Графическое решение icon

Графическое решение



НазваниеГрафическое решение
Дата конвертации27.06.2012
Размер90.24 Kb.
ТипРешение


Графическое решение

уравнений и систем уравнений

с параметрами.


(алгебра и начала анализа)

Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

§1. Определения.

§2. Алгоритм решения.

§3. Примеры.

III. Список литературы.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд, графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

§1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

^ Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z.

^ Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§2. Алгоритм решения.


  1. Находим область определения уравнения.

  2. Выражаем a как функцию от х.

  3. В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

^ Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

  1. Записываем ответ.

§3. Примеры

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

^ График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а  (-;-1](1;+), то ;

Если а  , то , ;

Если а  , то решений нет.


II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции . Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде



Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .


III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений



имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

^ Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители



Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

^ Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы



В этом случае уравнение



имеет один корень, откуда находим :



Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (;+).


IV. Решить уравнение



Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде



^ Это уравнение равносильно системе



Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям



Пусть , тогда . Система примет вид



Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

^ Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид



Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то ;

если a [7;), то решений нет.


V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)

Решение.

  1. При любом а :

  2. Если , то ;

если , то .

  1. Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .

  2. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

^ Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде



Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

  1. если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;

  2. если , то система (3) имеет три решения;

  3. если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .

Ответ:

Литература

  1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

  2. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

  3. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

  4. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 2003 г.

  5. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

  6. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

  7. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.


назад





Похожие:

Графическое решение iconГрафическое решение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе этот...
Графическое решение icon№ п/п Термин
Структура данных, находящаяся в оперативной памяти компьютера, которая задаёт основные инструменты рисования и вывода данных на графическое...
Графическое решение iconПояснительная записка к работе «Графическое решение заданий с параметром». Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет) Толстоусова Тамара Витальевна, учитель математики
Образовательное учреждение (полное название), регион Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа...
Графическое решение iconПринимаю решение и отвечаю за свое решение
...
Графическое решение iconДокументы
1. /графическое пояснение.doc
Графическое решение iconВопросы к зачету «Кинематика»
Прямолинейное равномерное движение. Скорость. Графическое представление движения
Графическое решение iconДокументы
1. /Усатенко Графическое изображение.pdf
Графическое решение iconДокументы
1. /Графическое представление результатов.doc
Графическое решение iconДокументы
1. /Усатенко С.Т. Графическое изображение электрорадиосхем.1986.djvu
Графическое решение iconКева Татьяна Владимировна
«Решение уравнений и неравенств с параметрами» (10 кл.), «Решение уравнений и неравенств с модулем» (10 кл.), «Решение уравнений...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов