|
УДК 511 В.А. Мешков, канд. техн. наук (ОИР Украины, г. Евпатория) V.A. Meschkoff КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ PRIME NUMBERS CLASSIFICATION WITH LINEAR AND QUADRATIC FORMS Показано, что квадратичные формы простых чисел исчерпываются соотношением ![]() It is demonstrated, that all prime numbers quadratic forms consist of ![]() ^ Предлагаемая классификация основывается на давних исследованиях, начатых Жираром и Ферма, подробно анализируемых в 1,§1.7. Было найдено, что только простые числа вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Эти свойства являются исключительными, т.к. ![]() ![]() ![]() Эти остальные простые числа, как нетрудно проверить, имеют вид ![]() ![]() ![]() Несложно также установить, что простые числа ![]() ![]() Однако ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Такие уравнения имеют конечное число бесконечных последовательностей решений 1, стр.404, которые в случае простых ![]() ![]() Для однозначности примем, что простые числа ![]() Последовательность таких квадратичных форм бесконечна, однако однозначно определяется начальным решением. Теорема. Любое простое число ![]() ![]() ![]() Доказательство. Число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Изложенное позволяет предложить простую и наглядную классификацию простых чисел, разбивающихся на четыре частично пересекающиеся множества круговых, эллиптических (два множества) и гиперболических простых чисел. Табл.1
Следует отметить, что в этой классификации не представлена в явном виде линейная форма ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Также необходимо различать пересекающиеся или частично пересекающиеся множества простых чисел, и вследствие этого имеющие несколько возможных квадратичных форм, и случаи, когда непересекающиеся множества имеют одинаковые квадратичные формы. Например, простые числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() С другой стороны круговое простое число 97 имеет все квадратичные формы представления, т.к. ![]() Предлагаемые ранее перечисления множеств простых чисел, например [2,стр. 188], не являются классификацией, т.к. не основываются на общем признаке. Предлагаемая классификация имеет в своей основе такой признак, а именно: любое произведение простых чисел, имеющих одинаковую квадратичную форму из Табл.1, имеет представление в виде такой же квадратичной формы. Отсюда следует, что произведение простых чисел, принадлежащих к одному из множеств Табл.1, имеет представление в виде основной квадратичной формы этого множества. Таким образом, основой для классификации простых чисел является известная формула для частных случаев композиции квадратичных форм[1, стр.396] ![]() ![]() Упомянутое выше перечисление в [2,стр. 188], таким свойством не обладает, т.к. содержит простые числа, имеющие квадратичные формы ![]() На этой основе возможно усовершенствовать и упростить классификацию, представленную в Табл.1, используя только непересекающиеся множества простых чисел. Табл.2
В классификации Табл.2 все же имеются множества, содержащие частично пересекающиеся подмножества. Их можно выделить, если за основу взять непересекающиеся подмножества, соответствующие непересекающимся классам эквивалентности по модулю 24. Будем обозначать квадратичные формы как ![]() ![]() ![]() Табл.3 Классификация простых чисел ![]()
Полученную классификацию применим для анализа различных задач теории чисел. Рассмотрим вначале, к какому множеству относятся простые числа Мерсенна ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Окончательный вывод: Составное число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично рассмотрим числа Ферма ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В общем случае для произвольных чисел классификация может быть произведена с помощью компьютеров с соответствующими программами. Автором использовалась программа Mathematica, работающая с задачами теории чисел. В качестве примера рассмотрим число ![]() Если число простое, то далее вычисляем ![]() Поскольку оно имеет квадратичную форму ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для классификации этот вектор легко преобразовать в вектор ![]() ![]() По отношению к рассматриваемому числу имеем ![]() Т.о. данное число есть произведение 12 простых круговых чисел, из них одно ![]() ![]() ![]() Для такого составного числа рассмотрим задачу определения подмножеств простых, имеющих одинаковые квадратичные формы, и нахождения всех таких квадратичных форм. Для произведения круговых простых чисел это эквивалентно нахождению всех решений уравнения ![]() Недели через две Вейгон сообщил, что Д. Лихтблау (Daniel Lichtblau) на основе своих новых улучшений алгоритма «HalfGCD» [4] усовершенствовал подпрограмму, и теперь она решает задачу за 0,3 сек. Однако к этому времени автором была разработана подпрограмма, впоследствии по предложению Вейгона названная QRM (QuadraticRepresentationsMeshkoff). Она использует только соотношение (1) и стандартные функции Mathematica: 1) факторизация числа; 2) QuadraticRepresentations (представление простого числа в виде суммы двух квадратов). Для той же задачи подпрограмма QRM на компьютере Вейгона показала время 0,32 сек. Дальнейшие сравнения для различных чисел показали, что на компьютере Вейгона QRM несколько уступает по скорости. Однако на компьютере автора время решения было 0,15-0,16 сек., а подпрограмма DL не работала, поскольку основывалась на внутренних кодах фирмы «Mathematica». Кроме того, QRM решала задачу и для четных значений N, а также для случаев, когда N является произведением простых чисел, часть которых не круговые. Эти числа исключаются из произведения, и задача решается для произведения оставшихся круговых простых чисел. Подобным образом могут быть построены подпрограммы для остальных трех квадратичных представлений. Тогда для рассматриваемой задачи вначале находим ![]() ![]() ![]() Далее исключаем из N число 5, и для числа N/5 получаем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подобные задачи было бы гораздо труднее решать, не имея предложенной выше классификации. Литература. 1. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980. 2. Nagell T. "Diophantine Equations of the Second Degree." Ch. 6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 188-226, 1951. 3. 3. David Bressoud, Stan Wagon. "Prime Imaginaries and Imaginary Primes." Ch. 9 in A Course in Computational Number Theory. Key College Publishing, San Francisco, 2000. 367 pp. . 4. Daniel Lichtblau. HalfGCD and Fast Rational Recovery. ISSAC’05, July 24–27, 2005, Beijing, China. |
![]() | Урок по математике 1 класс (1-4) апрель 2006г. Тема. Разностное сравнение чисел Прочитайте тему сегодняшнего урока. Как понимаете название темы? (Сравнение чисел с помощью разности) | ![]() | Документы 1. /Аппроксимация/1/lab5.doc 2. /Аппроксимация/2/CHM5.DOC |
![]() | ІІ. Многообразие организационных форм в индустриальной экономике Мы хотим с помощью теоретических методов обнаружить то, что скрыто в реальной экономике от обыденного взгляда, то есть сущность или... | ![]() | Тема: Решение систем линейных уравнений с параметрами Определение. Системой линейных уравнений с двумя переменными называется два линейных уравнения, рассматриваемых совместно |
![]() | Разложение чисел на простые множители В разложении числа 2-4 простых делителей не более 11 и одно простой делитель не более 100 | ![]() | Наибольший общий делитель. Цели урока Ввести определение наибольшего общего делителя, определение взаимно простых чисел, показать запись |
![]() | Сложное высказывание Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным | ![]() | В одномерном массиве произвольных чисел найти количество нечётных элементов Из одномерного массива произвольных чисел целых чисел сформировать 2 массива: a массив четных чисел и b массив нечетных чисел |
![]() | Интернет-урок «Системы линейных уравнений» Проверьте, является ли пара чисел: а x=3, y=1; б x=2, y=2 решением системы уравнений ? | ![]() | М. А. Приходовский применение многомерных матриц для исследования гиперкомплексных чисел и конечномерных алгебр В работе рассматривается метод описания конечномерных алгебр и систем гиперкомплексных чисел с помощью пространственных матриц. Многомерные... |