© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций icon

© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций



Название© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций
Дата конвертации27.06.2012
Размер81.8 Kb.
ТипДокументы

© Стрекалова Е.А.,2006

В электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге.


СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ


В работах [1], [2] вводилось понятие производной дробного порядка "с чистого листа", без ознакомления с работами других авторов на эту тему. Однако есть монография [3], которая подробно представляет состояние проблемы. Сравним результаты [1] – [2] с [3].

В [3] дано определение интеграла дробного порядка на основании экстраполяции формулы


на случай нецелого n. Из интеграла получают дробную производную Римана-Лиувилля слева (справа аналогично):


(1)


^
Из этой формулы для степенной функции следует

Dа+? ? = ( Г(?) / Г(? – ?)) (х – а)? – ? – 1 , (2)

где

? = (х – а)? – 1 .

Соотношение (2) совпадает с введенным в [1] аналогичным соотношением

(xn)r = (n – r + 1)r xnr , (3)

но только если считать, как в [3], [4], что символ Похгаммера для целого и нецелого r представляется в виде

(а)r = Г(a + r) / Г(а). (4)

Это может быть не так. В [1], [2] рассчитаны значения символов Похгаммера при дробных r, и они не соответствую формуле (4). Таким образом, формулы дробного дифференциро-вания степенной функции у нас и в [3] совпадают с точностью до коэффициента.

В обоих случаях дробная производная дана как распространение некоторой формулы, верной для целых чисел, на дробные числа. Но у нас далее символы Похгаммера для дробных r получены как единственное решение системы уравнений. В [3] же коэффициент в формуле (2) получен, видимо, на основании свойств Г-функции для целых n, которые могут не распространяться на дробные числа.

Не хочется отказываться от значений коэффициентов в (3), вычисленных в [1]-[2], пока не будет найдена ошибка в системе уравнений, определяющей дробные символы Похгаммера. А может быть, неверны коэффициенты в (2) из [3]? Ведь они получаются связанными с числом , что странно для степенной функции.

Важно, что вид функции в (2) и (3) совпадает. Коэффициенты всегда можно уточнить. Заметим также, что определение производной дробного порядка (1) выглядит неудовлетворительно. Оно дает производную не прямо, как для обычной производной 1-го порядка (предел отношения приращения функции к приращению аргумента), а через обыкновенный интеграл (!!) и обыкновенную производную 1-го порядка (!).

Далее. Мы предложили в [1] другой способ вычисления производной дробного порядка для всех функций как продолжение формулы дифференцирования гипергеометрической функции на случай дробного n .
И мы получили, что коэффициенты (а)r , вычисленные в [1]-[2] ,исходя из степенной функции, позволяют однозначно находить коэффициенты при определении дробной производной других функций, исходя из гипергеометрической функции, что говорит о надежности результатов. Поэтому пока будем основываться на своих коэффициентах, т.е. вычисленных в работах [1], [2].

Теперь определим несколько спектров функций. Напомним, что определение спектра дано в [2]; там же представлен наиболее простой спектр S1 – основанный на степенной функции. Спектр функции – это совокупность ее производных всех действительных порядков.


1. Спектр гипергеометрической функции 0F1.

Из [4]: ch (2x) = 0F1( ; x ) ;

(sh (2x))  (2x) = 0F1( ; x ) .

По формуле дробного дифференцирования гипергеометрической функции из [1]:

(сh (2x))1/2 = 0F1(1; x ) · 1  ( ( )1/2 ) = 2 I0 ( 2x ).

Аналогично найдем

(sh (2x) / x)1/2 = (2 / x ) I1 (x).

Здесь I0, I1 – модифицированные функции Бесселя.

Таким образом, при последовательном дифференцировании с порядком имеем интегро-дифференциальную последовательность (ИДП) [1]:


… ? ch (2x) ? 2 I0 ( 2x ) ? sh (2x) / x ?


? (2 / x ) I1 (x) ? … (5)


Это – часть спектра, порожденного гипергеометрической функцией 0F1(; x ). Обозначим его S2 . Представим графики функций (5) на рис.1. Ход по спектру от "ch" к "I1" дает плавный переход графиков друг в друга. Это подтверждает правильность вычисления функций из (5).

Дать спектр гиперболического косинуса не от 2x , а от х пока не удалось, т.к. соответствующая гипергеометрическая функция 0F1( ; x2/4) , а формула производной сложной функции при дробном дифференцировании пока неясна.


2. Анализируя спектр степенной функции S1 [2], получаем следующее: из всех степенных функций только 1/хn (n?1, n – целое) не принадлежат этому спектру. Это объясняется тем, что (ln x)? = , т.е. 1/хn принадлежат другому спектру, а именно, порождаемому функцией ln(x). Обозначим его S3.

Интересно получить другие точки этого спектра, хотя бы (lnx)?0,5. Из положения графиков ln(x) и следует, что (lnx)?0,5 должна быть либо y = const, либо близкой к константе функцией. Но константой эта функция быть не может, т.к. const как раз принадлежит S1.

Проще оказалось получить (ln(1–x))?0,5. Имеем формулу [4] : 2F1(1,1;2;x) = – ln(1–x). Тогда

ln(1–x) = – [ 2F1(1,1;2;x) ·x ]. (6)

Получим формулу дробного дифференцирования произведения. Имеем ряд следующих соотношений для производных целого порядка:

f1(x) f2(x)

1-я производная f1? f2 + f1 f2?

2-я производная f1?? f2 + 2f1? f2? + f1 f2?? (7)

3-я производная f1??? f2 + 3f1?? f2? + 3f1? f2?? + f1 f2???


Коэффициенты в формулах для обычных производных (7) – это биномиальные коэффициенты Сnm. Существует формула бинома дробной степени [5] :

(a+b)n = an + nan–1b + an–2b2 + an–3b3 + … .

При n = по аналогии с (7) имеем:

(f1 f2)1/2 = (f1)1/2 f2 + (f1)-1/2 f2 – (f1)-3/2 f2 + … . (8)

Здесь отрицательная производная – это интеграл соответствующего порядка. Таким образом , чтобы продифференцировать (6) с порядком нам нужно получить только предыдущий по отношению к 2F1(1,1;2;x) элемент в ИДП, порождаемой этой функцией, с шагом . Это и будет (f1)-1/2. Имеем из [4]: 2F1 ( , ; ; x ) = arcsin ( ) / .

Тогда с учетом коэффициентов, полученных в [1],

( 2F1 ( , ; ; x ))1/2 = ( arcsin ( ) / )1/2 =

= – ln(1–x)  2F1 ( 1,1 ; 2 ; x ). (9)


Используя (6), (8), (9), получим:

( ln (1 – x ))1/2 = – [ 2F1 ( , ; ; x ) · (1· 1 / (3/2)) · x +

+ · (4 arcsin () / ) + 0 ] = – (2 / ) (10)

Бесконечный ряд обрывается, т.к. f2(x) ? x , и все производные f2 выше 1-го порядка равны 0. На основании (10) легко построить ИДП, порождаемую ln(1–x), с шагом :

(x–1)ln(1–x) ? 4 ? ln(1–x) ? – (2 / ) ?

? –­ ? – (1/(1–x)3/2) ? – (1/(x–1)2) . (11)

Это – часть спектра, порождаемого ln(1–x), который обозначим S4.

Заметим, что в таблицах дробных производных, имеющихся в [3], нет функции ln(1–x), а только ln(x–1), хотя это принципиально разные функции в смысле порождаемых ими спектров, что будет видно наглядно при рассмотрении графиков функций этих двух спектров, представленных ниже (спектр ln(x–1) аналогичен спектру ln x).

Графики функций спектра S4 (11) даны на рис.2. Интересно проследить последовательные преобразования графиков

друг в друга. Так, начальные элементы (11) (x–1)ln(1–x) и 4 при x1 имеют предел, а график следующей функции ln(1–x) уже "срывается" в ?. При этом последовательность графиков при x1 обратная ей же при x – ?. Есть и другие интересные закономерности.

При получении спектра S4 мы получили и другой спектр – S5 : 4 arcsin() / ) ? – ln(1–x) ?

[1/– arcsin()/] ? (1/x2)(+ln(1–x)) (12)

Его графики даны на рис.3. Здесь также наблюдается "срыв" спектра в ? уже на 2-й функции (12). Что означает здесь область определения функций, которая различна у четных и нечетных элементов (12), пока неясно.


3. Спектр sin и cos – спектр S6.

Предположение о том, что графики функций при движении по спектру плавно переходят друг в друга, подтверждается исследованием ряда спектров. Следуя этому правилу, легко определить спектр, порождаемый функцией sinx, который иначе можно найти только по сложной формуле (1). Так как

(sinx) = cosx = sin(x+?/2);

(sinx) = –sinx = sin(x+?) = sin(x+2·?/2),

то естественно предположить, что

(sinx)1/2 = sin(x+?/4) = sin(x+·?/2)

и вообще (sinx)r = sin(x+r·?/2). (13)

Этот результат полностью совпадает с [3]. При движении по спектру S6 (13) (т.е. при непрерывном увеличении r) график функции sinx непрерывно движется вдоль оси x.


4. Вернемся к получению спектра S3.

Используем формулу из [3]:

[Ia+?(ln(x–a))](x) = ((x–a)?/Г(?+1))[ln(x–a) + ?(1) – ?(?+1)].

Тогда

[D0+1/2(lnx)](x) = [I0+–1/2(lnx)](x) =

= 1/(Г())[lnx + ?(1) – ?()]. (14)

По п.1 (степенная функция) мы помним, что в преоб-разованиях, при получении формул дробного диффе-ренцирования конкретных функций, может быть ошибка в коэффициенте. Она может возникать из неверного пред-положения о возможности продолжения соотношений для целых чисел на дробные числа. Функция ?(х) в (14) возникает, видимо, в ходе таких преобразований. Исходя из этого, заменим ?(1)–?()1,38 на некоторую неизвестную константу С3, а коэффициент 1/?? на (как было бы, если следовать коэффициентам [1]; впрочем, 1/??0,56 ) и далее определим ее значение из хода графиков в спектре S3.

Итак, пусть (lnx)1/2 = (1/(2))(lnx+C3), и спектр S3 имеет вид:  lnx  (C3 + lnx) / 2   … .

Представим на рис.4 графики функций

lnx (№1); lnx / 2 (№2, С3=0);

(lnx + 1) / 2 (№3, С3=1); (lnx – 1) / 2 (№4, С3=–1);

(lnx + 2) / 2 (№5, С3=2); (lnx – 2) / 2 (№6, С3=–2);

(№ 7).

Плавный переход от lnx к лучше всего обеспечивается функцией (lnx + 1) / 2.

Поскольку C3 мы выбираем произвольно, то, видимо, значение имеет тот факт, что функции lnx, (lnx + 0,94) / 2 и пересекаются практически в одной точке х=1,76. Поэтому примем C3 = 0,94. Функции (lnx + 0,94) / 2нет на рис.4, т.к. она практически совпадает с №3 (чуть ниже нее).

При х>1 функция (lnx + 0,94) / 2 на некотором интервале может считаться константой и всегда лежит между lnx

и , что хорошо согласуется с выявленным свой­­ством производной дробного порядка: графики плавно переходят друг в друга.

Таким образом, спектр S3 в первом приближении имеет вид: …  lnx  (lnx + 0,94) / 2   …

Но не исключено, что С30,94, а имеет какое-то другое значение. Не исключено также, что функция

(lnx + 1,38) / (?? ) (15)

все же является полупроизводной lnx , как это должно быть по формуле (14). Поместим ее на рис.4 под №8.

Повторим. что вопрос о том, какие коэффициенты в спектрах следует считать правильными, пока остается открытым. Число ? и в (15) выглядит не совсем уместно.

Сведем спектры S3, S4, S5 в одну таблицу. Каждая функция в столбце справа от какой-либо функции представляет собой ее производную порядка .


x




1

1/(2)

(x–1)ln(1–x)




ln(1–x)

–1/(2)

x lnx




lnx

(lnx + 0,94) / / (8)


(продолжение таблицы)

0

– 1 / (4x3/2)




– 1 / (4(1–x)3/2)








26.07.06


ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ

1. Стрекалова Е.А. Производные дробных порядков. – М.,2005.

2. Стрекалова Е.А. Спектры функций. Символы Похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3. – М.,2006.

3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения. – Наука и техника,1987.

4. Прудников А.П, Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.3. Дополнительные главы. – М.:Физматлит,2003.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.,1953.







Похожие:

© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций icon© Стрекалова Е. А.,2005 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Производные дробных порядков
В электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconСпектры функций. Символы похгаммера и производные степенной функции порядков, кратных 1/3
В электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconКак найти скрытые в бумаге изломы и сгибы, чтобы получить фигуру? Как найти скрытые в бумаге изломы и сгибы, чтобы получить фигуру?
Фигурки из бумаги являются талисманами и несут скрытый магический смысл- удача, Здоровье, Долголетие
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconВариант 11 Найти производные от данных функций
Дана вектор-функция одной переменной. Найти и. Вычислить (2 рп) и (2 рп)
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconБиблиотека Альдебаран
К сожалению, по сравнению с исходным бумажным вариантом, отсутствуют рисунки, таблицы, приложения, список литературы…
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconР. Дж. Коллингвуд
Третье значение данного термина можно найти у некоторых позитивистов девятнадцатого века: для них философия истории означала открытие...
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconЕ. А. Стрекалова
Конспект книги Элиаде М., Кулиано И. "Словарь религий, обрядов и верований" и некоторые выводы
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconБордоский дог Кобели Класс щенков
Бест Рандеву Вашингтон / Аризона Шоу Стар зав. Стрекалова вл. Стрекалова г. Ярославль
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconДжон Мейнард Кейнс (1883 1946)
Отношение к нему подчас приобретало едва ли не религиозный характер: в некоторых работах (которые можно найти в Internet) его называют...
© Стрекалова Е. А.,2006 в электронном варианте отсутствуют некоторые рисунки и формулы. Их можно найти в издании на бумаге. Спектры некоторых функций iconПлан проведения недели «Героические страницы истории»
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов