Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем icon

Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем



НазваниеУравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем
страница6/11
Дата конвертации24.05.2012
Размер0.55 Mb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
1. /Основные методы реш триг уравн.docУравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем

4. Метод замены переменных

4.1. Замена .



Пусть дано некоторое тригонометрическое уравнение F(x) = 0. Обозначим через g(x) функцию и введем новое неизвестное . Если удастся выразить функцию F(x) через t, т. е. представить ее в виде , то решение уравнения F(x) = 0 будет сведено к решению уравнения f(t) = 0. Разумеется, не всегда левую часть F(x) удается достаточно просто выразить через .

Мы рассмотрим несколько случаев, когда это удается сделать.

Введем (в некотором тригонометрическом уравнении) новое неизвестное , тогда, применяя тождество

, находим

.

Ясно, что если уравнение содержит сумму функций и синус двойного угла , тогда его можно выразить через t.


Если левая часть тригонометрического уравнения F(x) = 0 может быть выражена через и , то целесообразно применить замену неизвестного по формулам , .


Пример 114. Решите уравнение .


Решение


Пусть , тогда , получим квадратное уравнение:

.

Получим совокупность уравнений:

gif" name="object731" align=absmiddle width=523 height=38>.


Ответ: .


Замечание. Уравнение имеет решения в том и только в том случае, когда дискриминант уравнения неотрицателен и по крайней мере один из корней этого уравнения удовлетворяет условию , так как .

Аналогично решаются уравнения вида .

Здесь удобно положить и тогда .

Пример 115. Решите уравнение .


Решение

1-й способ


Положим , тогда , , получим уравнение:









Ответ:


2-й способ

. Преобразуем уравнение, зная, что :



,



Дальнейшее решение такое же, как и в первом способе. Применяя второй способ, мы обходимся без введения новых переменных и без подстановки, но использовать его может лишь опытный человек, который имеет достаточно большой навык в решении тригонометрических уравнений, искусственных преобразованиях и т. п.


Пример 116. Решите уравнение .


Решение


Положим , тогда , , получим уравнение:



.

.

Ответ: .


Пример 117. Решите уравнение .


Решение


Пусть , тогда , получим квадратное уравнение:

;

.


Ответ: ; .


Пример 118. Решите уравнение .


Решение


Положим , тогда , , получим уравнение:

- не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

.

Ответ: .


Пример 119. Решите уравнение .


Решение


Пусть , тогда , получим уравнение:



- не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

,


.


Ответ: .

Пример 120. Решите уравнение .


Решение


Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение:




.

Применим подстановку , тогда

, получим уравнение





Определим, входят ли эти значения в область допустимых значений.

Проверим значения .



Оба неравенства выполняются при всех , значит - решения уравнения.

Проверим .

значит, m может принимать значения равные: m = 4n и m = 4n + 1, отсюда находим .


Ответ: .


Пример 121. Решите уравнение .


Решение


(Это один из способов решения. Другие будут приведены ниже).

Положим , тогда , , получим систему уравнений:

.

Ответ: .

Задание 5



122. . 123. .

124. . 125. .

126. . 127. .

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11



Похожие:

Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconДемоверсия – 2005. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Семинар для учителей математики кмо. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович
Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью стандартных методов, а...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconКонспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Общие методы решения уравнений. Замена уравнения h(f(X))=h(g(X)) уравнением f(X)=g(X)» Учитель математики
Образовательная – повторение, обобщение, систематизация знаний об общем методе решения уравнений; проверка усвоения знаний на обязательном...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconРешение иррациональных уравнений
Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconПрактическая работа Геометрический материал Задачи работы: Образовательные: обеспечить усвоение студентами геометрического содержания курса математики начальной школы
...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconКубанского фольклора Материал подготовлен
Кубанская хата с вышитыми занавесками на «окне», с рушниками, лавками, самоваром на застеленном вышитой скатертью столе, бубликами,...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconЭссе на тему: Что значит быть современным учителем. Учитель математики: Журавлёва Г. П. Яйва 2008
Любить ученика – это значит не заигрывать и не льстить ему, а понимать и уважать ребёнка как растущего человека. Как учителю математики...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconУрок по теме «Системы линейных уравнений»
Система уравнений будет иметь единственное решение, если графики уравнений пересекаются, т е если 
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconРешение иррациональных уравнений 11 класс Практикум I. Проверка домашнего задания >II. Устная работа Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений
Класс делится по желанию на три группы. С первой группой решаем вместе типичные уравнения у доски. Вторая и третья группы выбирают...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconМинимум задач по курсу высшей математики
Найдите общее решение и фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconКлассный час подготовлен и проведен в 6 б классе учителем
На доске — портрет Владимира Высоцкого, слова: «Пе-сни Высоцкого о войне это, прежде всего, песни очень настоящих людей. Людей из...
Уравнений 2005 г. Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем iconУрок по теме «решение квадратных уравнений» Цели урока: 1 Дидактическая
Одно из замечательных качеств математики любознательность. Постараемся доказать это на уроке
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов