1/2 R1

т.к. 1/2 ??/z ez erf() = 1F1(1; ; z). Продифференцируем еще раз:


d1/2 d1/2 ( ez/2 I0(z/2)) = R1/2 d1/2 (1F1(1; 3/2; z)) =

dz1/2 dz1/2 R1 dz1/2

= R1/2 R1  ez/2 (I0(z/2) + I1(z/2)). (10)

R1 R3/2

C другой стороны,


d1/2 d1/2 ( ez/2 I0(z/2)) = d( ez/2 I0(z/2)) = (11)

dz1/2 dz1/2 dz


= ez/2 (I0(z/2) + I1(z/2)),

т.к. порядки производных при последовательном дифференцировании складываются. Из сравнения (10) и (11) следует, что

R3/2 = 2R1/2. (12)

Аналогичным способом из (5), (7), (8), (9) получим:

R3/22 R22 / (R1/2 R1) = 9/2, (13)

R2 = R1 , (14)

R1/2 R1 = 1/2 , (15)

R2 R5/2 = 2 R1R3/2. (16)


Cистема (12)–(16) – неопределенная, т.е. не имеет единственного решения. Подобрать другие ИДП, которые доопределили бы ее, не удалось. Чтобы найти все-таки Ri, рассмотрим степенную функцию.

Формула дифференцирования степенной функции имеет вид [2]:

(xn)­­i = (n – i + 1)i xn–i (17) и (xn)­­i = 0 , если i > n, n – целое, n  0.


Здесь i?0 – целое, n – действительное, /i – производная порядка i, (n–i+1)i – символ Похгаммера порядка i числа (n+i–1). Формула (17) легко проверяется. Например,

(x3) = (3 – 2 + 1)2 x1 = (2)2 x = 6x.

Предположим, что формула (17) верна для любого действительного порядка r0. В этом случае формулу дифференцирования степенной функции нужно записать в виде, несколько отличающемся от (17):


(xn)­­r = 0 при n > –1, (r – n) – целое, r > n

или n  –1, n – нецелое, (r – n) – целое,


(xn)­­r­­­­­ пока не определена при n  –1, n – целое, (18)

r – нецелое.

(xn)­­r = (n – r + 1)r xnr в остальных случаях.

Пояснения для (18) будут даны в последующих работах. Таким образом, задача для степенной функции опять свелась к определению символов Похгаммера (a)r нецелого порядка. Ограничимся определением этих величин с a>0, т.е. в (18) n > –1, r < n +1. Найдем связь между (a)r.

1. Из (18): x­­0,5 = (1,5)0,5 x0,5 . Производную (x2)­­1,5 можно вычислить двумя разными способами:

(x2)­­1,5 = (1,5)1,5 x0,5

и

(x2)­­1,5 = ((x2)­­)­0,5 = (2x)0,5 = 2 (1,5)0,5 x0,5 .

Тогда (1,5)1,5 = 2 (1,5)0,5 . Аналогично получим:

(1,5)2,5 = 3 (1,5)1,5 ; (1,5)3,5 = 4 (1,5)2,5. (19)

Формулы такого же типа существуют для всех а.

2. При последовательном дифференцировании порядки складываются: (xn)­­r1)r2 = (xn)­­r1+r2. Тогда из (18) имеем:


(n – r1 + 1)r1 (n– (r1 + r2) +1)r2 = (n – (r1 + r2) +1)r1+r2 , (20)


если r1 + r2 < n+1. Применяя формулу (20) при разных n, r1, r2, найдем другие связи между (a)r:


(1)0,5 (0,5)0,5 = 0,5 ; (1,5)0,5 (1)0,5 = 1 ;

(1,5)0,5 0,5 = (0,5)1,5 ; (0,5)0,5 = (0,5)1,5 ; (21)

(2,5)0,5 (2)0,5 = 2 ; (2,5)0,5 1,5 = (1,5)1,5 и т.д.


Система (19), (21) имеет единственное решение. Оно представлено в таблице 2. Столбцы при r=1,2,3 рассчитаны по определению (a)r; (а)0=1 [3]. Это ясно: производная нулевого порядка от f(x) – сама функция f(x), и коэффициенты в формуле (2) должны быть равны 1. Отсюда – столбец при r = 0 в таблице 2.


Таблица 2. Значения символов Похгаммера (a)r (точные).


r

а

0

1/2

1

3/2

2

5/2

3

1/2

1

1/2

1/2

1/2

3/4

1

15/8

1

1

1

1

3/2

2

15/4

6

3/2

1

1

3/2

2

15/4

6

105/8

2

1

3/2

2

15/4

6

105/8

24

5/2

1

4/3

5/2

4

35/4

16

315/8




r

а

7/2

4

1/2

3

105/16

1

105/8

24

3/2

24

945/16

2

945/16

120

5/2

90

3465/16

На основании таблицы 2 построим точечные графики функций (а)r (рис. 2-6). Графики выглядят не совсем обычно. В общем случае (а)r имеет стационарный, линейный и криволинейный монотонно возрастающий участки, причем с увеличением а функции (а)r лишаются сначала стационарного, а затем линейного участка. Каков ход функций на линейных и стационарных участках, неясно, т.к. неизвестны значения (а)r при r, не кратных 1/2. На криволинейных участках можно находить (а)r интерполяцией, но расчеты показали, что интерполяция с использованием интерполяционного многочлена Ньютона [2]

Ln(N1)(x) = f(x0) + u ∆f(x0) + ... + u(u-1)...(u-n+1) ∆nf(x0)/n!

дает хороший результат лишь для наиболее близкой при малых r к многочлену функции ()r. Другие функции,

имеющие рост r! уже при небольших r , плохо интерполируются многочленом. Видимо, здесь нужны другие способы приближенных вычислений.

Из (18) можно найти:

x­­0,5 = ; (x2)­­0,5 = 1,33x1,5 ; (x2)­­1,5 = 2.

Семейство функций, порождаемых x2, представлено на рис.7. Соответствующая интегро-дифференциальная последовательность [1] с шагом 1/2 :


... ? x2 ? 1,33x1,5 ? 2x ? 2 ? 2 ? ...


Вернемся к гипергеометрической функции. Найденные значения символов Похгаммера (таблица 2) полностью удовлетворяют полученной ранее системе уравнений (12) – (16). Это говорит о надежности результатов, т.к. система (12)–(16) и значения в таблице 2 получены из рассмотрения функций разных классов.

Теперь мы можем вычислить полупроизводную любой гипергеометрической функции, параметры которой находятся среди чисел: , 1, , 2, . Можно использовать систему (19), (20) для нахождения Ri при других значениях i, т.е. для других значений параметров (ap) и (bq).

Заметим, что достаточно определить (a)r при 0
Итак, кратко процедура определения производной порядка r некоторой функции f(x) drf(x)/dxr состоит в следующем:

1. Найти f(x) в таблицах гипергеометрических функций – в [3] или других источниках. Может быть, придется разбить f(x) на слагаемые вида x?pFq.

2. Определить по рис.2-6 или составлением уравнений вида (12) – (16) или (19),(20) символы Похгаммера порядка r для всех параметров pFq ai, bj (i = 1,...,p; j = 1,..., q).

3. Добавить r ко всем параметрам pFq и найти соответствующую функцию в таблицах гипергеометрических функций.

4. Воспользоваться формулой (2).

Конечно, эта процедура несовершенна, и не любую функцию можно найти в таблицах. Но пока это все, что можно сделать. Следует лучше разработать теорию производной дробного порядка и, прежде всего, дать ее определение и физический смысл. Напомним, что физический смысл 1-й производной – скорость роста функции, 2-й – степень выпуклости.

В заключение дадим несколько производных порядка от тех функций, которые есть в таблицах [3].

d1/2 1/3(3+z)  = (4+z) ;

dz1/2 (1–z)3 2(1–z)7/2



d1/2 ez/2 I0(z/2)  =  1/4 ??/z ez erf();

dz1/2


d1/2  (1+z)ez  =  1/2 (3+2z)ez ;

dz1/2

d1/2  1/2??/z erfi()  = 1/2 (ez – 1)/(2z).

dz1/2


Не всегда удается получать правильные результаты в случае, когда аргумент гипергеометрической функции отрицательный. Например, cos (2) = 0F1(; –z). При двукратном последовательном дифференцировании с порядком 0,5 получаем функцию sin(2)/ , т.е. теряется знак «–». Видимо, это связано с тем, что замена аргумента z на –z в гипергеометрической функции приводит к знакочередующемуся ряду. При дифференцировании

ch (2) = 0F1(; z)

такой ошибки нет. Этот вопрос требует дополнительного исследования.

01.10.05


ЛИТЕРАТУРА


[1] Стрекалова Е.А., Интегро-дифференциальные последовательности функций. Ч.1; Производные дробных порядков; Учет наклона эклиптики к небесному экватору при расчете времени смены эпох (Рыбы – Водолей), М., 2005.

[2] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике, М., 1953.

[3] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.3. Дополнительные главы, Физматлит, М., 2003.









Похожие:

© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconСпектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3
В электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков icon© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций
В работах [1], [2] вводилось понятие производной дробного порядка "с чистого листа", без ознакомления с работами других авторов на...
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconВариант 11 Найти производные от данных функций
Дана вектор-функция одной переменной. Найти и. Вычислить (2 рп) и (2 рп)
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconКак найти скрытые в бумаге изломы и сгибы, чтобы получить фигуру? Как найти скрытые в бумаге изломы и сгибы, чтобы получить фигуру?
Фигурки из бумаги являются талисманами и несут скрытый магический смысл- удача, Здоровье, Долголетие
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconНайти производные функции
На графике функции y = x(x-4)3, найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconБиблиотека Альдебаран
К сожалению, по сравнению с исходным бумажным вариантом, отсутствуют рисунки, таблицы, приложения, список литературы…
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconЕ. А. Стрекалова
Конспект книги Элиаде М., Кулиано И. "Словарь религий, обрядов и верований" и некоторые выводы
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconБордоский дог Кобели Класс щенков
Бест Рандеву Вашингтон / Аризона Шоу Стар зав. Стрекалова вл. Стрекалова г. Ярославль
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков iconПлан проведения недели «Героические страницы истории»
...
© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков icon25. 11. 2005 № саэ-3-04/616@ рекомендации по заполнению сведений о доходах физических лиц по форме №2-ндфл "справка о доходах физического лица за 200 год"
Ндфл (далее Справочники). Справки в электронном виде формируются в соответствии с Форматом сведений о доходах по форме 2-ндфл "Справка...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов