Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем icon

Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем



НазваниеУравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем
страница1/11
Дата конвертации24.05.2012
Размер0.55 Mb.
ТипРешение
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
1. /Основные методы реш триг уравн.docУравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем


Тишин В. И.


Основные методы

решения

тригонометрических

уравнений


2005 г.


Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем.


2005 года

Содержание


Тригонометрические уравнения 4

1. Метод разложения на множители 4

Задание 1 20

2. Метод замены переменных и сведение к алгебраическим уравнениям 21

2.1. Применение формул двойного и половинного аргумента 25

2.2. Применение формул приведения 31

Задание 2 35

3. Уравнения, однородные относительно и 36

3.1. Применение формул приведения 40

Задание 3 43

Задание 4 46

4. Метод замены переменных 47

4.1. Замена . 47

Задание 5 52

4.2. Замена 52

4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится 55

4.4. Случаи, когда аргументы кратны 2x и x 57

Задание 6 60

4.5. Замена . Универсальная тригонометрическая подстановка 60

Задание 7 68

5. Метод оценки левой и правой частей уравнения 69

Задание 8 74

6. Введение вспомогательного аргумента 75

Задание 9 77

7. Системы тригонометрических уравнений 79

Задание 10 81

Задание 11 83

Ответы 84

К заданию 1 84

К заданию 2 84

К заданию 3 84

К заданию 5 84

К заданию 6 84

К заданию 7 85

К заданию 9 85

Тригонометрические уравнения




1. Метод разложения на множители



Пример 1. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение. Применим формулу:

.

Получим уравнение: .

Это уравнение решим разложением на множители: .

Получим совокупность уравнений:



.


Ответ: .


Пример 2. Решите уравнение


Решение

Преобразуем уравнение:





- решений не имеет.

Ответ: .


Пример 3. Решите уравнение


Решение


Преобразуем уравнение. Применим формулы:

и .

Получим уравнение:



.

Получим совокупность двух уравнений:

(1) и (2) .

Уравнение (1) является однородным. В нем . В самом деле, если допустить противное, т. е., что , тогда, подставив его в уравнение (1), найдем, что и , что невозможно при одних и тех же значениях аргумента (в частности, не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). Итак, .

Разделим обе части уравнения (1) на , получим .

Решим второе уравнение:

.


Ответ: , .


Пример 4. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение. Применим формулы: и . Уравнение примет вид:

, ,



.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:



Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.

Объединим два последних решения в одно: - это значит, что при четных значениях k из множества корней получаются корни , значит, являются общими решениями двух последних решений.

Далее, найдем общие решения .

, т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней получаются корни , следовательно, - являются общими решениями трех полученных результатов.


Ответ: .


Пример 5. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение







Ответ:


Пример 6. Решите уравнение


Решение


Преобразуем уравнение, для этого прибавим к левой части уравнения и вычтем, чтобы выражение не изменилось, произведение тогда уравнение примет вид







- это уравнение не имеет решений, так как


Ответ:


Пример 7. Решите уравнение .


Решение


Левая часть этого уравнения представляет собой однородное выражение относительно и . Уравнение было бы однородным, если бы в правой части уравнения был нуль.

Для преобразования уравнения в однородное, правую часть представим в виде: .

, а затем все перенесем в левую часть и приведем подобные слагаемые:





Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:



Решая первое уравнение, находим: .

Второе уравнение является однородным первой степени,

Если допустить, что тогда подставив это значение в уравнение, получаем: . Но одновременно и не могут равняться нулю. Итак, Разделим на него обе части уравнения, получим:




Ответ: ,


Пример 8. Решите уравнение


Решение


Область допустимых значений переменной: .

Преобразуем уравнение:





Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:




Определим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.


Для этого, установим, найдутся ли такие целые значения n, k, m, при которых:

Отсюда следует, что первая группа корней не входит в область допустимых значений, т. е. .


Ответ: .


Пример 9. Решить уравнение


Решение


Преобразуем разность синусов в произведение, получим



С учетом этого преобразования, уравнение примет вид












Ответ:


Пример 10. Решить уравнение


Решение


Преобразуем уравнение:





Получим совокупность уравнений:





Ответ:


Пример 11. Решить уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение, используя формулу , получим:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:




Ответ:


Пример 12. Решить уравнение


Решение

Преобразуем уравнение:



Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:



Второе уравнение совокупности решений не имеет, поскольку

Первое уравнение решим как однородное. Разделим обе его части на в противном случае, из уравнения, получим, что и что невозможно). В результате деления на , приходим к уравнению:



Ответ:


Пример 13. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение:





.

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:




Ответ:


Пример 13. Решить уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение: . Применим тождество преобразования суммы синусов в произведение: .

Учитывая, что cosx функция четная, получим: .

Уравнение примет вид: .

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:



.


Ответ: .


Пример 15. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение, применяя тождество понижения порядка

, получим:











Ответ:


Пример 16. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем произведение функций в сумму, получим












Ответ:


Пример 17. Решите уравнение

.


Решение


Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения:





.


Ответ: .


Пример 18. Решите уравнение


Решение


Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение, заменив 1 на и преобразуя разность синусов, в правой части уравнения, в произведение. Тангенс, заменим на частное от деления синуса на косинус.



















Отсюда находим




Определим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.


Для этого, установим, найдутся ли такие целые значения n, k, m, при которых:





Из этих неравенств видно, что ни при каких целых значениях k и n значения x не выйдут за область допустимых значений, т. е. оба множества корней входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.


Ответ:


Пример 19. Решить уравнение




Решение


Преобразуем уравнения, используя формулы приведения и формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сумму:

















Ответ:


Пример 20. Решить уравнение




Решение


В правой части уравнения разложим разность квадратов на множители, а затем применим формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:



Левую часть уравнения преобразуем, используя формулы преобразования суммы синусов в произведение:



Уравнение примет вид:

,























Ответ:


Пример 21. Решить уравнение .

Решение


Область допустимых значений:



Преобразуем уравнение:








.


Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:


- все значения входят в ОДЗ.


Ответ:


Пример 22. Решить уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение, применяя формулу приведения:

,

. Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:


Ответ:


Пример 23. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение:



.

- это однородное уравнение первой степени, относительно sinx и cosx, .

Если допустить, что cosx = 0, тогда из уравнения следует, sinx = 0, но при одном и том же значении x это невозможно.

Разделим обе части уравнения на cosx, получим:

.


Ответ: , .


Пример 24. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение:



.

Полученное уравнение равносильно совокупности:



Уравнение cosx = 1,5 корней не имеет. Уравнение cosx - sinx = 0 однородное первой степени относительно sinx и cosx, .

Если допустить, что cosx = 0, тогда из уравнения следует, sinx = 0, но при одном и том же значении x это невозможно.

Разделим обе части уравнения на cosx, получим:

.


Ответ: .


Пример 25. Решите уравнение 5sinx = sin3x.


Решение


Преобразуем уравнение:




.


Ответ: .


Пример 26. Решите уравнение .


Решение


Преобразуем уравнение, используя тождества:

и .

Получим уравнение:







.


Ответ: .

Задание 1


Решите уравнения

27. . 28. .

29. .

30. 31. .

32. 33. .

34. . 35. .

36. . 37. .

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11



Похожие:

Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconДемоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович
Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью стандартных методов, а...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconКонспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Общие методы решения уравнений. Замена уравнения h(f(X))=h(g(X)) уравнением f(X)=g(X)» Учитель математики
Образовательная – повторение, обобщение, систематизация знаний об общем методе решения уравнений; проверка усвоения знаний на обязательном...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconРешение иррациональных уравнений
Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconПрактическая работа Геометрический материал Задачи работы: Образовательные: обеспечить усвоение студентами геометрического содержания курса математики начальной школы
...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconКубанского фольклора Материал подготовлен
Кубанская хата с вышитыми занавесками на «окне», с рушниками, лавками, самоваром на застеленном вышитой скатертью столе, бубликами,...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconЭссе на тему: Что значит быть современным учителем. Учитель математики: Журавлёва Г. П. Яйва 2008
Любить ученика – это значит не заигрывать и не льстить ему, а понимать и уважать ребёнка как растущего человека. Как учителю математики...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconУрок по теме «Системы линейных уравнений»
Система уравнений будет иметь единственное решение, если графики уравнений пересекаются, т е если 
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconРешение иррациональных уравнений 11 класс Практикум I. Проверка домашнего задания >II. Устная работа Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений
Класс делится по желанию на три группы. С первой группой решаем вместе типичные уравнения у доски. Вторая и третья группы выбирают...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconМинимум задач по курсу высшей математики
Найдите общее решение и фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconКлассный час подготовлен и проведен в 6 б классе учителем
На доске — портрет Владимира Высоцкого, слова: «Пе-сни Высоцкого о войне это, прежде всего, песни очень настоящих людей. Людей из...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconУрок по теме «решение квадратных уравнений» Цели урока: 1 Дидактическая
Одно из замечательных качеств математики любознательность. Постараемся доказать это на уроке
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов