Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 icon

Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3



НазваниеСпектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3
Дата конвертации27.06.2012
Размер162.27 Kb.
ТипДокументы

© Стрекалова Е.А.,2006

В электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге.

СПЕКТРЫ ФУНКЦИЙ. СИМВОЛЫ ПОХГАММЕРА И ПРОИЗВОДНЫЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКОВ, КРАТНЫХ 1/3


В [1] рассмотрены производные нецелых порядков от степенной функции. Там исследовались, в частности, производные порядков, кратных , от функций вида xm/2 (m – целое) и даны соответствующие значения символов Похгаммера [2]:

()1/2 , ()1 , ... ; (1)1/2, (1)1 , (1)3/2, ... ;

()1/2, ()1, ()3/2, ... и т.д.

Теперь рассмотрим производные степенной функции вида xm/3 порядков, кратных . Для этого нужно найти символы Похгаммера аналогичных порядков [1]. При этом найденные значения (m1·)k/3 (k, mi – целые) должны "вписываться" в систему полученных в [1] символов (m2·)k/2, т.е. не противоречить результатам [1].

Почему при дифференцировании степенной функции xm/3 с порядками, кратными , необходимы символы Похгаммера вида (m1·)k/3? Это следует из формулы (xn)k/3 = (n – + 1)k/3 · xnk/3 [1], в которой число (n – + 1) кратно , если n кратно .

Воспользуемся полученной в [1] формулой:


(n – r1 + 1)r1 (n – (r1 + r2) +1)r2 = (n – (r1 + r2) +1)r1+r2.

Выпишем все уравнения для n = и , в которых

n – (r1 + r2) +1 > 0.


n = , r1 = , r2 = : (1)1/3 · ()1/3 = ()2/3 ,

r2 = : (1)1/3 · ()2/3 = ,

r1 = , r2 = : ()2/3 · ()1/3 = ,

n =, r1 = , r2 = : ()1/3 · (1)1/3 = (1)2/3 , r2 = : ()1/3 · ()2/3 = , (1)

r2 = 1 : ()1/3 · = ()4/3 ,

r1 = , r2 = : (1)2/3 · ()1/3 = ,

r2 = : (1)2/3 · ()2/3 = ()4/3 ,

r1 =1, r2 = : · ()1/3 = ()4/3 .


Обозначим а = (1)1/3, b = ()1/3, c = ()2/3,

d = ()1/3, e = ()1/3, f = (1)2/3, g = ()4/3, h = ()2/3.
Нелинийная система уравнений (1) не имеет единственного решения, но из нее можно выразить все неизвестные через a и b : с = ab; d = ; e = ; f = ; g = ; h = . Рассмотрение уравнений, аналогичных (1), для бульших n не доопределяет систему, а лишь вводит новые неизвестные. Следовательно, нужно сделать гипотезу о каких-то двух значениях из числа неизвестных aчh.

Рассмотрим график функции (1)r , представленный в [1]. Он содержит стационарный участок при 00 = 1, (1)1/2 = 1, (1)1 = 1, (1)3/2 = , (1)2 = 2, (1)5/2 = , ... . Предположим, что все значения (1)r на участке 0r при 0
Впишем в эту таблицу найденные в [1] значения (a)r при a и r, кратных . На основании таблицы 1 построим графики символов Похгаммера (рис. 1). Графики и таблица показывают, что символы порядков, кратных и хорошо дополняют друг друга, т.е. (а)m·1/2 ложатся на графики (а)m·1/3.

При r>1 наблюдается вложенность графиков (a)r друг в друга: (a1)r лежит выше (a2)r , если а1 > а2. При 0r


Таблица 1.

Значения символов Похгаммера.


r

a

0

1/3

1/2

2/3

1

4/3

3/2

5/3

2

7/3

5/2

1/3

1

1/2




1/3

1/3

1/3




1/3

4/9

5/9




1/2

1




1/2




1/2




1/2




3/4




1

2/3

1

2/3




2/3

2/3

2/3




8/9

10/9

4/3




1

1

1

1

1

1

4/3

3/2

5/3

2

28/9




4/3

1

1




1

4/3

5/3




2

28/9

40/9




3/2

1




1




3/2




2




15/4




6

5/3

1

1




4/3

5/3

2




28/9

40/9

6




2

1

4/3

3/2

5/3

2

28/9

15/4

40/9

6

280/27

105/8

7/3

1

5/4




3/2

7/3

10/3




9/2

70/9







5/2

1




4/3




5/2




4




35/4




16

8/3

1

6/5




28/15

8/3

18/5




56/9

88/9







3

1

14/9




20/9

3

140/27
















10/3

1

10/7




27/14

10/3



















7/2

1










7/2



















11/3

1

27/20




7/3

11/3




















и ()r иногда лежат ниже (2)r.

Графики с 1r по отрезкам, параллельным отмеченному в таблице отрезку с единицами, полностью совпадают. Причина этого неясна, но данная закономерность позволяет вычислить значение любой функции (a)r при 1 ? а ? 2 и r ? 2–a , зная лишь значения функции (2)r в любой точке r.

Для этого используем установленную по таблице 1 формулу:

(a)r = (2)r+a–2 , если 1?а?2 и r?2–a.


Таблица 1 (продолжение).

Значения символов Похгаммера.


r

a

8/3

3

10/3

7/2

11/3

4

1/3

2/3

28/7

40/27




2




1/2




15/8




3







2/3

56/27

80/27

4




560/81




1

40/9

6

280/27

105/8







4/3

6

280/27













3/2




105/8




24







5/3

280/27

440/27













2




24




945/16




120

7/3



















5/2




315/8




90







8/3



















3



















10/3



















7/2



















11/3




















Тогда, например, (1,3)1,7 = (2)1,7+1,3–2 = (2)1 = 2,

()4/3 = (2)3/2 + 4/3 2 = (2)5/6.

Значение (2)5/6 нужно вычислить по графику (2)r или интерполяцией.

Оказывается, для других значений а сущест-вуют подобные закономерности. На основании таблицы 1 были получены следующие зависимости:


(a)r = а (1)r+a–1 , 0

(a)r = (2)r+a–2 , 1?a?2 , r?2–a; (3)


(a)r = 1 , 1?a?2 , 0?r?2–a; (4)


(a)r = (2)r+a–2 / (2)a–2 , a?2. (5)

Используя (2) – (5), можно вычислить практически любой символ Похгаммера (а)r с неотрицательными а и r. Неизвестной осталась область с одновременно малыми a и r : 0
Вычислим, например,

(10/3)8/3 = (2)4 / (2)4/3 = 120 / (28/9) = 270 / 7.

В работе [3] введено понятие интегро-дифференциальной последовательности (ИДП) функций как упорядоченной совокупности функций, в которой каждая последующая является первой производной предыдущей. Теперь, после введения понятия производной дробного порядка, получается, что каждая функция принадлежит не только одной из ИДП, но и является точкой в одном из непрерывных интегро-дифференциальных спектров функций.

Назовем интегро-дифференциальным спектром (ИДС), или просто спектром функций S бесконечную упорядоченную совокупность функций, такую, что f(x)S и g(x)S, если существует такое действительное число r>0, что выполняется хотя бы одно из равенств: f = g?r или g = f?r. Порядок в спектре S определяется естественным путем: справа от функции f(x) стоят все функции, которые являются производными f(x) любого положительного действительного порядка.

В [3] отмечено, что в каждый элемент ИДП вливается слева бесконечное число функций, отличающихся друг от друга константой. Чтобы избежать такой "многоэтажности" как ИДП, так и ИДС, лучше рассматривать не множество всех дифференцируемых функций, а множество "ядерных функций". Понятие ядра функции также введено в [3]. Оно интуитивно ясно, но формулировка требует уточнения и дополнительного размышления. Ядерные функции – те, в формулах которых нет слагаемых вида axn , т.е. нет слагаемого-многочлена. Исключение составляет сама степенная функция. Для нее ядерными являются как раз функции axn (но без других слагаемых-многочленов).

Очевидно, любая функция принадлежит одному, и только одному спектру. Можно провести аналогию со спектром электромагнитных волн в физике, где каждой частоте соответствует определенная волна. Очевидно, интегро-дифференциальных спектров бесконечно много.

Дадим спектр S1 с самой простой функцией x0?1 (без учета слагаемых-многочленов, т.е. для ядерных степенных функций). Используя формулу дифференцирования степенной функции с дробным порядком из [1] и таблицу 1, найдем:

(x0)?1/2 = 1/(2); (x0)?1/3 = (1 / ); (x0)?1/3 = x–2/3.

Аналогично рассчитаем другие "точки" в спектре S1. Спектр S1 представлен на рис.2. Отрицательные значения величины r соответствуют первообразным функций, а не производным. Поскольку операции дифференцирования и взятия первообразной взаимно обратны, можно было присвоить значение r = 0 функции x2/2, тогда отрицательных r на рис.2 не было бы.

Теперь представим графики всех функций с рис.2 на рис.3. На этом рисунке наглядно изображен плавный переход при дробном дифференцировании от фун-кции х2/2 через 3/5х5/3, 2/3х3/2, 3/4х4/3 к функции х , на которой меняется вы-пуклость спектра S1

Затем, продифференцировав х с порядком 1/3, получим х2/3, далее – и . Можно представить, что при приближении от к х0 по спектру мы будем получать функции, асимптотически все более приближающиеся к х0.

: r

:

0 1


 1/4 х–3/4 3/4

 1/3 х–2/3 2/3


 1/2 х–1/2 1/2


 2/3 х–1/3 1/3


x0 ? 1 0


х1/3 –1/3


Рис.2

х1/2 –1/2


х2/3 –2/3


х –1


 3/4 х4/3 – 4/3


 2/3 х3/2 –3/2


3/5 х5/3 –5/3


 х2/2 –2


В точке x0?1 происходит переход к гиперболам, сначала расположенным также близко к x0, затем последовательно удаляющимся от нее ( (1 / ); 1/(2); x–2/3; х–3/4 ). Семейство гипербол переходит в "0". Выше первого "0" в левой части рис.2 – область семейств гипербол, "колеблющихся" от "0" к "0". Получается, что функция "0" имеет бесконечное число производных одного и того же (нецелого) порядка. Но, видимо, лучше сформулировать по-другому: все "нули", находящиеся на рис.2 при r = 1, 2, 3, ..., суть на самом деле разные функции. Назовем их: "ноль класса 1", "ноль класса 2" и т.д. Тогда, естественно, эти "нули" имеют в качестве производных одного и того же порядка разные функции.

Для построения графиков рисунка 3 постоянно использовались символы Похгаммера из таблицы 1. То, что графики плавно переходят друг в друга при движении по спектру S1, подтверждает правильность расчета таблицы 1 и, следовательно, верность сделанной гипотезы (a = f = 1 – см. выше).

Ближайшая задача – рассчитать спектр, содержащий какую-либо другую функцию (а не только степенные). Напомним, что в [1] дано правило вычисления производных дробного порядка для функций, выражающихся через гипергеометрическую. Но есть определенные трудности для реализации этого правила. Это, прежде всего, неполнота существующих таблиц гипергеометрических функций.

30.10.05

ЛИТЕРАТУРА


1. Стрекалова Е.А. Производные дробных порядков. – М.,2005.

2. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.3. Дополнительные главы. – М.:Физматлит, 2003.

3. Стрекалова Е.А. Интегро-дифференциальные последовательности функций. – М.,2005.









Похожие:

Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconПрактика ртф 150, 170
Повт: производные, частные производные, градиент и его геометрический смысл, экстремумы функции от 2 переменных, задача про min s...
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconИсследование функций Цели урока
Понятие функции синуса. Исследование функции (ее свойства). Уметь строить график функции. Находить по графику промежутки возрастания...
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconНайдите производные функций: а) f(X) = 5х

Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconНайти производные функции
На графике функции y = x(x-4)3, найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconВ. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение
Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты...
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconВариант 11 Найти производные от данных функций
Дана вектор-функция одной переменной. Найти и. Вычислить (2 рп) и (2 рп)
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconФункции-векторы и функции-спиноры. Примеры наборов (столбцов) функций
Теперь произведем замену над параметром , входящим в 1-й и 3-й элемент этого столбца. Фактически мы произведем поворот на угол ’’...
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconТема Хеш-функции
Другими словами, должно быть невозможно в вычислительном отношении по элементу y из множества значений хэш-функции подобрать такой...
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconФакультативное занятие по теме: «Графики квадратичных функций, содержащих модули»
Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными....
Спектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3 iconЧетные и нечетные функции Цели урока: Изучить определение четной и нечетной функций

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов